ЛЕКЦИЯ 1
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Колебания – это движение тела, в ходе которого оно многократно движется по одной и той же траектории и проходит при этом одни и те же точки пространства. Примерами колеблющихся объектов могут служить - маятник часов, струна скрипки или фортепиано, вибрации автомобиля.
Колебания играют важную роль во многих физических явлениях за пределами области механики. Например, напряжение и сила тока в электрических цепях могут колебаться. Биологическими примерами колебаний могут служить сердечные сокращения, артериальный пульс и производство звука голосовыми связками.
Хотя физическая природа колеблющихся систем может существенно отличаться, разнообразные типы колебаний могут быть охарактеризованы количественно сходным образом. Физическая величина, которая изменяется со временем при колебательном движении, называется смещением. Амплитуда представляет собой максимальное смещение колеблющегося объекта от положения равновесия. Полное колебание, или цикл – это движение, при котором тело, выведенное из положения равновесия на некоторую амплитуду, возвращается в это положение, отклоняется до максимального смещения в противоположную сторону и возвращается в свое первоначальное положение. Период колебания T – время, необходимое для осуществления одного полного цикла. Число колебаний за единицу времени - это частота колебаний.
Простое гармоническое колебание
В некоторых телах при их растяжении или сжатии возникают силы, противодействующие этим процессам. Эти силы прямо пропорциональны длине растяжения или сжатия. Таким свойством обладают пружины. Когда тело, подвешенное к пружине, отклоняют от положения равновесия, а потом отпускают, его движение представляет собой простое гармоническое колебание.
|
|
Рассмотрим тело массой m, подвешенное на пружине в положении равновесия. Смещая тело вниз, можно вызвать колебание тела. Если 
- смещение тела от положения равновесия, то в пружине возникает сила F (сила упругости), направленная в противоположную смещению сторону. В соответствии с законом Гука, сила упругости пропорциональна смещению 
, где k - константа, которая зависит от упругих свойств пружины. Сила является отрицательной, поскольку она стремится вернуть тело в положение равновесия.
Действуя на тело массой m, сила упругости придает ему ускорение вдоль направления смещения. Согласно закону Ньютона 
, где 
. Для упрощения последующих рассуждений пренебрежем трением и вязкостью в колеблющейся системе. В таком случае амплитуда колебаний не будет изменяться со временем.
Если не действуют никакие внешние силы (даже сопротивление среды) на колеблющиеся тело, то колебания осуществляются с определенной частотой. Эти колебания называются свободными. Амплитуда таких колебаний остается постоянной.
Таким образом, 
(1). Перемещая все члены равенства и деля их на m, получим уравнения 
,
а затем 
(2), где 
Уравнение (2) является дифференциальным уравнением простого гармонического колебания.
Решение уравнения (2) дает две функции:
(3) и 
(4)
Таким образом, если тело массой m осуществляет простые гармонические колебания, изменение смещения этого тела от точки равновесия во времени осуществляется по закону синуса или косинуса.
|
|
- фаза колебания с начальной фазой 
. Фаза является свойством колебательного движения, которое характеризует величину смещения тела в любой момент времени. Измеряется фаза в радианах.
Величина 
называется угловой, или круговой, частотой. Измеряется в радианах, деленных за секунду 
или 
(5)
График уравнения простого гармонического колебания представлен на Рис. 1. Тело, первоначально смещенное на расстояние А – амплитуды колебания, а затем отпущенное, продолжает колеблется от -A и до A завремя T - период колебания.
Рис. 1.
Таким образом, в ходе простого гармонического колебания величина смещения тела изменяется во времени вдоль синусоиды или косинусоиды. Поэтому простое гармоническое колебание часто называют синусоидальным колебанием.
Простое гармоническое колебание имеет следующие основные характеристики: a) движущееся тело попеременно находится по обе стороны от положения равновесия; б) тело повторяет свое движение за определенный интервал времени; c) ускорение тела всегда пропорционально смещению и направлено противоположно ему; д) графически этот тип колебания описывает синусоида.
Затухающее колебание.
Простое гармоническое колебание не может продолжаться сколь угодно долго при постоянной амплитуде. В реальных условиях через некоторое время гармонические колебания прекращаются. Такие гармонические колебания в реальных системах называются затухающим колебаниями ( рис.2 ). К снижению амплитуды колебаний с последующим их прекращением приводит действие внешних сил, например, трения и вязкости. Эти силы уменьшают энергию колебаний. Они называются диссипативными силами, поскольку способствуют рассеиванию потенциальной и кинетической энергии макроскопических тел в энергию теплового движения атомов и молекул тела.
|
|
Рис.2
Величина диссипативных сил зависит от скорости тела. Если скорость 
сравнительно мала, то диссипативная сила F прямо пропорциональна этой скорости 
(6)
Здесь r - постоянный коэффициент, независимый от скорости или частоты колебаний. Знак минус указывает на то, что тормозящая сила направлена против вектора скорости движения.
Принимаясь во внимание действие диссипативных сил, дифференциальное уравнение гармонического затухающего колебания имеет вид: 
.
Перенеся все члены равенства в одну сторону, разделив каждый член на 
и заменяя 
, 
, получим дифференциальное уравнение свободных гармонических затухающих колебаний
(7)
где 
- коэффициент затухания, характеризующий затухание колебаний за единицу времени.
Решением уравнения является функция 
(8)
Уравнение (8) показывает, что амплитуда гармонического колебания уменьшается экспоненциально во времени. Частота затухающих колебаний определяется уравнением 
(9)
Если колебание не может происходить вследствие большого , то система возвращается в свое положение равновесия по экспоненциальному пути без колебания.