Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла

 

Площадь криволинейной трапеции. Пусть на плос­кости дана фигура, ограниченная отрезком оси . прямыми , и графиком непрерывной

Рис. 2.

И неотрицательной функции на . Такую фигуру, как мы знаем, называют криволинейной трапе­цией, площадь которой может быть вычислена по формуле (1')

Итак, определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции на численно равен площади криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху графиком функции . В этом заключается геометрический смысл определенного ин­теграла.

Пример 1. (из тетради)

 

Рис. 3.

Пусть фигура ограничена снизу и сверху графика­ми функций , и , (рис. 94), где , — две непрерывные функции. Если обе функции неотрицательны, то площадь данной фигуры является разностью площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно графи­ками функций , , прямыми , и осью . Следовательно, площадь данной фигуры равна

Заметим, что формула (3) справедлива и тогда, когда и неположительны, так как в силу их ограниченности существует число такое, что функ­ции

становятся неотрицательными и имеет место очевидное равенство

Пример 2. (из тетради)

Замечание. При вычислении площади криволи­нейной трапеции в случае, когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями , , , в формуле (1') надо сделать замену перемен­ной, положив , . Тогда получим

где и — значения параметра , соответствующие значениям и т.е. , .

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограни­ченной эллипсом

Решение. Ввиду симметрии данной кривой отно­сительно осей координат достаточно вычислить пло­щадь части фигуры, находящейся в первой четверти

Рис. 4.

Следовательно, искомая площадь равна

Площадь криволинейного сектора. Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением

Рис. 5.

причем функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Плоскую фигуру, ограниченную кривой и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и , мы будем называть криво­линейным сектором (рис. 5). Площадь криволиней­ного сектора может быть вычислена по формуле

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограни­ченной полярной осью и первым витком спирали Архи­меда , где — положительное число (рис. 6).

Рис. 6.

Решение. Когда изменяется от 0 до , то по­лярный радиус описывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор . Поэтому по формуле (4) имеем

Заметим, что точка отдалена от полюса на рассто­яние . Поэтому круг радиуса имеет площадь

т.е. площадь фи­гуры, ограниченной поляр­ной осью и первым витком спирали Архимеда, равна 1/3 площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому выводу пришел еще Архимед.

Длина дуги кривой. Пусть плоская кривая задана уравнением , , где — непрерывная функция на от­резке . Разобьем кри­вую на произвольных частей точками в направлении от к . Со­единив эти точки хордами, получим некоторую вписан­ную ломаную линию, периметр которой обозначим че­рез (рис. 7). Через обозначим длину одного звена ломаной линии, а через — длину наибольше­го из ее звеньев: .

Рис. 7.

Определение. Число называется пределом периметров при , если для любого суще­ствует такое, что для всякой ломаной, у которой , выполняется неравенство

Если существует конечный предел периметра вписанной в кривую ломаной линии при , то этот предел называется длиной дуги :

Если функция непрерывна вместе с на отрезке , то длина дуги выражается форму­лой

Пример 5. Вычислить длину дуги верхней ветви полукубической параболы от до .

Замечание 1. При вычислении длины дуги в случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями

где и — значения параметра , соответствующие значениям и , т. е. , , в фор­муле

надо сделать замену переменной, положив , . Тогда получим

Пример 6. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды[1]: , , .

 

Решение. Из уравнения циклоиды находим, что , . Когда пробегает от­резок , параметр пробегает отрезок . Следовательно, искомая длина дуги равна

Замечание 2. При вычислении длины дуги в случае, когда кривая задана в полярных координа­тах уравнением , , где имеет не­прерывную производную на отрезке и точ­кам и соответствуют значения и , переходя от полярных координат к прямоугольным, получим параметрическое задание кривой уравнениями , с параметром . Тогда

и формула (6) принимает вид: (7)

где и — значения параметра .

Пример 7. Вычислить длину первого витка ар­химедовой спирали .

Решение. Первый виток архимедовой спирали об­разуется при изменении полярного угла ф от 0 до . Тогда по формуле (7) искомая длина дуги равна …

Объем тела вращения. Пусть функция не­прерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда те­ло, образованное вращением вокруг оси криволи­нейной трапеции, ограниченной сверху графиком функ­ции , имеет объем , который может быть найден по формуле

Пример 8. Вычислить объем тора. Тором назы­вается тело, получающееся при вращении круга радиу­са вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии от центра (). Форму тора имеет, например, баранка.

Решение. Пусть круг вращается вокруг прямой .

Тогда объем тора может быть рассмот­рен как разность объемов вра­щения криволинейных трапеций и вокруг оси .

Если оси координат выбрать, как показано на рис., то урав­нение окружности будет иметь вид

где — радиус круга, причем уравнение кривой

а уравнение кривой

Тогда объем тора будет равен

Площадь поверхности вращения. Пусть функция неотрицательна и непрерывна вместе со своей пер­вой производной на отрезке . Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ох, имеет площадь , которая может быть вычис­лена по формуле (8)

Замечание. Если поверхность получается путем вращения вокруг оси кривой , заданной пара­метрическими уравнениями , , , причем , изменяется от до при измене­нии от до , то, осуществляя в интеграле (8) замену переменной по формулам , получим (9)

Наконец, если кривая задана уравнением в поляр­ных координатах , , где имеет не­прерывную производную на , то этот случай с помощью формул перехода , приводится к параметричес­кой форме задания кривой, и формула (10) принимает вид

Пример 9. Вычислить площадь поверхности шара радиуса .

Решение. .

Пример 10. Вычислить площадь поверхности, полученной вращением циклоиды , , вокруг оси .

Решение.

Вычисление моментов.

Если на прямой масса плотности заполняет отрезок , то ым моментом массы называется число

Как частные случаи получаем при — массу, при — статический момент, при — момент инерции.

 

[1] Циклоида — плоская кривая, которую описывает точка М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по прямой линии.