Глава 2. Конечные сверхразрешимые группы

сверхразрешимый группа лемма

Определение 2.1. Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.

Лемма 2.1 [1, Лемма 26.1].

(1) Каждая подгруппа и каждая фактор-группа сверхразрешимой группы сверхразрешимы.

(2) Прямое произведение сверхразрешимых групп является сверхразрешимой группой.

(3) Сверхразрешимая группа разрешима.

Доказательство:

(1) Пусть группа G сверхразрешима. Тогда группа G обладает нормальным рядом с циклическими факторами:

 

и фактор-группы циклические для всех i. Пусть и Тогда подгруппа U имеет ряд

 

 

причём для вех i. Далее

 

 

и фактор-группа циклическая. Итак, ряд <2> нормальный и его факторы циклические. Поэтому подгруппа U сверхразрешима.

Пусть . Рассмотрим ряд

 

 

Ясно, что для всех , поэтому ряд <3> нормальный.

Далее,

 

 

поэтому факторы ряда <3> циклические и фактор-группа сверхразрешима.

(2) Пусть G и H - сверхразрешимые группы. Тогда группы G и H обладают нормальными рядам

 

 

с циклическими факторами Рассмотрим прямое произведение и построим ряд

 

 

Этот ряд нормальный и его факторы циклические.

(3) Пусть группа сверхразрешима. Тогда группа обладает нормальным рядом <1> с циклическими факторами. Так как циклическая, то разрешима. Так как и циклические, то они разрешимы, поэтому разрешима по лемме 1.2. Теперь и разрешимы, значит и разрешима по лемме 1.2, и т.д. Через конечное число шагов получаем, что группа разрешима.

Лемма 2.2 [1, Лемма 26.2]. (1) Если группа G содержит нормальную циклическую подгруппу K и фактор-группа G/K сверхразрешима, то группа G сверхразрешима.

(2) Если фактор-группа G/Z(G) сверхразрешима, то группа G сверхразрешима.

(3) Нильпотентная группа сверхразрешима.

Доказательство.

(1) Так как G/Kсверхразрешима, то имеется нормальный ряд

 

 

с циклическими факторами Рассмотрим ряд

 

<4>

 

Так как то и ряд <4> нормальный.

Кроме того, факторы циклические для Далее, - циклическая группа. Значит ряд <4> нормальный с циклическими факторами и группа сверхразрешима.

(2) Пусть . Так как сверхразрешима, то имеется нормальный ряд

 

 

с циклическими факторами Поскольку в абелевой группе максимальные подгруппы имеют простые индексы, то группа обладает рядом

 

 

с факторами простых порядков. Рассмотрим ряд

 

<5>

 

Так как , то Поскольку все подгруппы из центра группы нормальны в группе, то ряд <5> нормальный. Кроме того, факторы

 

 

циклические для а факторы

 

 

имеют простые порядки. Значит ряд <5> нормальный с циклическими факторами и группа сверхразрешима.

(3) Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть G - нильпотентная группа и . Тогда K имеет простой порядок. По индукции фактор-группа сверхразрешима. Теперь группа G сверхразрешима по (1).

Лемма 2.3 [1, Лемма 26.3]:

Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда она обладает главным рядом с факторами простых порядков.

Доказательство.

Пусть G сверхразрешима. Тогда она имеет нормальный ряд <1> с циклическими факторами . Так как и циклическая, то по лемме 1.2, все подгруппы в характеристические. Пусть - подгруппа простого индекса в . Тогда

 

 

следовательно по лемме 1.3, и ряд

 

 

нормальный с циклическим фактором простого порядка. Повторяя эти действия, через конечное число шагов придём к главному ряду с факторами простых порядков.

Обратно, если группа G имеет главный ряд с факторами простых порядков, то этот ряд будет нормальным, а его факторы циклическими. Значит группа G будет сверхразрешимой.

Теорема 2.1. [1, теорема 26.4]. (1) Максимальные подгруппы сверхразрешимой группы имеют простые индексы

(2) В сверхразрешимой группе каждая минимальная нормальная подгруппа имеет простой порядок.

Доказательство.

