Равновесные системы. Макроканоническое распределение.

f(q,p,t)

До сих пор не существует единого, общего метода нахождения ФСР, пригодного для любых неравновесных систем. В связи с этим не развита общая аксиоматика статистической теории. Мы будем изучать равновесные системы. Равновесным называется стационарное состояние изолированной системы. Все макроскопические характеристики такой системы постоянны во времени:

Чтобы макроскопические величины были постоянны, нужно чтобы ФСР не зависело от времени, все вероятности постоянны, плотность вероятности не содержат времени.

Wi=const f=f(q,p)

Общее наименование сохраняющейся величины ® ò движения. ФСР есть интеграл движения. Поэтому она может зависеть от координат и импульсов частиц только через другие сохраняющиеся величины

f(q,p)=f(J₁(q,p), J₂(q,p)…)

J_k=const какие-то другие ò движения.

Система из N частиц в самом общем случае может иметь N-1 ò движения

В статистической изике количество частиц обычно считается запертым в некотором объеме. Без ограничения общности этот сосуд можно считать неподвижным Þ импульс и момент импульса системы можно выпустить из числа ò движения, однако, есть дополнительный внутренний ò движения

Дополнительный постулат:

Для равновесных систем колличество частиц имеет один единственный ò движения – энергия системы, т.е.

f(q,p)=f(E(q,p)), причем E(q,p)=const

Поскольку энегрия одна и таже для всех микросостояний, все микросостояния равновесной системы оказываются равновероятными

W_i=A, где A какая-то константа одна и та же для всех микросостояний, она не изменяется с течением времени.

W=W(Е,N,l) обозначим через W полное число возможных микросостояний системы, она зависит от энергии, числа частиц и от внешних параметров.

Из условия нормировки:

WA=1 получаем: A=1/W фундаментальный основной закон, ФСР для равновесной системы, она имеет специальное наименование микроканоническое распределение. В физику она была введена в 1901 г. Гиббсом.

Словесное выражение этой формулы:

Все микросостояния равновесной системы равновероятны.

Дополнительное постулативное утверждение: из всех ò движения для системы имеет место только один – энергия системы

Данный постулат связан с предствавлением о полной неупорядоченности, хаотичности внутренного движения в равновесной системе.

Беспорядочность означает отсутствие всякой согласованности движения частиц. Нет никакой кореляции (согласованности) между координатами и импульсами частиц. Всякая упорядоченность, всякая согласованность любого дополнительного ò движения означает, что некоторые микросостояния для системы будут недоступны.

В формуле микроканонического распределения стоит W полное число возможных микросостояний, которые только возможны.

Ни на одно микросостояние, допустимых данных E,N,l нет запрета, никакое из них ничем перед другим не выделено, все они реализуются с одинаковой частотой. До настоящего времени ни одного исключения из микроканонического распределения не существует.

6. Связь энтропии с числом микросост. в локально-равновесных системах. Принцип Больцмана и ф-ла Больцмана. Статист. толкование закона созраст. энтропии. Пример примен. метода Больцмана. Согласно микро-канонич распределению для равновесной системы

здесь W одинаковых слагаемых энтропия опр-ся числом возможных состояний системы. Всякое ограничение на движение ч-ц, всякая согласованность в движении ч-ц ¯WÞименно в равновесии энтропия имеет max. Время релаксации t (время установления равновесия) очень сильно зависит от размеров системы. Может оказаться так, что любая малая часть системы уже придет в равновесие, а вся система вцелом нет (лед-вода, электронная и ионная подсистемы мб в равновесии, а электронно-ионная система мб в неравновесии). Рассм изолир сист в кот м выделить большое кол-во квазинезавис равновесных подсистем. Для любой i части м опр-ть E_i,N_i,l_i. Соот-но м задать энтропию каждой малой части. исп-ся аддитивность S=> где W=PW_i, для локально равновесной системы формально получается формула того же вида, что и для равновесной сист-ы.

Равнов неравнов S(t),

E_iN_il_i меняются с течением времени.

Малое взаимод-е с течением времени меняет энергию подсистемы. Обмен энергией и ч-ми идет ч\з теплообмен и диффузию, т е происходит беспорядочно, хаотически. S- локально- равновесной системы величина флюктуирующая не представляет генерального направления и S д ­ со временем. Именно для изучения локально-равновесных сист широко исп-ся принцип, метод, фор-ла Б.

пр. Больцмана утверждает, что энтропия связана с вероятностью Макро-сост-я системы. (­S означ-т ­ вер-ти макро-сост) Конкретной реализацией явл-ся формула Больцмана S=klnW_т, где W_т- ТД вер-ть М-сост-й. Метод Больцмана заключается в изучении систем на основе фор-лы Больцмана и соот-и W_т=W, где W-число м-сост-й, через которое реализуется данное М-сост-е. метод Больцмана: справедлива ф.Больцмана, если все м-сост-я равновероятны М-сост-я должны рас-ся ка случайные события данные условия берутся только для равновесных систем или локально-равновесной системы.

Имеется замкн система с постоянными внешн пар-ми и пост числом ч-ц. Разделим систему на 2 половинки и рассм состояние с различным распределением ч-ц по эт половинкам (сист равновесна, дв-е ч-ц абс беспорядочно)W_л=1/2, W_п=1/2 М посчитать, какова вер-ть того, что n- конкретных ч-ц нах-ся слева, а ост справа. Д указать положение ч-ы, т е имеем детальное описание сист. Если газ идеальный то вер-ть такого микросост= W_ab...cd...=1/2ⁿ где n-любые молекулы. Все микросост равновер-ны

Согласно методу Больцмана ТД вер-ть = числу состояний, ч\з кот реализ-ся данное состояние.(2 круга сразными буквами). Речь идет о числе выборок n- объектов из N возможных.

W_т(n)=W(n)=C_Nⁿ=N!/n!(N-n)! выражение имеет максимум при n=N/2, x=n- a, a =N/2 х-отклонение от равномерного распределения переходя от n к х. , предполагаем, что а>>1,x<<a. При выполнении неравенств W_T@W(0)e^-x2/a, при х=0 имеет max W_T(0)=W_Tmax

Вывод: микроскоп сост задано с точностью до флуктуаций, обычно флуктуациями м пренебречь, величина флук-й меньше точности измерений, прибры их не обнаруживают. Сколько нибудь заметные отклонения от равном распр-я имеют прак-и 0 верть по сравнению с равном распр-м ч-ц по обеим половинам.

Закон роста. Пусть в ансамбле есть распред. вероятн. по состоянию, которое изменяется со временем W_i(t). Можно ввести энтропию той же самой ф-лой что и для отд. системы. . (это по стат. анс. Гиббса). . Мы знаем что и . => , подставляем , . (*). Меняем индекс суммирования. i«k. Получим (**). Получили 2 выражения для пр-ных. Сложим их (* и **) при усл. p_ik=p_ki. . Все справа будет . Само - т.к. вероятность перехода из одного состояния в другое. Но произведение тоже всегда +. Т.е. . (=0 при W_k=const). Т.о. закон возр. энтропии как-бы выводится на основании механики ансамбля систем. Это нельзя считать полным выводом, т.к. допущение – вер-ть для ансамбля систем отождествлена с распред. вер-тей для микросост. отдельной системы, а это фактически самостоят. постулат.

