ИНЖЕНЕРНО – ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

(ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР)

Числовые и функциональные ряды, преобразование Лапласа

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда[ 1, гл.16, §1].

2. Необходимые и достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами [ 1, гл. 16, §§ 2,4,5,6]

3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда [ 1, гл.16, §§ 7,8].

4. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда [ 1, гл.16,§13].

5. Разложение функций в степенные ряды [ 1, гл.16, §16].

6. Тригонометрические ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье [ 1,гл.17, §§1,2,4,5,6].

7. Преобразование Лапласа. Изображение основных элементарных функций [ 1, гл.19, §§1,2].

8. Основные свойства преобразования Лапласа [ 1, гл.19, §§3,4].

9. Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом [ 1, гл.19, §§10,11,14,15].

 

Теория вероятностей

10. Опыты со случайными исходами. Случайные события и действия над ними [ 1, гл.20, §1].

11. Относительная частота и вероятность случайного события. Формула классической вероятности [ 1, гл.20, §2].

12. Правило сложения вероятностей [ 1, гл.20, §3].

13. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей [ 1, гл.20, §4].

14. Формула полной вероятности и формула Байеса [ 1, гл.20, §§5,6].

15. Повторные испытания. Формула Бернулли [ 1, гл.20, §8].

16. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства [ 3, гл.3, §§1,2,3].

17. Функция плотности распределения и его свойства. Примеры распределения случайных величин [ 1, гл.20, §§12,13,15,16,17].

18. Числовые характеристики случайных величин [ 1, гл.20, §§9,10,14].

ВОПРОСЫДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №4

 

1. Дайте определение сходящего и расходящегося рядов.

2. Сформируйте необходимый признак сходимости рядов.

3. Сформируйте признаки Даламбера, Коши и интегральный признак сходимости рядов с положительными членами. Приведите примеры.

4. Дайте определение признака Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Приведите пример применения этого признака.

5. Сформируйте теорему Абеля о сходимости степенных рядов. Выведите формулу радиуса сходимости ряда.

6. Запишите формулы для коэффициентов ряда Фурье.

7. Дайте определение преобразования Лапласа. Приведите свойства изображений.

8. Изложите операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем.

9. Дайте классическое определение вероятности. В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?

10. Дайте определение суммы и произведения событий. Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.

11. Запишите формулу полной вероятности.

12. Приведите формулу Байеса.

13. Дайте определение последовательности независимых испытаний. Запишите формулу Бернулли.

14. Дайте определение случайной величины.

15. Дайте определение функции распределения и плотно-сти распределения случайной величины. Сформулируйте их свойства. Приведите примеры.

16. Дайте описание дискретных и непрерывных распределений: равномерное, биномиальное, нормальное.

17. Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, если она распределена по нормальному или равномерному закону.

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

Задача №1

Исследовать сходимость числового ряда.

1. , 3. , 5. , 7. , 9. , 11. , 13. , 15. , 17. , 19. ,

2. , 4. , 6. , 8. , 10. , 12. , 14. , 16. , 18. , 20. .

Задача №2

Найти интервал сходимости степенного ряда.

1. , 3. , 5. , 7. , 9. , 11. , 13. , 15. , 17. , 19. ,

2. , 4. , 6. , 8. , 10. , 12. , 14. , 16. , 18. , 20. .

Задача №3

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.

1. , 3. , 5. , 7. , 9. , 11. , 13. , 15. , 17. , 19. ,

2. , 4. , 6. , 8. , 10. , 12. , 14. , 16. , 18. , 20. .

Задача №4

Найти оригинал по заданному изображению.

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11. , 12. ,

13. , 14. ,

15. , 16. ,

17. , 18. ,

19. , 20. .

Задача №5

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.

2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.

Задача № 6

1. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком , вторым - . Первый сделал , второй – выстрелов. Определить, вероятность того, что цель не поражена.

2. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0.8. Найти число годных приборов, если всего было проверено 150 приборов.

3. В партии из 15 изделий 9 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из 5, взятых наугад изделий, 2 изделия будут дефектными?

