Построение и оценка моделей, выбор наиболее адекватной из них.

Для начала построим линейную модель, включив в нее все имеющиеся у нас переменные:

Dependent Variable: CRIME_RATE
Method: Least Squares
Date: 05/04/08 Time: 22:11
Sample(adjusted): 1 185
Included observations: 185 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	39.21527	37.90886	1.034462	0.3024
POPULATION	8.89E-07	2.15E-06	0.412381	0.6806
BELOW_POVERTY	-0.229843	0.465316	-0.493951	0.6220
COLOR_POPULATION	0.340434	0.128709	2.644983	0.0089
HIGH_SCHOOL	0.491847	0.425204	1.156731	0.2490
HOUSEHOLD_INCOME	-0.000891	0.000266	-3.345320	0.0010
POP__DENSITY	-0.001948	0.000572	-3.407178	0.0008
COAST	-3.152259	3.158178	-0.998126	0.3196
LAKE	-4.255409	4.266458	-0.997410	0.3200
UNEMPLOYMENT	1.952430	0.877059	2.226109	0.0273
BACHELOR	-0.118809	0.216929	-0.547687	0.5846
OFFICERS_PER _1000	4.774611	2.132493	2.238981	0.0264
R-squared	0.444933	Mean dependent var	57.93291
Adjusted R-squared	0.409640	S.D. dependent var	21.94113
S.E. of regression	16.85844	Akaike info criterion	8.550245
Sum squared resid	49167.81	Schwarz criterion	8.759133
Log likelihood	-778.8977	F-statistic	12.60675
Durbin-Watson stat	2.148014	Prob(F-statistic)	0.000000

 

Прежде всего представляется необходимым проверить гипотезы о значимости каждого коэффициента в отдельности и о значимости полученного уравнения регрессии в целом. Проверка первого вида гипотез осуществляется на основе t-статистики.

Как видно из модели, всего 5 переменные оказались значимыми. Три из них на 1% уровне значимости (tкрит.=2,576), два фактора на 5 % уровне (tкрит.=1,96).

Проверка гипотезы о значимости уравнения регрессии в целом говорит о том, что уравнение в целом также значимо F-стат> F-крит. = 2,32 на 1% уровне значимости.

Можно попробовать улучшить модель, например, объединить какие-нибудь переменные в одну. С этой целью был проведен тест Вальда для различных комбинаций переменных. В результате получаем, что наши фиктивные переменные можно объединить в одну с вероятностью около 80%:

Wald Test:
Equation: LYNEYNAYA
Null Hypothesis:	C(8)=C(9)
F-statistic	0.066198		Probability	0.797260
Chi-square	0.066198		Probability	0.796955

 

После объединения переменных получим новую модель:

Dependent Variable: CRIME_RATE
Method: Least Squares
Date: 05/04/08 Time: 22:23
Sample(adjusted): 1 185
Included observations: 185 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	40.96040	37.19693	1.101177	0.2723
POPULATION	7.88E-07	2.11E-06	0.372702	0.7098
BELOW_POVERTY	-0.254230	0.454336	-0.559564	0.5765
COLOR_POPULATION	0.348694	0.124306	2.805133	0.0056
HIGH_SCHOOL	0.476794	0.420028	1.135147	0.2579
HOUSEHOLD_INCOME	-0.000898	0.000264	-3.399391	0.0008
POP__DENSITY	-0.001958	0.000569	-3.441118	0.0007
COAST+LAKE	-3.456942	2.919890	-1.183929	0.2381
UNEMPLOYMENT	1.901410	0.852053	2.231563	0.0269
BACHELOR	-0.106068	0.210633	-0.503566	0.6152
OFFICERS_PER_100	4.688190	2.100216	2.232242	0.0269
R-squared	0.444721	Mean dependent var	57.93291
Adjusted R-squared	0.412808	S.D. dependent var	21.94113
S.E. of regression	16.81314	Akaike info criterion	8.539817
Sum squared resid	49186.63	Schwarz criterion	8.731298
Log likelihood	-778.9331	F-statistic	13.93560
Durbin-Watson stat	2.145300	Prob(F-statistic)	0.000000

 

Модель в целом улучшилась, но как вы можете видеть, не сильно. Мы получаем все те же 4 значимых на 1 % уровне переменных, чуть более высокое значение F-статистики.