12. Распределение Максвелла-Больцмана. Распределение Максвелла и его свойства. Распределение для модуля скорости и энергии частицы. Распределение Больцмана. Барометрическая ф-ла. Изуч сист- класс идеал одноатомн газ мы будем считать для общности, что газ помещен во внешн силовое поле U(r), каждая частица газа связана с внешним полем отдельно самостоятельно. Поэтому U(r) есть потенциальная энергия одной частицы находящейся в точке r. Поставим вопрос как найти вер-ть того, что частица обладает имп-ом и находится в точке r. Используем каноническое распределение Записанное в таком виде оно отвечает на вопр какова вероят попадания в i=0,1,2..g. Число степеней свободы g велико, поэтому незнаем как выделить отсюда информацию об одной частице. Будем использовать обобщенные координаты . Т к взаим-я м/у ч-ми нет, пот энергия может появиться только, если на газ наложено внешнее поле. С внешним полем каждая молекула взаим-т индивид-но. Энергия распадается на ряд слагаемых, которые зависят от коорд и имп-ов только одной частицы. Соответ экспонента распадается на Это означает, что наше распределение по коорд и имп всех частиц распадается на произведения распредел коорд и имп отдел частиц Такое распадение возможно если отдельные частицы распред независимо др от др. В данном случае это отражает физику- взаимодействия между частицами на расстоянии нет и поэтому их можно рассматривать как квазинезависимые др по отнош к др. Поэтому мы легко можем из общего распред выписать распред для одной час-цы. В силу равноправия частиц они все имеют одинаковую стр-ру . Действительно нормировочный интеграл I тоже можно представ в виде произв множит однотипных с интегралом стоящим в послед форм-ле. Записанное распред наз-ся распред Максвелла-Больцмана, оно легко разбивается на 2 распр-я.

Т.е. имеются 2 независимых распред для коорд и имп. Физика- мы полагаем, что потенциальная энергия есть функц только коорд, а кинет в клас физике зависит только от имп и никогда от коорд. dW(p)- распред Максвелла, dW(r)- распред Больцмана. распределение Максвела: характерно своей универсальностью. Оно применимо не только к ид газу но и к любой сист точечных класич част. Потому что кинет энергия всегда зависит от импульсов.. интеграл стоящий в знаменателе легко вычислить Þ очень часто вместо импульса использ скорость Максв распред можно считать статис незав. Распред-е по скоростям и энерг. Распр-е по имп-сам легко преобр в распр по скорост его можно предст-ть в виде произ-я трех распред-ий вероятности для проек-й скорости формула свидетельствует о статис незав-ти всех трех проекций скорости. В кл физике дв-е в свободном пространстве вдоль каждой оси не связано с движением вдоль др осей. тогда для модуля скорости получим

распределение для модуля скорости легко преобразовать в расп-е для энергии, если использовать

()то получим распред-е вероят-ей для значений энергии свободн частицы . Распред-е Больцмана В отличие от М. распред-я распределение Больцмана для каждой задачи будет свое т.к оно зависит от вида ф-ии U(r), т.е оно не универсально. 1)пот эн отсутст-т тогда вид распред показыв что все точки внутри сосуда явл равновероятными.2) ч-а нах-ся в однородном поле силы тяжести U(r)=mgz. Все положения при разных Z, но при одном и том же Х и Y будут равновероятны (п/э х и y м опустить) здесь h высота сосуда. Хотя поле действует, температура везде одинакова, учитывая это м получить выражение для давления. dn(z)-число частиц наход-ся в слое z,z+dz. концентрация частиц на высоте z. Концентрация связана с давлением. PV=NkT - в данном случае не пригодна. P=nkT правильно, тк не б меняться с высотой и давлением р(z) и концентрацией n(z). P(z)=p(0)exp(-mgz/kT). Если отношение mgz/kT<<1, то exp(-mgz/kT)=1-mgz/kT p(z)=p(0)(1-mgz/kT) отсюда p(0)-p(z)=(mgz/kT)*p(0) получчаем изменение давления с высотой. Барометрич ф-ла исп-ся для расчета давления атмосферы на разных высотах. Строго говоря это не законно: 1) атмосфера обычно не арвновесна. 2) хим состав атмосферы на различных разный. 3) тем-ра разная на разных высотах, п/э ф-лу м исп-ть только на высотах близких к поверхности Земли.

Выводы: давление быстро ¯ с высотой (экспоненц-но) 2) чем меньше масса молекулы, тем будет больше таких молекул в верх слоях атмосферы (азотно-кислородная атмосфера у пов-ти Земли на высоте 20 км становится почти чисто водородной 3) давление=0 только на ¥. Это означает, что отдельные молекулы м уходить от Земли как угодно далеко. Этот момент указ-т на рассеяние атмосферы.

