Контрольная работа по курсу
«Компьютерные технологии вычислений
в математическом моделировании»
Контрольная работа по курсу «Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании» состоит из ответов на контрольные вопросы и 7-и задач по следующим темам:
1. Интерполяция;
2. Аппроксимация;
3. Решение нелинейных уравнений;
4. Численное интегрирование;
5. Решение систем нелинейных уравнений;
6. Решение алгебраических уравнений;
7. Численное решение дифференциальных уравнений.
Расчёт варианта задания. Для выполнения расчётного задания исходные данные нужно взять в зависимости от следующих величин:
N4 - остаток от деления номера зачётной книжки[1] на 4;
N6 - остаток от деления номера зачётной книжки на 6;
N2 - остаток от деления номера зачётной книжки на 2;
N3 - остаток от деления номера зачётной книжки на 3;
N10- остаток от деления номера зачётной книжки на 10,
Nд - число десятков в номере зачётной книжки (предпоследняя цифра).
Задание 0. Дать письменные развёрнутые обоснованные ответы на контрольные вопросы (по каждому методу из соответствующих разделов курса, а не только по тем, которые применялись в работе). Номера вопросов выбираются, начиная с (N4+1)-ого вопроса и далее нужно ответить на каждый четвёртый вопрос в общем списке вопросов. Список контрольных вопросов прилагается ниже (в конце расчётного задания).
Задание 1. Используя заданную функцию f(x), которая выбирается из таблицы № 1 по числу N10, рассчитать 5 точек в интервале [а, b/4], которые использовать как узлы интерполяции. Выбрать точку х внутри этого интервала, в которой восстановить значение функции с помощью заданного метода интерполяции. Метод интерполяции выбрать по числу N4+1 из следующего общего списка методов интерполяции:
1. Метод Лагранжа;
2. Метод Ньютона;
3. Метод Чебышева;
4. Метод сплайнов (из-за сокращения количества лекций и сложности данного метода студентам разрешается заменить этот метод любым другим).
Найти погрешность интерполяции путем сравнения значения х, полученного по интерполяционному полиному, и рассчитанного по f(x). Сделать выводы о том, устраивает полученный результат интерполяции по погрешности или нет. Если результат не устраивает, то следует наметить, что необходимо сделать, чтобы снизить погрешность.
Задание 2. Используя полученные на предыдущем этапе точки построить аппроксимирующие полиномы второго порядка у = a2х2 + a1x + a0 методом наименьших квадратов при всех одинаковых весовых коэффициентах и при весовом коэффициенте в третьей точке в 3 раза большем, чем в остальных (т.е. при 
3=3). Получить среднеквадратичную погрешность аппроксимации, величину квадратичного критерия близости и расчётное значение y в третьей точке. Сравнить полученные результаты. Сделать выводы о том, устраивает ли полученное аппроксимирующее уравнение второго порядка по погрешности, сравнивая среднеквадратичную погрешность с заданной погрешностью в обоих случаях, т.е. и при всех одинаковых весовых коэффициентах и при 3=3. Если результат не устраивает, то наметить путь, что делать в таком случае дальше. Также проанализировать, как повлияло введение весового коэффициента 3=3 на точность аппроксимации в третьей точке (по величине абсолютной погрешности в этой точке) и на точность аппроксимации в целом, (по величине критерия близости).
Примечание: Задача аппроксимации, таким образом, выполняется дважды. В обоих случаях необходимо привести выводы всех расчётных формул и алгоритм расчёта, а не просто результат по готовому пакету программ.
Задание 3. Дано уравнение f(х) = 0, Отделить корни в интервале [а, b] и уточнить один из них (любой на выбор) заданным методом. Разработать блок-схему алгоритма используемого метода. Результаты представить в виде таблиц (i - хi - f(хi)), и графиков в координатах хi - f(хi), где i – номер шага (итерации).
Отделение корней произвести аналитическим или графическим методом, если аналитический метод окажется затруднительным.
Уточнение корней произвести одним методом. Метод уточнения корней выбрать по числу N6+1 из общего списка методов:
1. Метод сканирования;
2. Метод деления отрезка пополам:
3. Метод хорд;
4. Метод Ньютона (касательных);
5. Комбинированный метод;
6. Метод параболической аппроксимации;
7. Метод простой итерации.
