Пример №1
Решить дифференциальное уравнение,
- уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные:
Интегрируя, получим общий интеграл:
или
Пример №2
Решить уравнение 
.
Перепишем уравнение в виде 
или 
Уравнение линейно относительно у. Решим его методом подстановки y=uv, тогда 
.
Приведем уравнение к виду:
или
Найдем функцию v(x), решая уравнение 
. Тогда для нахождения функции получим уравнение 
. Решаем первое уравнение:
или 
; 
; 
; 
.
; 
Перемножая u(x) и v(x), получим общее решение заданного уравнения: 
.
Пример №3
Найти частное решение уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям
Сначала решим соответствующее однородное уравнение 
Его характеристическое уравнение 
имеет корни 
Значит, 
- общее решение однородного уравнения.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 
, так как в правой части исходного уравнения коэффициентом при показательной функции служит многочлен нулевой степени и 
не является корнем характеристического уравнения.
Дифференцируя 
два раза, получим
Подставляем 
в исходное уравнение и приходим к равенству (16А-8А-3А) 
или 5А=1. Таким образом, 
. Следовательно, общее решение данного уравнения
Для нахождения 
воспользуемся начальными условиями:
или
Отсюда, 
Пример №4
Исследовать функцию 
xy на экстремум.
Решение
а) Находим частные производные первого порядка
, 
б) Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:
откуда 
в) Находим частные производные второго порядка в точках 
.
В точке 
=0, 
, 
В точке 
:
=30, 
,
Тогда значение дискриминанта в точке
, то есть в точке 
экстремума нет.
Значение дискриминанта в точке 
.
Следовательно, в точке 
заданная функция имеет минимум.
Величина этого минимум 
.
Пример №5
Вероятность сдать каждый из трех экзаменов сессии на отлично для студента М равна соответственно 0,8; 0,7 и 0,75. Найти вероятность того, что студент сдаст на отлично:
а) все три экзамена;
б) два экзамена;
в) хотя бы один экзамен.
Решение:
Обозначим:
- студент сдаст первый экзамен на отлично;
- студент сдаст второй экзамен на отлично;
- студент сдаст третий экзамен на отлично;
Этим событиям противоположные соответственно 
По условию: 
Тогда 
.
а) Обозначим А-студент сдаст на отлично все три экзамена, то есть и первый, и второй, и третий экзамены. Тогда 
.
Вероятность события А найдем по теореме умножения для независимых событий:
б) Обозначим В- студент сдаст какие- либо два из трех экзаменов на отлично. Тогда В= 
. Вероятность события В найдем, применяя сначала теорему сложения для несовместных событий, а затем теорему умножения для независимых событий:
)
0,8*0,7*0,25+0,8*0,3*0,75+0,2*0,7*0,75=0,425
в) Обозначим С- хотя бы один экзамен из трех студент сдаст на отлично. Тогда противоположное ему событие 
- ни один экзамен студен на отлично не сдаст.
По следствию из теоремы сложения вероятностей получим:
Р(С)=1-Р(
)=1-Р(
)=1- 
P(C)=1-0,2*0,3*0,25=1-0,015=0,985
Пример №6
После года хранения на складе в среднем 10% аккумуляторов выходит из строя. Определить вероятность того, что после года хранения из 12 аккумуляторов годными окажутся 10 аккумуляторов.
Решение:
Событие А- наудачу взятый аккумулятор после года хранения годный. Вероятность Р(А)=р=0,9; 
; р=0,9=const каждого n=12 аккумуляторов.
Следует определить вероятность 
Применим формулу Бернулли:
Получаем:
Пример №7
Дан закон распределения случайной величины Х
| Х | -1 | ||
| Р | 0,2 | 
| 0,3 |
Найти , М(Х), D(X), P(-0.5 
1),F(X). Построить график F(X).
Решение:
Так как 
, то 0,2+ +0,3=1, откуда =0,5 и закон распределения принимает вид
| Х | -1 | ||
| Р | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
Найдем математическое ожидание случайной величины Х, используя формулу M(X)= 
.
М(Х)=-1*0,2+0*0,5+2*0,3=0,4
Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой D(X)=M(
. При этом M(
=1,4. Тогда D(X)=1,4-0,16=1,24.
Составим функцию распределения F(X). По определению F(X) находим:
если х 
-1, то 
Р(Х 
х)=0;
если -1 х 0, то F(X)=Р(Х х)=Р(Х=-1)=0,2;
если 0 х 2, то F(X)=Р(Х х)=Р(Х=-1)+Р(Х=0)=0,2+0,5=0,7;
если х 
2, то F(X)=Р(Х х)=Р(Х=-1)+Р(Х=0)+Р(Х=2)=0,2+0,5+0,3=1.
Итак,
Строим график этой функции:
 |
У
1
0,7
0,2
-1 2 Х
Найдем вероятность Р(-0,5 
) попадания случайной величины Х в заданный интервал по формуле:
Р(a 
)=F(b)-F(a)
Получим
Р(-0,5 )= F(1)-F(-0,5)=0,7-0,2=0,5.