Др объяснение рассеяния следующее: чтобы уйти от Земли дб V=11,2км/с (2 косм ск). В хвосте распред-я М всегда имеются быстрые молекулы. В то же время на больших высотах газ настолько разряжен, что длина свободного пробега сост многие тыс км, п/э ничто не мешает быстрой молекуле улететь за пределы Земли.

14. Ур-е сост-я слабонеидеаль-го газа. Сравнение теоритич ур-я сост-ия с ур-ем В-д-В.. Будем нах-ть термическое ур-е: р=р(Т,V,N). Используем: /1/, F= - /2/. Z-статистич. сумма. Найдем lnZ=ln(kZ_ид)=lnZ_ид.+lnk, где Z_ид. – статист сумма для ид. газа, a k= - конфигурационный интеграл. . и . где /*/ - это д.б. при b - оч. малом, -тоже мало) т.е. мы рассматр малую область взаим-я частиц газа (при >r взаимод. мало). Если /*/ выпол-ся, тогда: (т.к. . Получаем: . подставим получ выраж в /2/: . =>

. подставим в /1/: (*)- приближенное ур-е сост-я СНИ газа, где . Ур-е сост-я реаль-х газов, предлож-е В-д-В где точнее опис-ет св-ва газов, чем ур-е Мен-Кл. Чтобы мож было сравнить теорит ур-е и ур-е В-д-В необходимо . .

т.к.

то .

Произв nb дб << полного объема системы. (это одно из положений о слабой неидеальности) Теорит ур-е имеет след вид

(**).

Ур-е ВдВ берется не во всей обл применимости, а только для слабонеид газа. Оба ур-я совпадут, если будет вып-ся (*)(**) след рав-ва: (1) данное соотношение позволяет установить точный физический смысл поправок а и b в ур-и ВДВ. По условию слабой неидеальности при всех к>=d в эт обл f(r)=1-(W(r)/kT)-1=-W(r)/kT. В обл с r<=d пот эн будем считать равной бесконечности. (W(r)=¥) (2 графика: кулоновское взаимод-е и со стенкой). В этом случае f(r)=-1 применяя ф-ю f(r) к» выражению, получим вернемся к соотношению (1)

nb=(4p/6)r₀³8N d=2r₀ 4/3p r₀³=V₀ nb=4V₀N

уже ранее было известно, что поправка b как-то учит-т собств V молекул. Поправка nb= учетверенному собственному V молекул

Поправка а – поправка на энергию взаим (знак – означ то, что энер взаим отриц). Связь выражается последней формулой. Оба ур-я: теорит и ВдВ-дают одинаков рез-ты для СНИ, при этом выясняется точный физ смысл пост a и b в ур-ии ВдВ. Ур-е ВдВ полуэмпирич ур-е и составл след образом: 1)берется ур-е для идеаль газа pV=RT. Идеаль газ можно сжать до точки. Реаль газ нельзя сжать до точки, т.к. есть предел связ-ый с собственн объемом молекул и обязательно > его. Значит газ мож расшир и сжимат в определ пределе. Поэтому этот объем необх вычесть из объема газа p(V-b)=RT; 2)2-ая поправка учит след обр (рис: 2-е окруж одна впис в др впис изобр шире, молек в виде точек у внутр сторон опис окруж: от одной стрелка внутрь всех окр) если молекула нах-я у стенки, то она притягив. другими молек во внутрь. Выдел-т 2-а слоя пристеноч и след за пристеноч. Притяжение обуслав дейс-ем этих 2-х слоев. Сила взимодействия б. ~ числу молекул в слоях , точнее