Задание 4. По заданной функции f(х) в заданном интервале рассчитать интеграл 
заданным методом (интервал [а, b] разбить не менее чем на шесть подынтервалов). Метод численного интегрирования выбрать по числу N4+1 из следующего общего списка методов:
1. Простейшие методы
2. Метод Симпсона
3. Метод Ньютона-Котеса
4. Методы Чебышева и Гаусса
Задание 5. Задана система нелинейных уравнений:
f1(x1,x2) = 0,
f2(x1,x2) = 0
Уравнения системы выбираются изтаблицы № 2 в зависимости от числа N10. Требуется решить эту систему заданным в соответствии с номером варианта методом. Метод выбрать по числу N2+1 из следующего списка:
1.Метод Ньютона-Рафсона
2. Метод итераций
Задание 6. Для заданного алгебраического уравнения Рn(х) = 0 (уравнение составляется по данным таблицы № 3) найти:
6.1. Общее количество корней;
6.2. Количество положительных и отрицательных корней;
6.3. Предельные оценки и область существования корней;
6.4. Выделить один действительный корень.
Общее количество корней (задание 6.1) определить по наивысшей степени полинома в левой части алгебраического уравнения.
Количество положительных и отрицательных (отдельно) корней (задание 6.2) определить, применяя правило Декарта.
Предельные оценки и область существования корней алгебраического уравнения (задание 6.3) определить, применяя один из специальных методов, который выбирается по числу N4+1 из следующего списка:
1. Метод Лагранжа
2. Метод Ньютона
3. Метод кольца
4. Метод предельных значений
Выделение одного действительного корня (задание 6.4) произвести по методу уточнения действительно корня (один для всех вариантов метод). Если действительный корень выделить удаётся, то снизить порядок исходного алгебраического уравнения на единицу, применяя схему Горнера.
Примечание к заданию 6: Студенты заочной формы обучения это задание не выполняют.
Задание 7. Решить дифференциальное уравнение у' = f(х) + ху при заданных начальных условиях хо = а, у(хо)= у(а) = 0 в заданных пределах [a, b] с шагом не менее (b - а)/ 10.
Изменение задания с 2013 года: Метод численного решения дифференциального уравнения не выбирается по числу N3+1 (как было в первоначальном задании) из приведённого в книге списка методов:
1. Методы Эйлера;
2. Метод Рунге-Кутта;
3. Метод Милна (из-за сокращения количества лекций этот метод теперь не проходим), -
а все студенты решают данную задачу двумя методами: методом Эйлера (т.к. это базовый метод численного решения дифференциальных уравнений, позволяющий понять процедуру решения) и методом Рунге-Кутта (т.к. это наиболее распространённый в настоящее время метод решения дифференциальных уравнений, обеспечивающий при невысокой сложности метода достаточно хорошую точность решения задачи). Итогом решения задачи должно быть построение графика полученной функции у = f(х) (минимум по 5-и точкам).
Исходные данные
Для заданий 1,2,3,4,7 функция f(x) и её параметры выбираются в зависимости от числа N10 из таблицы № 1.
Таблица № 1
| Функция f(x) | N10 | Параметры | a | b | |||
| А | В | C | D | ||||
| Ах + Bsin(Cx + D) | -2 | ||||||
| Ax +Bsin(Cx +D) | -10 | ||||||
| Ln(AxВ +C)sin(Dx) | |||||||
| Ln(AxВ+C)sin(Dx) | 0.5 | ||||||
| AsinB(x) + Cx + D | 0.2 | -2 | |||||
| AsinB(x) + Cx + D | 0.2 | -2 | -5 | ||||
| AВx + sin(Cx + D) | -1 | 1.5 | -5 | ||||
| AВx + sin(Cx + D) | -1 | 1.5 | -10 | -5 | |||
| AВx + sin(Cx + D) | -1.5 | 1.6 | -8 | ||||
| Ax + Bsin(Cx + D) | 1.5 | 1.5 | -5 |
Для задания 5 система нелинейных уравнений выбирается также в зависимости от N10 изтаблицы № 2.