4. В магазине выставлены для продажи 20 изделий, среди которых 5 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 2изделия будут некачественными?

5. В магазине выставлены для продажи 26 изделий, среди которых 6 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 2 изделия будут некачественными?

6. Производится прием кодовых комбинаций, содержащих пять цифр от 1 до 5. Какова вероятность того, что в принятой комбинации цифры образуют последовательность 1, 2, 3, 4, 5?

7. В квадрат со стороной вписана окружность, в которую, в свою очередь, вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что наугад брошенная в квадрат точка окажется внутри круга, но вне треугольника, если все положения точки в квадрате равновозможны.

8. В урне 8 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.

9. В урне 9 белых и 6 черных шаров. Из урны вынули один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли ещё один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, тоже белый.

10. Для сдачи коллоквиума студенту достаточно ответить на один из двух предложенных вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст коллоквиум, если он не знает ответов на 8 вопросов из 40, которые может быть предложены?

11. Бросается две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит 4; б) произведение числа очков не превосходит 4; в) произведение числа очков делится на 4.

12. Имеются изделия 4-х сортов, причем число изделий 1-го сорта ; 2-го сорта ; 3-го сорта ; 4-го сорта . Наудачу для контроля берется 7 изделий. Определить вероятность того, что среди них изделие первосортное; , , второго, третьего и четвертого сортов соответственно.

13. Среди 15 лотерейных билетов 7 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.

14. В лифт 9-этажного дома сели 5 пассажиров. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

15. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину .

16. Два поезда, двигаясь навстречу друг другу, должны пройти по железнодорожному мосту между 10 и 11 часами. Время каждого поезда по мосту равно 10 мин. Найти вероятность встречи поездов на мосту, если проход каждого поезда в течение указанного часа может произойти в любое время.

17. В партии содержится 20 деталей, среди которых 8 нестандартных. Для контроля взяли наудачу 4 детали. Найти вероятность того, что две из взятых деталей нестандартны.

18. По линии связи в случайном порядке передаются все 30 знаков алфавита. Определить вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, образующих слово «радио».

19. Студент знает 30 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает ответы только на два вопроса из трех его экзаменационного билета.

20. В ящике имеется 20 деталей, среди которых 12 окрашенных. Сборщик наудачу берет 6 деталей. Найти вероятность того, что среди них 3 окажутся окрашенными.

Задача № 7

Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени . За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью , второй – с вероятностью , третий – с вероятностью . Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы оставались исправными, б) все узлы вышли из строя, в) только один узел стал неисправным, г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в таблице).

 

Задача №8

1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0.9, для велосипедиста – 0.8 и для бегуна – 0.75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнить норму.

2. В ящик, содержащей 3 одинаковые детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике..

3. В альбоме 7 чистых и 5 гашеных марок. Из них наудачу извлекают 3 марки, подвергают спецгашению и возвращают обратно. После этого вновь извлекают одну марку. Определить вероятность того, что марка чистая?

4. В каждой из трех урн содержится 5 черных и 5 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. После этого из второй урны извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

5. В первой урне 4 белых и 2 черных шара; во второй урне 2 белых и 3 черных шара; в третьей 4 белых и 4 черных шара. Из первой и второй урн перекладывают по одному шару в третью урну. Шары в третьей урне перемешивают и из нее наугад берут один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

6. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны 0.8, 0.5, 0.6. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?

7. Человек, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело три дороги. Вероятность выхода из леса в течение часа по этим дорогам равна соответственно 0.4; 0.2; 0.3. Чему равна вероятность, что заблудившийся выбрал первую дорогу, если известно, что он вышел из леса в течение часа?

8. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 25%, второй – 45%, третьей – 30%. Известно, что процент брака на первой, второй и третьей фабриках 0.03; 0.04; 0.07 соответственно. Найти вероятность того, что выбранное изделие произведено на первой фабрике, если при испытании оно оказалось бракованным.