(но n₁=n₂) , поэтому и была внесена поправка a/V²: . Ур-е ВдВ простое в матем-ом отношении, учитыв глав особенн неидеаль газа: отталкив на малых расстоя-х, притяжение на >. Его конструкция такова, что оно дает верные рез-ты не только для газа: горячего и разряженного (СНИ), но и для холодного и плотного газа. Ур-е ВдВ допускает экстраполяцию на жид сост-я в-ва., но уже работает неточно. Сходство с жид-тью связано с отталкив-м мол-л на близких расст-х – с поправкой b. Физ смысл пост a и b, кот был придан при сравнении ур-ия ВдВ с теоритич ур-м, оправдан только для слабонеидеаль газа, для сильнонеид газа и жид-ти толковать так смысл поправок нельзя – это просто const-ы, чьи значения подбираются так, чтобы ур-е согласовывалось с эксперим данными.

Ур-е ВдВ прим-ся гораздо шире, чем зона слабой неид-ти. Оно прим-ся для ид газа, слабо неид газа, неид газа, жидкости.

То сравнение, которое мы производим, б верно только в 1^х2^х случаях (ид газ и слабо неид газ). В 3и 4 случаях соответствия нет (неид газ и жидкость), в этой зоне поправки а и b толкуются как некоторые const, подбираемые именно на основе экспериментальных данных так, чтобы ур-е ВдВ хорошо описывало поведение вещества. Ур-е ВдВ довольно хорошо работает и в случаях 3 и 4, особенно хорошо работает для жидкостей благодаря множителю (1/ ). Этот множитель хорошо учит-т слабую сжимаемость жидкости, невозмож-ть ее сдавить до 0 в объем, меньший некоторого предельного.

15. Теорема о равномер-м распр-ии энергии сс. Док-во ее. Пусть сист имеет s степеней свободы => ее мех состояние опис-ся набором из 2f переменных. Есть неск-ко вариантов фор-ки. Нам удобен:Каждому квадратич-му слагаемому в среднем можно сопоставить одну и ту же эн-ю . Дело в том, что сущ масса объектов, у кот на одну степень свободы приходится как раз один квадратичный член E_i=a_ix_i² К/д квадратичн слагаемое м связать с энергией, прих-ся на одну степень свободы => энергия в среднем распр-ся равномерно по степеням свободы. - внутр эн системы. Для нахожд-я внутр эн-ии надо знать сколько квадратичных слагаемых входит в выражение эн-ии. Известно, что Применим эти ф-лы к 4-м случаям: 1. одноат-ый газ - , E=Sp_i²/2m 2. 2-атомн идеал газ с жесткой связью - , вся энергия газа: E=SE_i каждой степени свободы соответсвует одно квадратичное слагаемое. 3. 2-атомн ид газ с нежесткой связью м/у молек-ми - от пред случаев молекулу отличает колеб степень мол-ы. , в данном случае привычная трактовка теоремы (на к/д степень свободы при-ся одна и та же энергия) не работает. Колебат степеням соот-т не один, а 2 квадратичн члена, п/э колеб степени св иногда выд-ся - к поступательн движ.; -к вращат-му; - к колебат движ. 4. кристал реш-ка - восп-ся простейшей моделью кристалла. В кристалле N атомов, к/д атом совершает колеб движ-я около положения равновесия совершенно независимо от других атомов. Положения переменных неизменны, колебания атома м разложить на 3 независ колебания, вдоль каждой из осей коор-т. Т о мы имеем для данной системы 3N колеб ст своб. При малых смещениях колебания м счит-ть гармоническими, а пот эн представленной квадратичн слагаемыми. , Док-во: Пусть имеется равновесн сс, имеющая тем-ру Т и эта сс такая, что эн-ю ее м. пред-ть в виде суммы квадратичных членов 1. 2. cc равновесна, тем-ра Т. К такой сс применимо канонич-е распред-е: По правилу вычисл-я средних любой величины: Подинтегральная ф-ия будет такая, что многократный инт-л можно разложить на произвед-е отд-х инт-ов. Без ущерба для точности пределы интегр-ия в каждом инт-ле м. положить равными ±¥, хотя на самом деле пределы конечны, но замена ошибки не вносит, т.к. величина -энергия, связан-я с какой-то степенью свободы, ее max это энергия всей сс вместе взятой, она равна , тогда кажд сомножитель м. вычислить независимо, тогда инт-лы почти все сократятся и ост-ся: Из мат-ки: ,где => . Некот физ сист, где энерг м/б представлена в виде суммы квадратич-х слагаем-х. 1) 1-атомный идеаль газ: энерг сист , пременные р_хi, p_yi, p_zi – всего 3N. Тогда теорема запишется след образом , т.е. теорема о равномерном распределении энерг по степеням свободы применима.

