Рассмотрим случай, когда функция возрастает в точке, где ищем производную (производная положительная)
На рисунке изображен график функции f(x). AB – это касательная к графику функции в точке 
. Значение производной 
в точке равно 
треугольника АВС. Координаты точек А(-10;-2) В(-1;5).
Значит
ВС=5-(-2)=5+2=7 АС=-1-(-10)=-1+10=9
(В задании ЕГЭ длины ВС и АС проще посчитать по клеточкам)
Рассмотрим случай, когда функция убывает в точке, где ищем производную
(производная отрицательная)
На рисунке изображен график функции f(x). AB – это касательная к графику функции в точке . Значение производной в точке равно треугольника АВС, но взятым со знаком МИНУС (производная отрицательная, так как график в точке «валится»). Координаты точек А(-2;4) В(8;-2).
Значит
ВС=8-(-2)=8+2=10 АС=4-(-2)=4+2=6
(В задании ЕГЭ длины ВС и АС проще посчитать по клеточкам)
Точки экстремума.
Точки максимума. Точки минимума. Точки перегиба.
Точки экстремума это где касательная параллельна оси х, то есть горизонтальна.
В точках экстремума производная равна нулю.
Точки экстремума бывают трех видов: точки максимума, точки минимума, точки перегиба.
Точки максимума, это точки, где слева функция возрастает (производная положительная), справа функция убывает (производная отрицательная).
Точки минимума, это когда все наоборот. Слева функция убывает (производная отрицательная), а справа функция возрастает (производная положительная.
Точки перегиба, это точки, где и слева и справа производная имеет одинаковый знак.
То есть слева и справа функция убывает – производная и слева и справа отрицательная (в самой точке перегиба производная равна нулю! – как и положено в точке экстремума).
Или же наоборот. И слева и справа от точки перегиба функция возрастает, а производная соответственно положительная.
Пример 1 (ЕГЭ)
Найти число точек принадлежащих отрезку (-6;7) в которых касательная к графику функции f(x) параллельна графику функции y=3.
Построим для начала график функции y=3. График этой функции прямая, проходящая через точку 3 на оси y параллельно оси х.
Теперь найдем на графике функции f(x) точки, в которых касательная будет параллельна этой прямой
Это точки A, B, C, D, E, F, G, K, L, M. На рисунке показаны эти точки, а также показаны касательные к графику функции f(x) в этих точках. Эти касательные параллельны графику прямой y=3. Обратим внимание, что касательная к графику функции f(x) в точке М, это сама прямая y=3.
Кстати! Производная от y=3 
, если касательная в точке параллельна этой прямой, то производная функции f(x) в этой точке тоже равна нулю. Если 
значит это точка экстремума. Таким образом, нас фактически просят найти точки экстремума – максимумы, минимумы, точки перегибы. Максимумы выглядят как вершины, минимумы как ямки.
Далее из точек A, B, C, D, E, F, G, K, L, M нужно выбрать те, что лежат на промежутке (-6;7)
Это точки C, D, E, F, G, K. Их шесть штук. В ответе требуется указать число таких точек.
Ответ 6.
Пример 2 (ЕГЭ)
Найти число точек принадлежащих отрезку (-5;10) в которых касательная к графику функции f(x) параллельна графику функции y=-2.
Это задание почти очень похоже на предыдущее. Однако будьте ОЧЕНЬ внимательны, не перепутайте. Есть малозаметное, но ПРИНЦИПИАЛЬНОЕ отличие. На рисунке изображен не график функции f(x), а график ее производной 
. Один маленький штрих, а какая огромная разница!
Рассуждения очень похожи. Графика функции у нас нет. Да он нам и не нужен. Рисовать никакие касательные нет необходимости.
Производная от y=-2 
=0. Нас просят найти точки, в которых касательная параллельна y=-2. То есть точки, в которых значение производной совпадает со значением =0. Это точки, где производная функции 
– точки экстремума. На графике производной экстремумы выглядят иначе, чем на графике функции! (На графике функции точки экстремума, это вершины и ямки). На графике производной точки экстремума – это точки пересечения графика с осью x (а как иначе – в этих точках производная равна нулю!).