Таблица № 2
| N10 | f1(x1,x2) | f2(x1,x2) |
| sin(x1+1) – x2=1.2 | 2x1 + cosx2 = 2 | |
| x1-cosx2 = 3 | sinx1 + 2x2 = 2 | |
| cos(x2 -1) +x1 =0. | cosx1 + x2 =1.5 | |
| sin(x1+2) - x2 = 1.5 | cos(x2 -2)+ x1 =0.5 | |
| sin(x2+1) –x1 =1.2 | 2x2 + cosx1 = 2 | |
| cos(x2-1) + x1 = 0.5 | x2 + cosx1 = 3 | |
| sinx2 + 2x1 = 2 | cos(x1 - 1)+ x2 = 0.7 | |
| cosx2 + x1 =1.5 | 2x2 – sin(x1 - 0.5) = 1 | |
| sin(x2+0.5) – x1 = 1 | cos(x1 -2) + x2 = 0 | |
| cos(x2 + 0.5) + x1 =0.8 | sinx1 – 2x2 =1.6 |
Для задания 6 необходимо составить алгебраическое уравнение n-ого порядка типа
Рn(х)= а0хn+а1хn-1+а2хn-2+а3хn-3+…+ аn-2х2+ а n-1х+ аn=0,
исходные данные для которого следует взять из таблицы № 3, причём степень n полинома левой части Рn(х) уравнения Рn(х)=0 определяется в зависимости от Nд из выражений:
n = Nд + 4, если Nд <= 4,
n = Nд, если 4 < Nд < 8,
n = Nд - 4, если Nд >8,
а значения коэффициентов полинома - в зависимости от N10.
Таблица № 3
| N10 | a0 | a1 | a2 | a3 | a4 | a5 | a6 | a7 | a8 |
| 2.2 | -3 | -2.5 | -2 | ||||||
| -2 | -4 | -4 | |||||||
| -2 | -5 | -4 | -1 | ||||||
| -3 | -4 | -5 | |||||||
| -6 | -3 | -3 | -6 | ||||||
| -4 | -3 | -2 | |||||||
| -3 | -4 | -2 | |||||||
| -4 | -6 | -6 | -5 | -5 | |||||
| -3 | -5 | -6 | |||||||
| -2 | -5 | -8 | -4 |
Примечания:
1. Дополнительные данные: погрешность решения (в тех задачах, где она необходима) принять равной 
= 0.01.
2. Для всех заданий нужно привести в качестве результата не только решение, а и все промежуточные результаты рабочих шагов. Если метод не сходится к решению, то закончить можно при почти устойчивых колебаниях поиска. Если за 20 шагов поиск не заканчивается по критерию окончания, то его можно прервать, обосновав гипотезу о причинах не достижения результата.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
(Задание 0)
Интерполяция
1. Сколько существует интерполяционных полиномов степени n?
2. Полиномом какой степени является интерполяционный полином Лагранжа при (n+1) узлах?
3. Может ли метод Лагранжа применяться для экстраполяции?
4. Может ли метод Ньютона применяться для экстраполяции?
5. Что влияет на точность интерполяции в методе Лагранжа?
6. Как влияет количество узлов интерполяции на точность интерполяции?
7. Можно ли добавлять новые узлы интерполяции при использовании метода Лагранжа?
8. Можно ли располагать неравномерно узлы интерполяции при использовании метода Ньютона?
9. Каким путём в общем случае можно повысить точность интерполяции?
10. Каким путём можно повысить точность интерполяции при использовании метода Ньютона?
Аппроксимация
11. Можно ли при аппроксимации таблично заданной функции обеспечить прохождение аппроксимирующей функции точно через все точки?
12. Может ли степень аппроксимирующего полинома быть выше числа узлов аппроксимации?
13. Назначение весовых коэффициентов в критерии близости исходной и аппроксимирующей функций.
14. Можно ли все весовые коэффициенты для повышения точности одновременно увеличить в несколько раз?
15. Всегда ли увеличение суммы квадратов отклонений соответствует худшей близости исходной и аппроксимирующей функций?
16. Как можно обеспечить немного отличающуюся относительную погрешность аппроксимации на разных участках, если функция имеет очень большой размах?
17. Что можно отнести к достоинствам минимаксного критерия близости в методе равномерного приближения?
18. Достоинство квадратичного критерия близости исходной и аппроксимирующей функций,
19. Можно ли при аппроксимации произвольно задавать степень аппроксимирующего полинома?
20. Можно ли обеспечить требование, чтобы аппроксимирующая функция проходила через отдельные выбранные точки?
Вычисление интегралов
21. Дана подынтегральная функция f(x)=1500x. Какой из методов будет наиболее эффективен?
22. В каких случаях можно пользоваться автоматическим подбором шага интегрирования?
