Отображения. Образы и прообразы линий

Предварительно следует прочитать п. 1.3. из [1].

Пусть G и D – области на комплексной плоскости. Будем говорить, что задано отображение из G в D (), если для всякой точки по некоторому правилу или закону поставлена в соответствие точка . Точка называется образом точки , а точка - прообразом точки при отображении . Соответственно, если Г и L – кривые в комплексной плоскости, то ‑ образ кривой Г, а ‑ прообраз кривой L при отображении .

1.24. а) Найти образы линий , , при отображении .

Можем записать . Поэтому , . Если , то получаем в плоскости кривую, заданную параметрически уравнениями , . Исключая параметр имеем , и, следовательно, . При каждом фиксированном это парабола с ветвями направленными влево и вершиной в точке и пересекающая мнимую ось при , то есть в точках и . При получаем отрицательную полуось .

Если , то параметрические уравнения образа этой кривой есть , , откуда, исключая параметр имеем , и, следовательно, ‑ семейство парабол с ветвями направленными вправо, вершиной в точке и пересекающая мнимую ось при , то есть в точках и . При получаем положительную полуось .

Если , , , следовательно, и образом прямой неотрицательная часть мнимой оси.

б) Найти образы линий , , при отображении при отображении .

Имеем . Если , то . Это уравнение описывает окружность с центром в начале координат и радиуса пробегаемую бесконечное число раз. Если , то . Это уравнение луча исходящего из начала координат со значением аргумента равным . Если , то и мы получаем спираль, описываемую вокруг начала координат.

в) Найти прообразы линий при отображении .

Так как , то , если . При получаем уравнение , которое описывает пару распадающихся прямых и . При получаем гиперболы с фокусами на оси при и фокусами на оси при и асимптотами и . Далее, так как , то , если . При получаем уравнение , которое описывает оси координат. При получаем гиперболы лежащие в 1-м и 3-м координатных углах при и гиперболы лежащие во 2-м и 4-м координатных углах при и асимптотами , . Если , то , или . Выделяя в последнем уравнении полный квадрат, последовательно имеем , , . Это пара распадающихся прямых , , или, что тоже самое , .

е) Найти образы линий и при отображении .

Можем записать . Если , то это окружность радиуса пробегаемая два раза. Если , то получаем луч исходящий из начала координат под углом .

в) Найти прообразы линий при отображении .

Можем записать , или . Если , то при это половина окружности радиуса лежащая в верхней полуплоскости плоскости , при это половина окружности радиуса лежащая в нижней полуплоскости плоскости . Таким образом, прообразом линии при отображении есть окружность радиуса пробегаемая бесконечное число раз. Если , то получаем луч в плоскости исходящий из начала координат под углом .

1.25. Представить в показательной форме а) ; б) ;

в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ;

з) .

Имеем а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

1.26. Найти модуль, аргумент, вещественную и мнимую части а) ; б) ; в) .

а) Так как , то , , ;

б) Так как то , , если главное значение аргумента выбирать из промежутка , , ;

в) Так как то , , если главное значение аргумента выбирать из промежутка потому что , , .

1.27. Вычислить а) ; б) ; в) .

а) ;

б)

;

в) .

1.28. Найти вещественную и мнимую части модуль и аргумент комплексного числа .

Имеем

а)

. Таким образом , , , .

1.29. Найти вещественную, мнимую части и модуль комплексного числа .

Имеем б) , откуда . Или .

Из последнего получаем . Умножим обе части равенства на и получим , или , . Следовательно . Тогда . Поэтому , , ,

1.30. Решить уравнения: а) ; б) ;

а) Так как , то . Следовательно, . Умножая обе части равенства на получаем , откуда . Поэтому ;

б) Так как , то . Следовательно, . Умножая обе части равенства на получаем . Это квадратное уравнение относительно . Решая его получаем или .

Из первого соотношения получаем . Поэтому .

Из второго соотношения имеем . Поэтому .