Это точки A, B, C, D, E. Нас просят выбрать точки принадлежащие отрезку (-5;10). Это точки B, C, D. Их три штуки. В ответе указываем число таких точек.
Ответ 3.
Пример 3:
Найти число точек на графике 
Принадлежащих отрезку [-3;2] в которых касательная к графику f(x) параллельна графику функции y=2x+3.
Обратим внимание на то, что на рисунке изображен не график функции, а график производной. График самой функции нам не известен, да он и не нужен. Как же будут выглядеть касательные к графику функции, и что это будут за точки?
Как они будут выглядеть представить конечно можно, но не особенно-то и нужно для решения данной задачи.
Важно понять следующие моменты:
Касательные должны быть параллельны графику функции у=2x+3. Прямые параллельны тогда, когда у них одинаковые угловые коэффициенты (множители при x). У функции y=2x+3 угловой коэффициент равен 2. Следовательно, у касательных угловой коэффициент должен быть тоже равен 2.
Значение производной в точке числено равно угловому коэффициенту касательной. Угловой коэффициент равен 2, следовательно, значение производной в точках, которые нас интересуют также равно 2.
Осталось найти точки на графике производной в которых значение производной равно 2.
Для этого проведем горизонтальную прямую, папралельную оси х и пересекающую ось у в точке (0;2)
Эта прямая пересекает график производной в точках А, В, С, Д. В этих точках значение производной равно 2, и следовательно касательные к графику функции будут параллельны прямой y=2x+3.
Теперь осталось из этих точек выбрать те, что лежат на отрезке 
. Это будут точки В и С. То есть таких точек 2 штуки.
Ответ 2.
Пример 4.
На рисунке изображен график функции f(x) и касательная к графику этой функции в точке . Касательная задана уравнением y=0,5x-2. Найти значение производной функции y=2f(x)+3 в точке .
Для начала просто давайте посмотрим на y=2f(x)+3. Надо найти значение производной этой функции. Ну что же, найдем эту производную. Воспользуемся правилом взятии производной от сложной функции:
Значение производной в точке :
Теперь осталось найти 
. Значение производной функции в точке равно (как уже говорилось неоднократно ранее) значению углового коэффициента (коэффициента перед x) в уравнении касательной.
Касательная задана уравнением y=0,5x-2. Значит значение углового коэффициента равно 0,5. Следовательно значение производной 
.
Тогда значение производной =2*0,5=1.
Ответ 1.
Пример 5.
На рисунке изображен график производной 
функции f 
. Найти в какой точке отрезка 
функция f(x) принимает наименьшее значение.
Не торопитесь с ответом, Это не точка K и это не точка С. Это точка А!
Как же так? Ведь казалось бы точка К самая нижняя – значит там наименьшее значение. Но нас интересует только промежуток [-3;3], а точка К в него не входит. Но не это самое главное. Посмотрим внимательно на задание. О чем нас спрашивают? О наименьшем значении функции! А мы посмотрели на график ПРОИЗВОДНОЙ и нашли самую низкую точку, то есть нашли точку с наименьшим значением производной! Но нас об этом не просили. Нас не интересует наименьшее значение производной, нас интересует наименьшее значение ФУНКЦИИ!
По той же причине нам не интересна точка Д. В этой точнее на промежутке [-3;3] ПРОИЗВОДНАЯ достигает наименьшего значения. Нас не интересует наименьшее значение производной. Нас интересует наименьшее значение функции!
Как же найти наименьшее значение функции? У нас же нет графика функции!
Не все так безнадежно. Достаточно обратить внимание на тот факт, что производная на всем промежутке [-3;3] положительная – это хорошо видно из графика производной.
Но что это нам дает? Да очень многое, ответ теперь лежит буквально на поверхности!
Производная положительная, следовательно, функция возрастает! Производная положительная на всем промежутке [-3,3], следовательно, функция на всем этом промежутке возрастает. В какой же точке этого промежутка функция имеет минимальное значение? Разумеется, в начале – в точке А. Наибольшее значение функция имеет соответственно в конце этого промежутка, то есть в точке Е.
Представьте себе: вы включили чайник, температура воды начинает возрастать и возрастает непрерывно. Вопрос: когда температура в чайнике была минимальной? Конечно же в тот момент, когда мы его только что включили!
Ответ: точка А.