Встает вопрос о причинах незначимости большей части факторов, что наталкивает нас на размышления, что в модели присутствует мультиколлинеарность между регрессорами.

Существует 4 признака мультиколлинеарности:

1. При малом изменении исходных данных сильно изменяются оценки;
2. Знаки и значения коэффициентов отличаются от ожидаемых;
3. Существует сильная корреляция между признаками;
4. Некоторые параметры незначимы по отдельности, но все уравнение в целом значимо.

В нашем случае, как отмечалось выше, многие параметры оказались незначимыми, но в целом уравнение значимо. Кроме того, можно предположить наличие взаимосвязи между некоторыми регрессорами. Чтобы проверить данное предположение обратимся к корелляционной матрице:

 

	CRIME_ RATE	BACHELOR	BELOW_ POVERTY	COLOR_ POPULATION	HIGH_ SCHOOL	HOUSEHOLD_INCOME	OFFICERS_ PER_100	POP__ DENSITY	POPULATION	COAST	LAKE	UNEMPLOYMENT
CRIME_RATE	1.000000	-0.277569	0.489003	0.362530	-0.318363	-0.555917	0.363355	-0.113640	-0.030831	-0.019600	0.060799	0.368475
BACHELOR	-0.277569	1.000000	-0.339629	-0.372007	0.679217	0.450594	-0.207448	-0.154472	-0.019632	-0.005918	-0.219186	-0.455858
BELOW_POVERTY	0.489003	-0.339629	1.000000	0.599881	-0.631420	-0.843784	0.545597	0.243514	0.110962	0.115226	0.265791	0.510779
COLOR_POPULATION	0.362530	-0.372007	0.599881	1.000000	-0.816645	-0.396327	0.615731	0.475663	0.310647	0.332219	0.039895	0.447369
HIGH_SCHOOL	-0.318363	0.679217	-0.631420	-0.816645	1.000000	0.534761	-0.537921	-0.515884	-0.250445	-0.286587	-0.152017	-0.505132
HOUSEHOLD_INCOME	-0.555917	0.450594	-0.843784	-0.396327	0.534761	1.000000	-0.462152	-0.061379	-0.008048	-0.009355	-0.200710	-0.410054
OFFICERS_PER_100	0.363355	-0.207448	0.545597	0.615731	-0.537921	-0.462152	1.000000	0.475774	0.303678	0.189547	0.265858	0.374468
POP__DENSITY	-0.113640	-0.154472	0.243514	0.475663	-0.515884	-0.061379	0.475774	1.000000	0.556692	0.241272	0.233570	0.209880
POPULATION	-0.030831	-0.019632	0.110962	0.310647	-0.250445	-0.008048	0.303678	0.556692	1.000000	-0.002908	0.175121	0.057214
COAST	-0.019600	-0.005918	0.115226	0.332219	-0.286587	-0.009355	0.189547	0.241272	-0.002908	1.000000	-0.328639	0.049080
LAKE	0.060799	-0.219186	0.265791	0.039895	-0.152017	-0.200710	0.265858	0.233570	0.175121	-0.328639	1.000000	0.366052
UNEMPLOYMENT	0.368475	-0.455858	0.510779	0.447369	-0.505132	-0.410054	0.374468	0.209880	0.057214	0.049080	0.366052	1.000000

 

Данные таблицы свидетельствуют о наличии мультиколлинеарности между HOUSEHOLD_INCOME и BELOW_POVERTY; HIGH_SCHOOL и COLOR_POPULATION; COLOR_POPULATION и BELOW_POVERTY; HIGH_SCHOOL и BACHELOR. В этой связи нам придется исключить из модели BELOW_POVERTY и HIGH_SCHOOL, так как они меньше всего кореллируют с зависимой переменной. Исключение этих переменных имеет содержательную интерпретацию: вполне логично, что фактор доходов домашних хозяйств будет тесно связан с долей людей, живущих за чертой бедности; так и оба фактора, определяющие «образованность» населения оказались тесно связанными.

