Механическое колебательное движение —это движение, при котором состояния тела с течением времени повторяются, причем тело проходит через положение устойчивого равновесия поочередно в противоположных направлениях.
Если колебания происходят в системе только под действием внутренних сил, то такие колебания называют свободными.
Колебательной системой называют такую физическую систему, в которой при отклонении от положения равновесия возникают и существуют колебания.
Маятник – это твердое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или вокруг оси.
В рамках данной темы будет рассмотрен простейший вид колебательного движения — гармонические колебания.
Гармонические колебания — это колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнениями вида:
Эти уравнения называют кинематическим законом гармонического движения.
Покажем, что гармонические колебания действительно подчиняются закону синуса или косинуса. Для этого рассмотрим следующую установку.
Возьмем нитяной маятник, а в качестве груза к нему выберем небольшой массивный сосуд с маленьким отверстием снизу и насыплем в него песок.А под полученную систему положим длинную бумажную ленту.
Если ленту перемещать с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний, то на ней останется волнообразная дорожка из песка, каждая точка которой соответствует положению колеблющегося груза в тот момент, когда он проходил над ней. Из опыта видно, что след, который оставляет песок на листе бумаги, есть некая кривая.
Она называется синусоидой. Из курса математики вы узнаете о том, что аналогичные графики имеют функции типа
Значит, графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается синусоидой или косинусоидой.
Через точки, соответствующие положению равновесия маятника, проведена ось времени t, а перпендикулярно ей — ось смещения икс. График дает возможность приблизительно определить координату груза в любой момент времени.
Теперь разберемся с величинами, входящими в уравнение колебательного движения.
Смещение — величина, характеризующая положение колеблющейся точки в некоторый момент времени относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в данный момент времени.
Амплитуда колебаний — максимальное смещение тела от положения равновесия.
Циклическая, или круговая частота, показывающая, сколько колебаний совершает тело за 2p секунд.
j0 — это начальная фаза колебаний.
Фаза колебаний — это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.
Период колебаний обычно обозначается буквой Т и в системе СИ измеряется в секундах.
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний. Обозначается частота буквой ν. За единицу частоты принято одно колебание в секунду. Эта единица названа в честь немецкого ученого Генриха Герца.
Период колебания и частота колебаний связаны следующей зависимостью:
Т.е. частота — это величина обратная периоду и равная числу полных колебаний, совершаемых за 1 секунду.
Циклическая частота также связана с периодом колебаний или частотой. Эту связь математически можно записать в следующем виде:
Таким образом, любое колебательное движение характеризуется амплитудой, частотой (или периодом) и фазой колебаний.
При совершении телом гармонических колебаний не только его координата, но и такие величины, как сила, ускорение, скорость, тоже изменяются по закону синуса или косинуса.
Это следует из известных вам законов и формул, в которых указанные величины попарно связаны прямо пропорциональной зависимостью, например законом Гука или вторым законом Ньютона. Из этих формул видно, что сила и ускорение достигают наибольших значений, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение наиболее велико, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия.
Что же касается скорости, то она, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия достигает наибольшего значения.
Колебания, практически близкие к гармоническим, совершает тяжелый шарик, подвешенный на легкой и малорастяжимой нити, длина которой значительно больше диаметра шарика. Такую колебательную систему называют математическим маятником.
Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести.
Также гармонические колебания может совершать груз подвешенный на пружине, совершающий колебания в вертикальной плоскости. Такую колебательную систему называют пружинным маятником — это система, состоящая из материальной точки массой m и пружины.
Основные выводы:
– Гармонические колебания — это колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
– Любое колебательное движение характеризуется амплитудой, частотой (или периодом) и фазой колебаний.
– Амплитуда колебаний — максимальное смещение тела от положения равновесия.
– Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.
– Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний.
– Фаза колебаний — это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
– Математический и пружинный маятники — это простейшие идеализированные колебательные системы, подчиняющиеся закону синуса или косинуса.
– Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести.
– Пружинный маятник — это система, состоящая из материальной точки массой m и пружины, которая совершает колебания в вертикальной плоскости.
Примеры
При равномерном движении точки по окружности гармоническое колебание совершает проекция (ортогональная) этой точки на любую прямую, лежащую в той же плоскости. Колебания, близкие к гармоническим, совершает под действием силы тяготения маленький грузик, подвешенный на тонкой длинной нити — математический маятник — при малых амплитудах[3]. Гармонические колебания под действием силы упругости совершает закреплённый между двумя пружинами на горизонтальной направляющей грузик. Гармоническими являются крутильные колебания раскручивающегося под действием силы упругости подвешенного вертикально грузика, такие же колебания совершает балансир механических часов
Вообще, материальная точка совершает гармонические колебания, если они происходят в результате воздействия на точку силы, пропорциональной смещению колеблющейся точки от положения равновесия и направленной противоположно этому смещению.
Домашнее задание:
1. Выписать из текста основные определения
2. Привести примеры разных видов колебаний.
Виды колебани й
Эволюция во времени перемещения, скорости и ускорения при гармоническом движении
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (при ненулевой диссипации, в системе после возбуждения происходят затухающие колебания).
Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы вынужденные колебания были гармоническими, достаточно, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила (воздействие) менялась со временем как гармоническое колебание (то есть, чтобы зависимость от времени этой силы тоже, в свою очередь, была синусоидальной).
Гармонические колебания выделяются из всех остальных видов колебаний по следующим причинам:
Очень часто малые колебания, как свободные, так и вынужденные, которые происходят в реальных системах, можно считать имеющими форму гармонических колебаний или очень близкую к ней.
Как установил в 1822 году Фурье, широкий класс периодических функций может быть разложен на сумму тригонометрических компонентов — в ряд Фурье. Другими словами, любое периодическое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний с соответствующими амплитудами, частотами и начальными фазами. Среди слагаемых этой суммы существует гармоническое колебание с наименьшей частотой, которая называется основной частотой, а само это колебание — первой гармоникой или основным тоном, частоты же всех остальных слагаемых, гармонических колебаний, кратны основной частоте, и эти колебания называются высшими гармониками или обертонами — первым, вторым и т.д. Для широкого класса систем откликом на гармоническое воздействие является гармоническое колебание (свойство линейности), при этом связь воздействия и отклика является устойчивой характеристикой системы. С учётом предыдущего свойства это позволяет исследовать прохождение колебаний произвольной формы через системы.
Домашнее задание: