§ 1. В музыке отношение высот двух звуков выражают музыкальным интервалом (секунда, терция, кварта, квинта и г. д.).
В акустике отношение высот двух звуков выражают отношением их частот.
Чем больше отношение частоты верхнего звука к частоте нижнего, тем больше разница между ними по высоте. Это отношение частот двух звуков, образующих музыкальный интервал, называется его «интервальным коэффициентом». Из натурального звукоряда видно, что интервальный коэффициент октавы равен 2/1, интервальный коэффициент квинты равен 3/2, интервальный коэффициент кварты равен 4/3 и т. п.
В следующей таблице даны интервальные коэфициенты, выведенные из соотношения между частичными тонами натурального звукоряда:
Прима 1/1 Малая секунда 16/15
Большая секунда 9/8 или 10/9 Малая терция 6/5
Большая терция 5/4 Кварта 4/3
Квинта 3/2 Малая секста 8/5
Большая секста 5/3 Малая септима 9/5 или 16/9
Большая септима 15/8 Октава 2/1
Тритон 7/5 или 10/7
С музыкальными интервалами обращаются, как с величинами, могущими складываться и вычитаться, например: квинта + кварта = октава (при сложении квинты с - g c квартой g – c1 мы получаем октаву с – с1), квинта - м. терция = большая терция.
При обращении с интервальными коэффициентами сложение интервалов заменяется умножением их интервальных коэффициентов, вычитанием - делением, например:
Квинта + кварта = октава (3/2)Х(4/3) = 2/1
Квинта - малая терция = большая терция 3/2: 6/5 = 5/4
Кварта + малая терция = малая секста (4/3)Х(6/5) = 8/5
Большая секста - большая терция = кварта 5/3: 5/4 = 4/3
Для повышения или понижения высоты звука на какой-либо интервал нужно его частоту умножить или разделить на соответствующий интервальный коэффициент, например, умножение частоты тона а 440 к/с на интервальный коэффициент квинты 3/2 дает частоту 660 к/с и повышает тон на квинту (e)
A1 + квинта = е2 440Х3/2 = 660 к/с;
деление частоты тона а 440 к/с на интервальный коэффициент малой сексты 8/5 дает частоту 275 к/с и понижает тон на малую сексту
a1 - мал. секста = cis1 440: 8/5 = 275 к/с
В натуральном звукоряде порядковый номер обертона, отстоящего на октаву вверх от какого-либо другого обертона, в два раза больше порядкового номера последнего, поэтому при обращении интервала, получаемого путем перенесения нижнего тона на октаву вверх, знаменатель интервального коэффициента удваивается и делается числителем отношения.
Например, обращение квинты 3/2 дает кварту 4/3, обращение большой терции 5/4 дает малую сексту 8/5.
При обращении интервала, получаемого путем перенесения верхнего тона на октаву вниз, числитель уменьшается вдвое и делается знаменателем.
Например, обращение малой терции 6/5 дает большую сексту 5/3, обращение большой секунды 10/9 дает малую септиму 9/5:
§ 2. Все звуки, применяемые в музыке, связаны между собой. Одни из них связаны более сильно (непосредственно родственные звуки), другие - менее сильно (опосредствованно родственные звуки). Степень родственности двух звуков определяется слышимыми общими частичными тонами.
Например, звуки с и g являются непосредственно родственными, так как они имеют слышимый общий частичный тон g1 (3-й частичный тон от с и 2-й частичный тон от g). Также непосредственно родственными являются звуки с и е, так как у них имеется слышимый частичный тон е2 (5-й частичный тон от с и 4-й частичный тон от е). В большой секунде c - d звуки находятся в слабом непосредственном родстве, потому что их общий частичный тон d3, вследствие отдаленности не слышен (9-й частичный тон от с и 8-й oт d). Ho звуки c - d могут быть сделаны более родственными путем прибавления третьего звука, у которого имеются общие отчетливо слышимые частичные тоны со звуками с и d. Например, таким звуком может быть звук g, который находится в непосредственном родстве и со звуком с и со звуком d. Такое родство между звуками с и d называется опосредствованным[1].
Из сказанного следует, что все консонирующие интервалы (прима, октава, квинта, кварта, б. и м. терция, б. и м. секста) образованы звуками непосредственно родственными, а диссонирующие (тритон, б. и м. септима, б. и м. секунда) - опосредственно родственными[2].