 

После исключения данных переменных из модели, получаем новую модель:

 

Dependent Variable: CRIME_RATE
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1 185
Included observations: 185 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	70.37594	9.711678	7.246528	0.0000
COLOR_POPULATION	0.225504	0.082162	2.744628	0.0067
BACHELOR	0.012626	0.149067	0.084698	0.9326
HOUSEHOLD_INCOME	-0.000718	0.000149	-4.805760	0.0000
POP__DENSITY	-0.002248	0.000521	-4.311285	0.0000
COAST+LAKE	-4.100658	2.869932	-1.428835	0.1548
UNEMPLOYMENT	1.813072	0.820489	2.209747	0.0284
OFFICERS_PER_100	5.032656	2.082302	2.416871	0.0167
POPULATION	1.04E-06	2.10E-06	0.494553	0.6215
R-squared	0.439093	Mean dependent var	57.93291
Adjusted R-squared	0.413597	S.D. dependent var	21.94113
S.E. of regression	16.80185	Akaike info criterion	8.528280
Sum squared resid	49685.16	Schwarz criterion	8.684946
Log likelihood	-779.8659	F-statistic	17.22218
Durbin-Watson stat	1.892986	Prob(F-statistic)	0.000000

 

 

Как мы видим, данная модель содержит большее количество значимых переменных Теперь к списку значимых регрессоров добавляется константа.

 

Все же большое количество переменных в модели остается незначимым, также значения F-статистики и остаются сравнительно невысокими. В этой связи приступим к поиску наилучшей модели и с этой целью рассмотрим полулогарифмическую и логарифмическую модели. При этом для улучшения модели переменная population была исключена из списка регрессоров, так как достаточно сильно кореллирует с pop_density и очень слабо с зависимой переменной. Результаты моделирования представлены ниже.

 

Полулогарифмическая модель:

 

Dependent Variable: LOG(CRIME_RATE)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1 185
Included observations: 185 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	4.305461	0.165641	25.99277	0.0000
COLOR_POPULATION	0.004217	0.001400	3.011841	0.0030
BACHELOR	0.000546	0.002547	0.214185	0.8306
HOUSEHOLD_INCOME	-1.51E-05	2.56E-06	-5.894379	0.0000
POP__DENSITY	-3.86E-05	7.89E-06	-4.885155	0.0000
COAST+LAKE	-0.063280	0.048706	-1.299229	0.1956
UNEMPLOYMENT	0.029563	0.014026	2.107765	0.0365
OFFICERS_PER_100	0.084965	0.035575	2.388363	0.0180
R-squared	0.489252	Mean dependent var	3.985172
Adjusted R-squared	0.469053	S.D. dependent var	0.394689
S.E. of regression	0.287594	Akaike info criterion	0.387747
Sum squared resid	14.63973	Schwarz criterion	0.527006
Log likelihood	-27.86660	F-statistic	24.22155
Durbin-Watson stat	1.966414	Prob(F-statistic)	0.000000

 

В данной модели 6 значимых регрессоров, также увеличилось значение F- статистики и . Хоть увеличение данного значения и не говорит об улучшении модели, так как в представленных моделях включен разный список регрессоров, но говорит о том, что большая доля дисперсии результирующей переменной может быть объяснено при помощи данного уравнения регрессии.