9. По линии связи могут быть переданы символы А, В, С. Вероятность передачи символа А равна 0.5; символа В – 0.3; символа С – 0.2. Вероятности искажения при передаче символов А, В, С равны соответственно 0.01; 0.03; 0.07. Установлено, что сигнал из двух символов принят без искажения. Чему равна вероятность того, что передавался сигнал АВ?

10. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или черный. В урну опускают один белый шар и после перемешивания наудачу извлекают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

11. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0.6, 0.5 и 0.4.

12. Имеются две урны: в первой 4 белых и 3 черных шара, во второй 3 белых и 2 черных. Из первой урны во вторую перекладывают два шара, шары перемешивают, а затем из второй урны в первую перекладывают один шар. После этого из первой урны берут один шар. Найти вероятность, что он белый.

13. По объекту производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле соответственно 0.7; 0.6; 0.4. Для вывода объекта из строя достаточно трех попаданий, при двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0.7, при одном – с вероятностью 0.3. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.

14. У рыбака имеются три места лова, которые он посещает с равной вероятностью. На первом месте рыба клюет с вероятностью 0.7; на втором – 0.8; на третьем - 0.6.Известно, что рыбак три раза закидывал удочку и рыба клюнула один раз. Найти вероятность того, что он ловил на первом месте.

15. В ящике лежат 15 теннисных мячей, 10 новых и 5 старых. Для игры наудачу выбираю 2 мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу берут еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

16. Имеются три партии деталей по 15 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 15, 12, 9. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

17. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

18. В группе из 20 стрелков имеются 6 отличных, 8 хороших и 6 посредственных стрелков. При одном выстреле отличный стрелок попадает в мишень с вероятностью 0.9, хороший – с вероятностью 0.8 и посредственный – с вероятностью 0.7. Наугад выбранный стрелок выстрелил дважды; отмечено одно попадание и один промах. Какова вероятность, что это был отличный стрелок?

19. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 6 черных шаров. Из первой во вторую перекладывают три шара, а затем из второй извлекают один шар. Определить вероятность, что он белый.

20. Рабочий обслуживает три разных станка, производя при этом одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего – в два раза меньше, чем второго. Вероятность брака для первого станка равна 0.02; для второго – 0.03; для третьего - 0.01. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь – бракованная.

Задача № 9

Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие появится: а) ровно k раз, б) не менее k раз, в) не более k раз, г) хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна (см. исходные данные в таблице).

Задача №10

Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , функцию распределения случайной величины, математическое ожидание , дисперсию , вероятность выполнения неравенства , построить график функции распределения .

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Задача №11

Найти вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (см. исходные данные в таблице).

ТАБЛИЦА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Вариант	Задача 7	Задача 9	Задача 11
0.7 0.5 0.6	5 3 0.7	6 13 2 4
	0.8 0.6 0.3	4 2 0.4	6 11 3 5
	0.9 0.7 0.6	6 3 0.6	5 9 3 6
	0.4 0.8 0.7	5 3 0.9	3 9 4 5
	0.8 0.4 0.9	6 4 0.5	3 5 3 6
	0.6 0.5 0.7	5 2 0.7	9 15 3 2
	0.8 0.7 0.3	6 3 0.8	3 10 6 2
	0.5 0.7 0.4	5 2 0.6	4 12 2 4
	0.9 0.6 0.8	4 2 0.7	10 21 9 6
	0.3 0.4 0.7	5 3 0.9	8 20 6 3
	0.8 0.3 0.9	6 2 0.2	1 9 8 4
	0.5 0.7 0.8	5 3 0.7	5 14 9 5
	0.7 0.4 0.9	6 4 0.2	4 9 8 1
	0.8 0.2 0.6	5 3 0.4	3 10 7 2
	0.9 0.3 0.4	6 4 0.3	2 8 6 4
	0.4 0.5 0.8	5 2 0.7	1 12 4 1
	0.8 0.7 0.9	4 2 0.9	3 12 4 5
	0.5 0.3 0.8	5 3 0.5	3 10 3 2
	0.8 0.9 0.7	6 4 0.7	4 9 2 5
	0.8 0.5 0.4	4 3 0.8	5 11 2 5