§ 3. При восприятии двух одновременных звуков различной громкости более громкий звук, при известном соотношении громкостей, может совершенно «заглушить», «замаскировать» другой более слабый звук. Если прекратить звучание громкого звука, то второй звук, который до этого не был слышен, станет отчетливо слышимым (через некоторое время). Исследования этого эффекта показали, что наиболее маскируются звуки, лежащие выше маскирующего звука; что чем больше сила маскирующего звука, тем больше область маскировки и тем дальше она распространяется на маскируемые звуки.
При маскирующем звуке в 200 к/с и в 80 дб мы не услышим, например, звука в 800 к/с и 70 дб[3].
Чем ближе пo частоте маскируемый звук находится к маскирующему, тем больше эффект маскирования. В непосредственной близости по частоте маскирующее действие уменьшается вследствие наличия биений, которые помогают обнаружить присутствие маскируемого тона. Наиболее сильно маскируются звуки, соответствующие обертонам маскируемого звука.
В произведениях, написанных для симфонического оркестра, встречаются места, в которых маскирующее действие оказывают также обертоны, возникающие при игре на инструментах в низком регистре (например, в валторнах) на мелодию, исполняемую в высоком регистре (например, гобоем). Некоторые звуки мелодии при этом для слушателя пропадают. В музыкальной практике постоянно встречается эффект маскирования, особенно при игре симфонического оркестра. Дирижеры, выравнивая звучность оркестра, хорошо представляют и ощущают меру маскирования.
§ 4. При одновременном звучании двух звуков, например, с и g, образующих интервал квинты - 3/2, 3-й обертон от с и 2-й обертон от g совпадают по высоте. Тон g1 называется тоном совпадения звуков с и g.
У звуков с и а, образующих интервал большой сексты - 5/3, совпадают 5-й обертон от с и 3-й обертон от а. Тон е2 называется тоном совпадения звуков с и а.
Звуки с и es, образующие интервал малой терции - 6/5, имеют тон совпадения g2 - 6-й обертон от с и 5-й от es.
Тон совпадения любых звуков, образующих какой-либо интервал, можно определять построением от них натуральных звукорядов.
При этом тон совпадения образуется обертоном верхнего звука, номер которого равен знаменателю интервального коэффициента, и обертоном нижнего звука, номер которого равен числителю того же интервального коэффициента. Например, частоты звуков, образующих интервал большой терции, находятся в отношении 5/4 (в натуральном звукоряде). Таким образом, тон совпадения этого интервала образуется от слияния 5-го обертона от нижнего звука и 4-го - от верхнего звука.
Два звука могут иметь один, два и более слышимых тонов совпадения.
Например, звуки с и е имеют один слышимый тон совпадения: (совпадают: 5-й обертон от с и 4-й-от е)[4].
Звуки с и g имеют два тона совпадения: (совпадают 3-й обертон от c и 2-й от g и 6-й от c и 4-й от g)[5].
Слышимость тонов совпадения различна и зависит от интервала и регистра образующих звуков. Чем проще интервальный коэффициент, тем более низкие обертоны совпадают, и тем лучше слышимость тона совпадения. Однако, если тон совпадения является октавным удвоением одного из образующих его звуков, то он слышен плохо. Так, во втором примере тон совпадения g1 звуков с и g представляет собой октавное удвоение звука g и маскируется последним. Поэтому тоны совпадения хорошей слышимости имеют: малая терция, большая секста и тритон; лучше всего тоны совпадения слышны, когда образующие их звуки находятся в малой или большой октаве.
Тон совпадения может быть образован тремя, четырьмя и более звуками. Например, звуки Fis, с и а имеют общий тон тройного совпадения е2, который является 7-м обертоном от Fis, 5-м от с и 3-м от а.
Звуки D, Fis, c и а имеют общий тон четверного совпадения е2.
В музыке тоны совпадения могут искажать характер гармонии. Так, большая секста в низком регистре всегда имеет несколько минорный характер, доминантсептаккорд может образовать тон совпадения, придающий аккорду характер нонаккорда и т. п.
§ 5. Совпадение двух звуков по частоте воспринимается нами как один звук (физический унисон). Если постепенно изменять частоту одного из звуков, то мы будем воспринимать один звук, сопровождаемый биениями - периодическими усилениями и ослаблениями звука (физиологический унисон). Высота этого звука представляет собой среднюю высоту между высотами обоих составляющих звуков. Прекращение звучания более высокого звука создает впечатление понижения высоты слышимого звука. Прекращение звука более низкого создает впечатление повышения звука[6].
