Определённый интеграл - аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая - область в множестве задания этой функции (функционала).
Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.
Пусть f(x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b]на части с несколькими произвольными точками a = x0 < x1 < x2 < xn = b. Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a;b] Далее выберем произв. точку 
, i = 0, Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел интегральных сумм ΘR при 
, если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξi, т.е. 
(1) Если существует (1), то функция f(x) называется интегрируемой на [a;b] - определение интеграла по Риману.
- нижний предел.- верхний предел.(x) - подынтегральная функция.
λR - длина частичного отрезка.
σR - интегральная сумма от функции f(x) на [a;b] соответствующей разбиению R.
λR - максимальная длина част. отрезка.
Определение интеграла на языке 
, δ:(по "Коши") Число I - называется определённым интегралом от f(x) на [ a; b ], если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0: для любого разбиения R отрезка [ a; b ]: λR < δ, выполняется неравенство: |I- σR | = |∑n-1i=0f(ξi) Δxi - I| < ε при любом ξi є [ xi; xi+1] Тогда I = ∫abf(x)dx
Интегра́л Ри́мана - одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.
Через интегральные суммы
Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.
Рассмотрим разбиение отрезка 
- конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков 
. Длина наибольшего из отрезков δR =max(Δxi), называется шагом разбиения, где Δxi = xi − xi − 1-длина элементарного отрезка.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке 
. Интегральной суммой называется выражение 
.
Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], т.е. 
.
В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].
Свойства
Невырожденность: 
Положительность: Если интегрируемая функция f неотрицательна, то её интеграл по отрезку [a,b] также неотрицателен.
Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и 
, то функция αf + βg тоже интегрируема, и 
.
Непрерывность: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и 
. (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции.)
Аддитивность при разбиениях отрезка Пусть a < b < c. Функция f интегрируема на отрезке [a,c], тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a,b] и [b,c], при этом
.
Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция <https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B8%D1%85%D0%BB%D0%B5>Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b], если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).
Если функция F является первообразной непрерывной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b) − F(a). (Это - общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана.) Непрерывная на отрезке функция f всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: 
, где C - произвольная константа.
Примеры решения определенного интеграла
Вычислить интеграл 
Решение.
Положим u = x, dv = cos x dx = d(sin x), получим du = dx, v = sin x. Применяя формулу
Вычислить интеграл 
.
Решение.
Положим 
, отсюда x = t2 - 1 и dx = 2t dt. Новые пределы интегрирования определяются из формулы ; полагая x = 0, будем иметь t = 1 и, полагая x = 3, получим t = 2. Следовательно,
