Перечень условных обозначений

Введение

Понятие группы послужило во многих отношениях образцом при перестройке математики на рубеже 19-20 вв. Истоки понятия группы обнаруживаются во многих дисциплинах. Галуа (1830) принадлежат многие достижения собственно в теории групп: открытие роли так называемых нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных групп степени n; он же ввел термин «группа» (le groupe), хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии теории групп сыграл трактат К. Жордана (1870) о группах подстановок. А. Кэли (1854 и далее), он явно пользовался термином «группа», систематически использовал таблицы умножения, ныне называемые таблицами Кэли, доказал представимость всякой конечной группы подстановками.

Еще один источник понятия группы - теория чисел. Уже Л. Эйлер (1761), изучая «вычеты, остающиеся при делении степеней», по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение группы на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в «Арифметических исследованиях» (1801), занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая «композицию двоичных квадратичных форм», К. Гаусс, по существу, доказывает, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу.

Осознание в конце 19 века принципиального единства теоретико-групповых идей, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия групп. (С. Ли, Г. Фробениус и др.). Уже в 1895 С. Ли определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно их композиции. Изучение групп без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (1916).

В своей работе я рассматриваю нильпотентные группы, их простейшие свойства и признаки.

Перечень условных обозначений

- знак строгого включения множеств;

- знак включения множеств;

- принадлежность элемента множеству;

- объединение множеств;

- пересечение множеств;

- множество всех для которых выполняется условие ;

- является подгруппой группы ;

- является собственной подгруппой группы ;

- является максимальной подгруппой группы ;

- является нормальной подгруппой группы ;

- является минимальной нормальной подгруппой группы ;

Скобки < >применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

- множество всех простых делителей порядка группы ;

- порядок группы ;

- централизатор множества в группе ;

- центр группы ;

- нормализатор подмножества в группе ;

- силовская -подгруппа группы ;

- факторгруппа группы по подгруппе ;

- прямое произведение подгрупп A и B;

- подгруппа Фраттини группы ;

- коммутатор элементов a и b;

- группы изоморфны.