О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi(уменьшаемое) и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a’) + (b – b’)i.
Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i
Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6
Умножение комплексных чисел.
Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a’ + b’i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2= - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a’ + b’i) должно равняться aa’ + (ab’ + ba’)i + bb’i2 , а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.
О п р е д е л е н и е. Произведением комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число
(aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i.
З а м е ч а н и е 1. Равенство i2 = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2 , т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a’ = 0, b’ = 1 Имеем aa’ – bb’ = -1, ab’ + ba’ = 0, так что произведение есть –1 + 0i, т. е. –1.
З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2 = -1.
Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.
Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a2 + b 2
Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.
Деление комплексных чисел.
Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.
О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.
Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно (доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.
Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).
Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:
((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.
Пример 1 предудущего параграфа даёт проверку.
Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)(-3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i.
Проступая, как в примерах 1 и 2, найдем общую формулу:
Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ + b’. Получим a + bi.
З а м е ч а н и е 1. Формулу (1) было бы принять за определение деления.
З а м е ч а н и е 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом. Согласно определению, мы должны иметь: (a’ + b’i)(x + yi) = a + bi. Значит, должны удовлетворяться следующие два уравнения:
a’x – b’y = a; b’x + a’y = b.
Эта система имеет единственное решение:
если a’/b’ = -b’/a’, т. е. если a’2 + b’2 = 0.
Остается рассмотреть случай a’2 + b’ 2 = 0. Он возможен лишь тогда, когда a’ = 0 и b’ = 0, т. е. когда делитель a’ + b’i равен нулю. Если при этом и делимое a + bi равно нулю, то частное неопределено. Если же делимое не равно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности).
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на фиг.1, где точка А изображает число; а точка В – число –5. Эти же числа можно изображать также
Отрезками ОА,ОВ, учитывая не только их длину, но и направление.
Каждая точка М “числовой прямой” изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОМ соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на числовой прямой не остаётся места для комплексных чисел.
Но комплексные числа можно изобразить на числовой плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (фиг.2). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х (на фиг.2 х=ОР=
=QM) равна абсциссе а комплексного, а ордината у (OQ=РM) равна ординате b комплексного числа.
П р и м е р ы. На фиг. 3 точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка В изображает комплексное число –2 + 6i; точка С – комплексное число – 6 – 2i; точка D – комплексное число 2 – 6i.
Действительные числа (в комплексной форме они имеют вид a + 0i) изображают точками оси Х, а чисто мнимые – точками оси У.
П р и м е р ы. Точка К на фиг. 3 изображает действительное число 6, точка L – чисто мнимое число 3i; точка N – чисто мнимое число – 4i. Начало координат изображают число 0.
Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки С и С’ на фиг. 3 изображают сопряжённые числа –6 – 2i и - 6 + 2i.
Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число -2 + 6i можно изобразить не только точкой В (фиг. 4), но также вектором ОВ; комплексное число –6 – 2i изображается вектором ОС и т. д.
З а м е ч а н и е. Давая какому – либо отрезку наименование “вектор”, мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка.