Геометрия Задачи на доказательство геометрических фактов

5.2.1. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

5.2.2. Два отрезка АВ и CD пересека­ются в точке О, которая является середи­ной каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и CAB.

5.2.3. Докажите, что медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла, противолежащего основанию.

5.2.4. Докажите, что медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, перпендикулярна основанию.

5.2.5. Докажите, что медианы, про­ведённые к боковым сторонам равнобедренно­го треугольника, равны.

5.2.6. Докажите, что биссектрисы, про­ведённые из вершин основания равнобедренно­го треугольника, равны.

5.2.7. Докажите, что длина отрезка, соединяющего середины двух сторон тре­угольника, равна половине длины третьей стороны.

5.2.8. Докажите, что диагональ парал­лелограмма разбивает его на два равных треугольника.

5.2.9. Докажите, что медиана прямо­угольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

5.2.10. Докажите, что отрезки каса­тельных, проведённых к окружности из одной точки, равны.

5.2.11. Докажите, что градусная мера вписанного угла равна половине градус­ной меры дуги, на которую он опирается.

5.2.12. Докажите, что если две хорды АС и BD пересекаются в точке М, то про­изведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков дру­гой хорды: АММС = BMMD.

5.2.13. Докажите, что радиус окруж­ности, вписанной в прямоугольный тре­угольник, равен разности полупериметра треугольника и гипотенузы.

5.2.14. Докажите, что диаметр, про­ходящий через середину хорды окружно­сти, перпендикулярен ей.

5.2.15. Докажите, что диаметр, пер­пендикулярный хорде окружности, пере­секает её в середине.

5.2.16. Докажите, что если две окруж­ности имеют общую хорду, то прямая, про­ходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной хорде.

5.2.17. Докажите, что если две окруж­ности имеют общую хорду, то прямая, про­ходящая через центры этих окружностей, делит общую хорду пополам.

5.2.18. Докажите, что если в четырёх­угольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

5.2.19. Докажите, что если около че­тырёхугольника можно описать окруж­ность, то суммы его противолежащих углов равны.

5.2.20. Докажите, что если около трапе­ции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная.

5.2.21. Докажите, что если около ромба можно описать окруж­ность, то этот ромб — квадрат.

5.2.22. Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

5.2.23. Докажите, что если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то высота равна средней линии.

5.2.24. Последовательно соединили отрезками середины сторон четырёхугольника. Докажите, что получившаяся фигура — паралле­лограмм.

5.2.25. Докажите, что если биссектриса пересекает основание тра­пеции, то от трапеции отсекается равнобедренный треугольник.

5.2.26. Биссектрисы всех внутренних углов параллелограмма по­парно пересекаются. Докажите, что полученный четырёхугольник является прямоугольником.

5.2.27. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к ги­потенузе, разбивает его на два треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны.

5.2.28. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольни­ка. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

5.2.29. Докажите, что медианы треугольника разбивают треуголь­ник на шесть равновеликих треугольников.

5.2.30. На стороне ВС квадрата ABCD взята точка К. Докажите, что площадь треугольника AKD равна половине площади квадрата.