17. Распред-е Ферми-Дирака и Бозе-Энштейна. Прямое примен-е канонич распред-я (КР) невоз-но, т.к. в нем нет учета тождест-ти частиц и пр-па Паули. В кач-ве квазинезависим. подсист. берется совок-ть час-ц, находящихся в одном квантов состоянии. Все другие час-цы образ-т по отнош-ию к выделенным термостат. Число частиц в выделенном квантов сос-ии меняется, поэтому эта система с перемен-м числом час-ц, поэтому для ее исслед-я н. прим-ть БКР. a -квантов сост-ие; n_a- число частиц в a -ом сос-ии. Т.к част взаим-т, то a постоянно мен-ся. Но совок-ть будет постоян-м. - число час-ц в сос-ии a. Чтобы найти в кач-ве подсист н. использ-ть сов-ть всех частиц в a-ом сос-ии. Все др част газа образ-т по отнош-ю к этим термостат. Поэтому применим к ним БКР: - больш стат сумма. e_a -эн-я час-ц в a- ом сост-ии(всех час-ц). W -число различных сос-ий сист при заданной эн-ии и задан-ом числе част. m -химич пот-л. Все частицы в одном квант сос-ии имеют одну и ту же эн-ию. Эн-я сист в целом Т.о. эн-я сист однозначно опред-ся числом э-ов. Утверждаем, что Это рав-во обеспеч-ся тем, что все э-ны принцип-но не различимы. Поэтому сос-ия подсист различ-ся только по числу частиц в ней. 1) Фермионы (одинаковые част с полуцелым спином: е, р...). n_a=0 или n_a=1.

=> (это и есть Ферми-Дирака) 2) бозоны – част с 0 или целым спином. n_a= 0,1...N, т.к число част велико, то N=¥. Эта сумма сход-ся, если при любом Е, для этого должно . Тогда: убывающая прогрессия

=> -распред-е Бозе-Эйнштейна.

Распр-ие част в квант ид газах по энергиям. Найти dn(e), e,e+de. число ч-ц опр-ся только энергией состояний. Как правило эн ч-ц квазидискретна, т.е. уровни эн идут настолько густо, что энергию м считать непрерывной величиной. С одной стороны de так велик, что на этот интер-л прих-ся большое кол-во dW. С др стороны этот интер-л так мал, что в его пределах Тогда Для одной частицы: (2S+1) –учит-т разные спины.

18. Распределение Больцмана и критерии вырождения газа. Распредел-ие час-ц в квант-х ид. газах по энергии. Найдем число час-ц dn(e) в интервале от e до e+de Исполь-ем фор-лу Б. предполагать, что с 1 стороны интервал de настолько велик, что на него приход-ся большое кол-во квант. сост-ний dW(e). С др. стороны этот инт-ал настолько мал, что в его пределах Þ Число кван-ых сост-ий dW(e) для первой час-цы а (2s+1) учитывает разные спин-е сост-я объекта. Окончательно В такой форме распр-ие прим-ся на практике. Распределение Больцмана и критерии вырождения газа. Допустим энергия изм-ся от 0 до ¥ Но такого не м. б. т. к. 0-ой энер-ии не м. б. Предположим, что выполн-ся условие (*);

тогда для этого случая распределение Ферми- дирака упрощается

Т. о. Можно упростить форм-лу

след-но

(**)(распределение Максвелла для эне ч-ц) она была выведена в рамках классической физики,=> ясно, что критерий (*) опр-т воз-ть применения классич физике. При выполнении (*) мы получанм (**), кот наз распределением Больцмана для квантого идеального газа. Она часто применяется в разных расчетах, когда с одной стороны уже пригодна классич физика, а с др стороны нам нужно подчеркнуть, что система квантовая с дискретными уровнями энергии. Заметим, что когда отброшена 1, то полностью теряется различие м/у бозонами и фермионами. Критерий (*) хорош, но очень глух и прозрачен.