При увеличении разницы между звуками, более чем на 1/6 целого тона (в среднем регистре), их слияния в один звук не происходит и наступает расщепление унисона на два отдельных звука. Биения при этом не исчезают, а сохраняются до некоторого предела.
При наличии нескольких звуков, интервал между крайними звуками с заполненной серединой может доходить до 1/4 (унисон скрипок) и даже 1/2 целого тона (унисон одноименных голосов хора). Как показали исследования, музыканты симфонического оркестра, исполняющие одну и ту же партию, например, первых скрипок, не играют точно в унисон, однако слушатели воспринимают один слитный звук с высотой, занимающей среднее положение между высотами всех составляющих звуков.
Частота суммарного, сопровождаемого биениями, колебания зависит от соотношения амплитуд слагаемых колебаний. Если их амплитуды равны между собой, то частота его остается постоянной, не изменяющейся, имея среднее значение между частотами слагаемых колебаний.
Если амплитуды слагаемых колебаний не равны, то частота суммарного колебания периодически незначительно изменяется, совместно с периодическим изменением его амплитуды. При максимуме амплитуды частота лежит между частотами слагаемых звуков. Но при последующем затем минимуме амплитуды частота слитного звука отклоняется в сторону частоты звука с большей амплитудой и даже заходит за эту частоту. Если из двух слагающихся звуков звук с большей амплитудой является более высоким, то частота слитного звука, при минимуме его амплитуды, больше частот обоих звуков. Если же звук с большей амплитудой является более низким, то частота слитного звука, при минимуме его амплитуды, меньше частот обоих звуков.
Однако обнаружить это отклонение частоты на слух, при, минимуме амплитуды, очень трудно, и ощущение высоты слитного звука почти всегда дает некоторое серединное ее положение между высотами обоих звуков.
Частота биений, т. е. их количество в одну секунду, равна разности между частотами составляющих звуков.
Например, одновременное звучание двух камертонов в 435 к/с и 440 к/с дает 440-435=15 биений в одну секунду.
Всякое прерывистое раздражение нервов (мерцающий свет, прерывистый звук) ощущается сильнее, чем постоянное раздражение той же силы, при которой чувствительность нервов быстро притупляется. С увеличением частоты отдельных раздражений (или перерывов между раздражениями) нерв уже не успевает полностью возвращать себе нормальную чувствительность, отдельные раздражения сливаются между собой и прежнего действия не производят.
Поэтому с увеличением частоты биений они становятся все менее и менее заметными и, наконец, совсем исчезают.
Наиболее отчетливо биения слышны при количестве их, равном 4-5 в одну секунду. При количестве биений не более 2-15 в одну секунду их можно еще подсчитать. При большем количестве их можно только слышать, подсчитать же невозможно. Если количество биений становится более 30 в одну секунду, то они начинают сливаться, их непосредственная слышимость исчезает, и остается неприятное ощущение «хриплости» или «шероховатости» звучания. При дальнейшем увеличении количества биений исчезает и шероховатость. Наиболее неприятное, раздражающее впечатление биения создают на границе перехода их в хриплость и шероховатость, т. е. при количестве биений, равном 30-60 в одну секунду.
Граница исчезновения шероховатости, иначе говоря, предел восприятия биений слухом, зависит от регистра звуков. С повышением звуков этот предел увеличивается. В высоком регистре (конец третьей октавы) биения, в виде хриплости звука, еще заметны при количестве их, равном 132 в одну секунду.
В еще более высоком регистре (середина четвертой и начало пятой октавы) биения могут быть заметны при количестве их, доходящем до 400 в одну секунду. В низком регистре биения перестают быть слышными при значительно меньшем числе.
В низком регистре разница по частоте между двумя образующими интервал, меньше разницы по частоте между звуками, того же наименования, но в более высоком регистре. Например, звуки низкого регистра A1 - 55 к/с и С - 66 к/с, образующие интервал малой терции (66/55 = 6/5), производят 66 - 55 = 11.биений в 1 сек., которые можно подсчитать на слух. Звуки того же наименования, но более высокого регистра, а2 - 880 к/с. и с3 - 1 056 к/с, образующие тот же интервал малой терции (1056/880 = 6/5) производят 1 056-880=176 биений в сек., - количество, при котором в данном регистре они уже не слышны. Поэтому максимальная величина музыкального интервала, при котором еще слышны биения, в низком регистре больше, чем в высоком.
В четвертой октаве биения слышны при интервале большой секунды. В середине пятой октавы биения слышны лишь при интервале малой секунды. В большой октаве биения ясно заметны при интервале квинты, образованном звуками C - 64 и G - 96 к/с.