23. Дана подынтегральная функция f(x)= х2. Можно ли каким либо численным методом вычислить интеграл без ошибки?
24. Как в методе прямоугольников уменьшить погрешность нахождения интеграла?
25. В каких случаях метод прямоугольников находит применение?
26. Как уменьшить в методе трапеций погрешность нахождения интеграла?
27. В каких случаях метод трапеций находит применение?
28. Дана подынтегральная функция f(x) = 5x3. Какой из методов даст наиболее точный результат?
29. Как изменяется погрешность нахождения интеграла при уменьшении числа разбиений n?
30. Дана подынтегральная функция f(x) = x + 7. С каким методом совпадёт метод Симпсона?
Решение нелинейных уравнений
31. В чём заключается геометрический смысл метода половинного деления?
32. Всегда ли позволяет метод половинного деления вычислить отделённый корень уравнения с заданной погрешностью?
33. Как выбираются концы отрезка следующего интервала в методе половинного деления?
34. Какими свойствами должна обладать f(x), чтобы методом половинного деления можно было гарантированно решить уравнение f(x)=0?
35. Что необходимо для нахождения хотя бы одного действительного корня уравнения f(х) = 0 методом половинного деления?
36. Можно ли найти корень методом половинного деления, если он находится на границе интервала?
37. Какие корни позволяет определить метод хорд?
38. В чём заключается геометрический смысл метода хорд?
39. Всегда ли метод хорд позволяет вычислить отделённый корень с заданной погрешностью?
40. Как выбираются концы отрезка интервала в методе хорд?
41. Какими свойствами должна обладать f(x) для того, чтобы методом хорд можно решить равнение f(x) = 0?
42. Какой конец хорды неподвижен при реализации метода?
43. В чём заключается геометрическая интерпретация метода Ньютона?
44. Исходя из чего выбирается в методе Ньютона первое приближение х0?
45. Как выбираются концы отрезка интервала в методе Ньютона при f(a)f(b)<0?
46. Как выбираются концы отрезка интервала в методе Ньютона при f(a)f(b) > 0?
47. Что необходимо для того, чтобы уравнение f(x) = 0 решалось методом Ньютона?
48. В каких случаях применение метода Ньютона не рекомендуется?
49. В чем заключается геометрический смысл метода парабол?
50. Последовательность каких процессов представляет собой метод парабол?
51. Как выбираются концы отрезка интервала в методе парабол на втором и последующих шагах?
52. Присутствие каких особенностей f(x) допустимо для метода парабол, чтобы гарантировано можно было решить уравнение f(x) = 0?
53. Можно ли утверждать, что в методе парабол последовательные приближения могут лежать по одну сторону от корня?
Дифференциальные уравнения
54. Что является решением дифференциального уравнения?
55. Необходим ли поиск начальных условий в методе Эйлера?
56. К какой группе относится модифицированный метод Эйлера?
57. Какой вид имеет рекуррентная формула метода Рунге-Кутта?
58. Почему точность метода Эйлера пропорциональна h, а модифицированного - h2?
59. Недостатки метода Рунге-Кутта.
60. Когда используется метод Эйлера?
61. Возможно ли применение переменного шага в методе Рунге-Кутта?
62. Погрешность метода Рунге-Кутта n-го порядка.
63. Отличие одно- и многошаговых методов.
64. Достоинства многошаговых методов.
65. Можно ли методом Эйлера решать системы дифференциальных уравнений?
66. Что определяет порядок метода?
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная:
1. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 256 с.[2]
2. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Математическое моделирование. Вычислительные методы. Ярославль. ЯГТУ. 1997. - 132 с.
3. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.
Дополнительная:
1. Васильков Ю.В., Боровков А.В. Электронный учебник по численным методам. Ярославль. ЯГТУ. 1998.
2. Численные методы / И.И. Данилина и др. - М.: Высшая школа, 1976. - 368 с.
3. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Том 1. - М.: Наука, 1976. - 302 с.
4. Бахвалов Н.С. Численные методы.- М.: Наука, 1973. - 630 с.
5. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. - М.: Наука, 1970. - 432 с.
6. Воробьев Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по численным методам.- М.: Высшая школа, 1979. - 184 с.
[1] Следует взять две последние цифры в номере зачётной книжки и делить нацело.
[2] В этой книге есть примеры решения всех типов задач.