подставим в (*)

Когда это рав-во вып-ся то примен-ма класс-ая физ-ка и все зак-ны выполн-ся. Если оно не выпол-ся, то класс-ка не применима. Тогда надо польз-ся распред-ем Бозе-Эйнш-Дирака. При этом нельзя применять и др. класс-ие законы. Если вып-ся нер-во (…)<1, то о применении классики не м б и речи, даже для оценок, для эт ввден спец термин - вырождение газа. Газ вырождается-это и есть отступ-ие газа от св-в класс-го ид. газа, связанное с квант-ми особен-ми повед-ия час-ц. Например ур-ие Менд-Клап pV=uRT не будет справ-во для выврожд-го газа Причин же больше: есть силовое вз-вие т. е. не связано с кван-ми особ-ми. Выполнению неравен-ва способст-ет:1)большая масса m; 2)высокая тем-ра Т; 3)большой удельный обьем или малая плот-ть. Низкая плотность=> большое расстояние м/у ч-ми=> не н учит-ть обменный эффект. Свободное движение по квантовой теории имеет некот стороны, некот черты такие же как у классич ч-ц (нерпер эн и импульс e=p²/2m, такая же как в классике связь м/у эн и импульсом) В класс-ке не учит-ся ферм. и бозоны. т. к. если критерий вырож-н то число возм-ных кван-ых сост-ний для 1 час-цы на много превыш-ет число час-ц. След-но кв-ых сост-ний много а час-ц мало. Тогда в больш-ве сост-ний нет час-ц и лишь в нек-ых имее-ся по 1 час-це в этом случ-е ни тожд-ть ни запрет Паули никак себя проявить не могут. Можно оцен-ть когда мож-о применять класс-ую физ-у и когда ее примн-ие дает незнач-ую ошибку. Ясно что если мы буд-м из-т вопр-сы в тех случ-х когда это нер-во невыпол-ся мы получим резко отл-ся формы повед-ия газа от станд-ых.

19. Вырожденный фермион. газ. Электроны в металлах. Мы б. производить изуч-е на основе формул: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; Фермионы не м. скаплив-ся ни в каком сост-ии, это им запрещает при-п Паули.=> ф-ла (3) для ферм-ов дает фактически полное число ч-ц. Рассмотрим изменение химич. потенц-л m. (График: ось ординат-m,ось абсцисс- Т, линия от знач-я m до Т₀ идёт по прямой, затем плавно переходит в параб. опускающ-ся ниже оси Т.) При уменьш. Т хим. потенц-л должен увелич-ся. При высоких Т, как для всех классич-х систем он отриц-лен. => При уменьш. Т, хим. потенц-л увелич-ся. Можно доказать, что монотонно: mmax = m (0), при Т=0. Здесь нет запрета на m > 0. Выделим область темп-р, в пределах кот-й м. б. m » m(0) или =m₀. Это м. б. в каком-то инт-ле темп-р от 0 до Т₀ (0£Т£Т₀). В определ-х случаях этот интер-л м. составлять 10 тыс.Т₀. Обратимся к распредел-ю Ферми: если > , при Т® 0, ® 0. Если < , при Тà 0, ® 1. Вблизи абс. 0 фермионы заполняют все квант-е сост-я, чья энергия ниже Т.о. энергия e_F=m_о, отделяет заполненное состояние от незаполненных. Обознач-е e_F- энергия Ферми. (Графики:1-й ось орд-т - , ось абсц-с -e, график- прямая от e=0,n=1 до e_F, n=1, затем ступенькой к оси e дальше -по оси. [при Т=0]. 2-й -тот же, но в области e_F спуск плавный [при 0£Т£Т_О). Ч-ы имеющие энергию ниже энергии Ферми, в тепловых и многих других процессах не участвуют. В следствие запрета Паули эл-ы с эн ниже эн Ферми не м изменять свою энергию и даже свое квантовое состояние. Имеется зона, где эл-ы легко меняют свое квант сост-е и уровни эн-и, эта зона располагается вблизи эн Ферми, она соост-т актив эл-м. Ниже располаг-ся пассивн зона. Теплоемкость эл газа в металле =0, т к в тепловом явлении уч-т ничтожная часть эл-в. будем считать, что газ сильно вырожден.,(*) при e < e_F, при e > e_F