К биениям между основными тонами звуков присоединяются биения между их обертонами.
Биения, сопровождающие звучание тонов совпадения, усиливают их слышимость и делают их более заметными.
Биения могут возникнуть также между основным тоном одного звука и соответствующим обертоном другого звука.
При нескольких звуках смешения биений между основными тонами и их обертонами образует некоторый беспорядочный комплекс, в котором нет возможности что-либо различить.
Биения могут возникнуть и при наличии лишь одного источника звука, между его обертонами. Например, ржавчина на стальной струне рояля уменьшает ее толщину у одного из концов. При делении струны пополам в процессе колебания ее половины (колебание которых дает второй обертон) колеблются с неодинаковой частотой вследствие различной их толщины, отчего и возникают биения.
Такие биения негармонических обертонов особенно хорошо заметны в колоколах.
Явлением биений пользовались на практике для выяснения обертонного состава звука, при так называемом «анализе методом звукового зонда». Звуковым зондом служил тон, постепенно изменяемый по высоте.
Такой тон обычно получали от «генератора звуковых частот». При совместном звучании исследуемого звука и звука-зонда, по биениям последнего узнают о наличии на данной частоте обертона исследуемого звука.
Биениями пользуются также при настройке музыкальных инструментов, например, рояля, фисгармонии. Присутствие биений указывает на неточность настройки в унисон или октаву.
В органе биения иногда используют для придания звуку особой выразительности. Такой звук носит название «vox humana» (человеческий голос), так как он является подражанием естественной вибрации человеческого голоса.
§ 6. При одновременном звучании двух достаточно сильных и близких по высоте звуков, часто появляется третий, ясно слышимый тон.
Этот тон называется разностным комбинационным тоном.
Частота разностного тона равна разности частот образующих его звуков.
Так, например, два звука, имеющие частоту 600 к/с и 500 к/с, дают разностный тон с частотой 100 к/с.
Положение разностного комбинационного тона:по отношению к образующим его звукам определяется их интервальным коэффициентом.
Чтобы определить отношение частот разностного комбинационного тона к частотам образующих его звуков, нужно из числителя интервального коэффициента звуков вычесть его знаменатель. Полученное число (вместе с числами интервального коэффициента) показывает отношение частот всех трех звуков.
1. Определим разностный тон звуков es2 и с2, о6разующих интервал малой терции, с интервальным коэффициентом 6/5. Вычитая из числителя интервального коэффициента (6) знаменатель (5), находим число 6-5=1, показывающее отношение частоты разностного тона IK частотам образующих его звуков.
Построим затем натуральный звукоряд, считая звуки es2 н c2 ero шестым и пятым частичными тонами:
Тогда первый частичный тон натурального звукоряда As (1) соответствует разностному тону звуков es2 (6) и с'2 (5).
2. Определим разностный тон звуков f2 и a1, образующих интервал малой сексты, с интервальным коэффициентом 8/5: 8 - 5 = 3.
Построим натуральный звукоряд, считая f2 и а1 восьмым и пятым его тонами:
Тогда третий частичный тон натурального звукоряда с1 (3) соответствует разностному тону звуков f2 (8) и а1 (5).
Аналогичным образом определяется положение разностных тонов других интервалов с простыми интервальными коэффициентами.
Ниже приведена приблизительная высота (в темперированном строе) разностного комбинационного тона (обозначен черными нотами) в зависимости от величины интервала образующих звуков (обозначены белыми нотами).
Как видно из таблицы, при интервале, меньшем октавы, разностный тон ниже обоих звуков. При интервале октавы он совпадает с нижним звуком. При интервале, большем октавы, разностный тон находится между образующими его звуками. Выше верхнего звука разностный тон быть не может, так как уменьшаемое всегда больше разности.
Разностные комбинационные тоны образуются как основными тонами, так и обертонами и могут в свою очередь образовывать свои разностные комбинационные тоны.
Каждые два тона натурального звукоряда соседних номеров дают разностный тон 1, совпадающий с основным тоном звукоряда и усиливающий его, например: 2 - 1 = 1, 3 - 2 = 1, 4 - 3 = 1, 7 - 6 = 1, 15 - 14 = 1 и т. д.
Тоны звукоряда несоседних номеров совпадают с другими тонами и усиливают их, например: 5 - 3 = 2, 7 - 4 = 3, 11 - 3 = 3, и т. п.
Но усиление отдельных тонов натурального звукоряда еще более усиливает разностный тон 1, образуемый соседними тонами. Этот тон, совпадая с первым частичным тоном, звучит значительно громче остальных частичных тонов, и весь натуральный звукоряд воспринимается, как один звук с высотой основного тона.
Этим объясняется восприятие гармонических обертонов сложного звука, как его тембра, а не как ряда ясно слышимых тонов.
Слышимость комбинационного тона зависит от силы образующих его звуков, от регистра, в котором возникает комбинационный тон, и от соложения последнего по отношению к образующим звукам.
Сила комбинационного тона пропорциональна произведению сил образующих звуков. Вследствие этого его громкость растет и убывает значительно быстрее громкости образующих звуков. Поэтому комбинационный тон становится хорошо слышным лишь при достаточно громких образующих звуках.
При одной и той же силе комбинационного тона он лучше слышен, когда образующие звуки имеют приблизительно одинаковую громкость.
Комбинационный тон слышится лучше, когда он находится в области наибольшей чувствительности уха (примерно в области от 500 до 3 000 к/с, т. е. при высоких образующих звуках).
Кроме того, комбинационный тон может быть плохо слышен из-за его маскировки образующими звуками. Эта маскировка тем меньше, чем больше отстоит комбинационный тон от образующих его звуков. Поэтому комбинационный тон отчетливо слышен лишь при интервалах, меньших октавы, так как при этом он всегда находится ниже образующих звуков. При интервале октавы комбинационный тон совпадает с нижним образующим звуком и маскируется последним (см. нотный пример на стр. 28). При интервалах, больших октавы, разностный комбинационный тон, находясь между образующими звуками, также сильно маскируется и слышен плохо.
Все сказанное относительно слышимости комбинационных тонов можно проследить на различных источниках звука.
Комбинационный тон слышен при звучании камертонов, деревянных органных труб и духовых музыкальных инструментов-труб, кларнетов и флейт. Хуже слышен комбинационный тон при звучании струнных смычковых инструментов - скрипок и альтов. На рояле комбинационный тон услышать трудно, так как его громкость быстро убывает.
В музыке возникновение комбинационных тонов может вызвать искажение гармонии. Например, в минорном трезвучии e2 - g2 - h2 звуки е2 и g2 могут образовать гармонически чуждый комбинационный тон с, который, отстоя от них далеко вниз, хорошо слышен.
Для борьбы с комбинационными тонами, источники звуков следует располагать, по возможности, далее друг от друга, а также строить созвучие таким образом, чтобы комбинационные тоны не противоречили общей гармонии.
Комбинационные тоны были открыты еще в середине XVIII века немецким органистом Зорге в Гамбурге и, независимо от него, - итальянским скрипачом Тартини в Падуе. Однако различные теории объяснения этого явления появились значительно позже.
Сначала считали, что комбинационные тоны возникают лишь в слуховом аппарате человека - ухе.
Так, Юнг, основываясь на том, что частота разностного тона, как и частота биений, равна разности частот образующих звуков, полагал, что когда число биений в 1 секунду станет достаточно большим, то их толчок будут восприниматься ухом как комбинационный тон.
Гельмгольц, теоретически правильно объяснив появление комбинационных тонов, считал, что они возникают в ухе вследствие несимметричности строения барабанной перепонки, которая при своих колебаниях прогибается в одну сторону больше, чем в другую.
Кроме того, он допускал возможность, что слуховые косточки среднего уха при биениях могут производить периодические стуки, воспринимаемые как комбинационные тоны.
Однако позднейшие исследования показали, что лица, у которых операцией были удалены барабанная перепонка и слуховые косточки (кроме стремени), все же могли слышать комбинационные тоны.
Современная теория основывается на теории Гельмгольца, математически доказавшего, что разностные комбинационные тоны возникают вследствие так называемой «нелинейности колебаний» системы. Эта нелинейность состоит в том, что величины смещения колебательной системы при вынужденных колебаниях не пропорциональны вынуждающей силе. А так как практически колебания каждой системы при больших амплитудах становятся нелинейными, то комбинационные тоны могут возникать в каждой колебательной системе, даже в воздухе, при звуковых волнах слишком большой амплитуды, а не только в ухе человека.
Поэтому, принято различать субъективные комбинационные тоны, возникающие в ухе, и объективные комбинационные тоны, возникающие вне уха в колебательных системах (например, в громкоговорителе).
Наиболее заметными, обычно, являются субъективные комбинационные тоны.