(1) Пусть G - сверхразрешимая группа и . По лемме 2.3 группа G имеет главный ряд

 

<6>

 

с факторами простых порядков. Зафиксируем число i такое что , но . Поскольку и , то и

Но и , поэтому либо , либо . Поскольку, , то и .

(2) Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть . По лемме 2.3 в группе G существует минимальная нормальная подгруппа K простого порядка. Если , то N=K и утверждение справедливо. Пусть . По лемме 1.4, подгруппа - минимальная нормальная подгруппа фактор-группы . По индукции - простое число.

Лемма 2.4 [1, Лемма 26.5]. Если G - сверхразрешимая группа и p-наибольший простой делитель порядка G, то силовская p-подгруппа группы G нормальна.

Доказательство.

Воспользуемся индукцией по порядку группы G. Пусть Тогда - простое число теореме 2.1. Фактор-группа сверхразрешима. По индукции, т.е. Если то и Пусть тогда . Так как фактор-группа по теореме 1.6, является циклической группой порядка то и Но теперь, следовательно .

 

Глава 3. Примеры

 

Заметим, что можно привести пример конечной неабелевой группы, которая является сверхразрешимой.

Пример 3.1. Группа кватернионов Q сверхразрешима, но не абелева.

Пусть Q=<A,B|A⁴=B⁴=E, A²=B², B^-1AB=A^-1> - группа кватернионов, порожденная матрицами A= и B= .

Элементами группы Q являются матрицы:

 

, , ,

.

 

Таким образом, =8=2³. Следовательно, в силу примера 3.1 группа кватернионов Q сверхразрешима.

Однако группа Q не является абелевой.

Действительно,

 

A×B= × = ≠ = × = B×A.

 

 

Согласно пункту (3) леммы 2.2. каждая нильпотентная группа сверхразрешима. Обратное утверждение в общем случае не верно. Приведем соответствующий пример.

Пример 3.2. Симметрическая группа S₃ степени 3 сверхразрешима, но не нильпотентна.

Пусть S₃ - симметрическая группа степени 3. Найдем все ее собственные подгруппы.

 

Н₁ = < > = <{ , },

Н₂ = < > = <{ , },

Н₃ = < > = <{ , }, ,

Н₄ = < > = <{ , , }, .

 

Подгруппа Н₁ не является нормальной подгруппой группы S₃. Действительно, выберем . Пусть . Тогда и , . Следовательно, и . Таким образом, для не существует элемента такого, что Значит, по определению

Подгруппа Н₂ не является нормальной подгруппой группы S₃. Действительно, выберем . Пусть . Тогда и , . Следовательно, и . Таким образом, для не существует элемента такого, что Значит, по определению

Подгруппа Н₃ не является нормальной подгруппой группы S₃. Действительно, выберем . Пусть . Тогда и , . Следовательно, и . Таким образом, для не существует элемента такого, что Значит, по определению

Рассмотрим подгруппу Н₄. Ее порядок . Следовательно, она является силовской 3-подгруппой группы S₃. Поскольку Н₄ - единственная силовская 3-подгруппа группы S₃, то .

Таким образом, группа S₃ обладает нормальным рядом , факторы которого и имеют порядки 2 и 3 соответственно, значит, являются циклическими группами. Следовательно, по определению, группа S₃ сверхразрешима.

То, что группа S₃ не является нильпотентной, следует из того, что она обладает только одной силовской 3-подгруппой

 

 

Заключение

 

В данной курсовой работе были приведены некоторые результаты касающиеся вопроса сверхразрешимости конечных групп, обладающих нормальным рядом с циклическими факторами. Рассмотрены и доказаны некоторые свойства сверхразхрешимых групп в виде лемм во второй главе. В главе три приведены и рассмотрены примеры.

 

Список используемой литературы

 

1. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. - Гомель: УО «ГГУ им. Ф. Скорины», 2003. - 320 с.;

. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982. - 288 с.;

. Холл М. Теория групп. - М.: Издательство иностранной литературы, 1962. - 468 с.;

. Курош А. Г. Теория групп. - М.: Наука, 1967. - 648 с.;

. Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1986. - 564 с.