 

Логарифмическая модель:

 

Dependent Variable: LOG(CRIME_RATE)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1 185
Included observations: 184
Excluded observations: 1 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	12.51503	1.209308	10.34892	0.0000
LOG(COLOR_POPULATION)	0.137704	0.046669	2.950648	0.0036
LOG(BACHELOR)	0.035008	0.071182	0.491809	0.6235
LOG(HOUSEHOLD_INCOME)	-0.866089	0.114534	-7.561839	0.0000
LOG(POP__DENSITY)	-0.119242	0.035642	-3.345577	0.0010
COAST+LAKE	-0.064809	0.050591	-1.281032	0.2019
LOG(UNEMPLOYMENT)	0.097145	0.082600	1.176088	0.2412
LOG(OFFICERS_PER_100)	-0.024178	0.065659	-0.368226	0.7131
LOG(POPULATION)	0.077332	0.030065	2.572177	0.0109
R-squared	0.504407	Mean dependent var	3.987750
Adjusted R-squared	0.481751	S.D. dependent var	0.394200
S.E. of regression	0.283783	Akaike info criterion	0.366462
Sum squared resid	14.09324	Schwarz criterion	0.523715
Log likelihood	-24.71454	Durbin-Watson stat	1.922565

 

Данная модель содержит только 5 значимых регрессоров. Остальные показатели также дают возможности предполагать, что логарифмическая модель лучше какой-либо из ранее рассмотренных.

 

Исследовав различные варианты моделей, мы сделали некоторые выводы.

• Как вы можете видеть ни в одной из исследуемых моделей фиктивная переменная не стала значимой, следовательно, скорее всего, нужно исключить ее из модели и сделать вывод, что предположение о качественных различиях уровня преступности по городам нет. В этой связи мы предлагаем ввести новую фиктивную переменную, которая принимает значение 1, если исследуется «известный город» (например, Нью-Йорк) и 0, если «неизвестный» (авторы проекта понимают, что знания людей сильно различаются, так некоторые города являются «известными» для одних и «неизвестными» для других людей, в этой связи «известными» городами выбраны в основном крупные города, сведения о которых часто встречаются в средствах массовой информации).
• Так как во всех ранее рассмотренных моделях ни разу коэффициент перед переменной bachelor и officers_per_100 не становился значимым, следовательно, стоит рассмотреть некие другие функциональные связи между зависимой переменной и данными переменными.

С этой посмотрим еще раз на парные корелляционные поля зависимости:

 

 

 

Как нам показалось, данная связь напоминает некую обратную (гиперболическую) зависимость, то есть crime_rate=f(1/bachelor).

 

Аналогичным образом рассмотрим зависимость crime_rate от officers_per_100:

 

Аналогично предыдущему случаю можно сделать предположение об обратной зависимости зависимой переменной от данного фактора crime_rate=f(1/officers_per_100).

 

Также после многочисленных попыток построить модель с фиктивными переменными, была получена переменная fiction, принимающая значений 1, если город находится в Северо-Западных штатах США (Пенсильвания, Нью-Йорк, Нью-Джерси и т.д.), наиболее развитых «приозерных» штатах (Мичиган, Висконсин) или в Калифорнии, и принимающая значение 0 в противном случае.

С учетом данных корректировок и введения новой фиктивной переменной (fiction), авторы проекта рассмотрели различные виды моделей. Были рассмотрены линейная, логарифмическая, полулогарифмическая модели, различные вариации смесей данных моделей[3]. В конце концов, была найдена наилучшая модель:

Dependent Variable: CRIME_RATE
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1 185
Included observations: 185 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	84.02060	8.107515	10.36330	0.0000
COLOR_POPULATION	0.327883	0.073136	4.483228	0.0000
1/(BACHELOR)	-177.7898	84.73426	-2.098205	0.0373
HOUSEHOLD_INCOME	-0.000945	0.000131	-7.228020	0.0000
UNEMPLOYMENT	2.408578	0.805781	2.989121	0.0032
1/(OFFICERS_PER_100)	8.279515	1.874372	4.417221	0.0000
POP__DENSITY	-0.001818	0.000407	-4.469260	0.0000
R-squared	0.478084	Mean dependent var	57.93291
Adjusted R-squared	0.460491	S.D. dependent var	21.94113
S.E. of regression	16.11603	Akaike info criterion	8.434610
Sum squared resid	46231.32	Schwarz criterion	8.556461
Log likelihood	-773.2014	Durbin-Watson stat	1.683856