Воспольз-ся ф-лой (3). » = , Þ , подставим а в фор-лу для E_F (**) Энергия Ферми e_F »1-10 эВ зависит от сорта(массы) и концентрации ч-ц. Рссмотрим зависим-ть p от T и V, и e от T и V. При достаточно низких Т интеграл упрощается, используя ф-лу (*) Þ , , e_F ~ , U~ . Энергия фермионного газа практич. не зависит от темпер-ры и концентрации ч-ц Þ теплоёмкость С_V= фермион. газа =0. PV=2/3U~V^2/3 p~1/V^5/3

При нагрев-ии, ч-цы переходят на более высокий уровень, при охлаждении - опускаются. Большинство ч-ц фермион. газа не м. изменить своего кванов-го сост-я Þ не м. активно участв-ть ни в каких явлениях. Þ С_V фермион. газа =0, и только малое число ч-ц (» 1-2%) от общего кол-ва (энергия » e_F), м. изменить состояние т..к вблизи них есть своб-е ур-ни энергии. Но в силу тождественн-ти ч-ц нельзя сказать, что электрон А находится на уровне A, а электрон Б - на уровне Б. Интенсивность теплового движ-я характериз-ся kТÞ имеется интервал шириной 2kТ, где эл-ны м. менять своё квант. состояние (эл-ны учавств-щие в теплов. движ-ии.) При Т®0 полоса сужается. В природе сущ-ет 2 примера фермион газа: 1) электрон. газ в металлах, 2) нейтронные звёзды. Электр. газ в мет-х. Темпер-ру Т_О из kT=e_F примем за темпер-ру вырождения. Т>>Т_О -классика, Т<<Т_О - «ступенька» Ферми - газа. Температ-й интервал очень широк. Исходя из ф-лы (**) м. сделать оценки: для металлов хорошо выполняются следующие представления: положит. ионы в узлах реш-ки, вокруг них своб. движ-ся электроны. Т. е. как-то выключ-ся электрич-е взаимод-вие м/у собой и ионами. Þ эл-ны образуют практич. ид. газ. Атомы в мет-лах посажены тесно Þср. расстояние » d атома.Þ значительные плотности. При образовании мет-а в ср. 1 атом теряет 1 эл-нÞ эл-нов столько сколько атомов d_ат.» 10^-10 м. Þ V ~ d³ Þ концентрация » 10³⁰ 1/м³. Масса эл-на m_e ~ 10^-30 кг. Но чем > N и чем <m, тем > энергия Ферми. e_F = 5-10 эВ. Þ Т_О = 3·10⁵. Реально Т_О » 50000-100000 К.Þ Электр. газ в мет-ах вырожденный и его св-ва резко отлич-ся от классич-го газа. В тепловых явл-ях эл-ны практич. не заметны, т. к. активных эл-нов только » 1% Скорости тепловых движ. эл-нов, их e_ср весьма велики: » 3-4 эВ, а для воздуха ~ 3·10^-2 эВ. Т. е. это энергия ~ энергии верхних оболочек атомов Þ большие скорости движения ~ 10⁶ м/с. Þ импульс эл. газа велик. Качественно запишем калорич. и термич. ур-е сост-я для эл-нов <