 

Все регрессоры модели оказались значимы на 5% уровне. Уравнение в целом также значимо. Коэффициент остался по-прежнему невысоким. Строго говоря, данное значение является не высоким, что говорит о том, что значительная часть разброса данных моделью не объяснена. В этой связи нужно сказать, что сравнительно невысокое значение указывает не на то, что модель оказалась неудачной и подобрана плохая функциональная зависимость, а на то, что в модель должны быть включены дополнительные регрессоры, такие как условия жизни человека, его психическое состояние и др (так как именно психологические причины в основном определяют склонность к преступлению людей). Но темой нашего проекта являются именно влияния различных экономических, демографических и социально-политических показателей на уровень преступности, и,как вы можете понять, исследовать психологические факторы не является возможным.

Проверка на устойчивость

Для проверки на гетероскедастичность нашей новой модели воспользуемся самым универсальным тестом - тестом Уайта. Рассмотрим две формы теста Уайта: с учетом перекрестных эффектов и без.

а) Тест Уайта(cross terms):

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	0.586153	Probability	0.947971
Obs*R-squared	16.94093	Probability	0.932569

 

Данный тест говорит, что гипотеза о гомоскедастичности принимается с вероятностью почти 95%

б) Тест Уайта (no cross terms)

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	0.593878	Probability	0.845231
Obs*R-squared	7.360213	Probability	0.832920

 

Данный тест также отвергает гипотезу о наличии гетероскедастичности с вероятностью 85%.

По результатам теста Уайта можно судить об отсутствии гетероскедастичности.

Рассмотрим другие тесты на обнаружение гетероскедастичности:

Тест Глейзера

Посмотрев графики зависимости остатков регрессии от всех переменных, мы пришли к выводу, что дисперсия ошибки, скорее всего, зависит от переменной unemployment.

В этой связи можно сделать предположение, что дисперсия остатков регрессии функционально зависит от данной переменной. Проводя регрессию

ln() = , получаем следующие значения:

Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	2.595810	0.207409	12.51542	0.0000
UNEMPLOYMENT	-0.119724	0.041209	-2.905300	0.0041

и функциональную зависимость дисперсии остатков от безработицы

ln(ost)= ,

Коэффициенты оказались значимы на уровне значимости 1%, поэтому мы не принимаем нулевую гипотезу о наличии гомоскедастичности.

Также были сделаны попытки подобрать такую функциональную зависимость для других переменных, но все коэффициенты получались незначимыми.

 

Тест Голдфельдта-Квандта: основная гипотеза не меняется, альтернативная утверждает, что дисперсия ошибки пропорциональна одному из регрессоров ( ~unemployment). Упорядочиваем все наблюдения нашей выборки по величине unemployment, после чего оцениваем отдельно регрессии для первых 70 наблюдений:

 

 

Dependent Variable: CRIME_RATE
Method: Least Squares
Date: 05/06/08 Time: 21:25
Sample(adjusted): 3 74 IF UNEMPLOYMENT<4
Included observations: 70 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	78.12301	15.26960	5.116245	0.0000
COLOR_POPULATION	0.188853	0.123665	1.527131	0.1316
1/(BACHELOR)	-145.7342	136.2772	-1.069395	0.2888
HOUSEHOLD_INCOME	-0.000441	0.000158	-2.789841	0.0069
UNEMPLOYMENT	5.285210	2.488191	2.124118	0.0375
1/(OFFICERS_PER_100)	-47.06642	13.21287	-3.562164	0.0007
POP__DENSITY	0.001113	0.001095	1.016766	0.3130
R-squared	0.541360	Mean dependent var	49.52322
Adjusted R-squared	0.499024	S.D. dependent var	18.87582
S.E. of regression	13.36024	Akaike info criterion	8.114609
Sum squared resid	11602.24	Schwarz criterion	8.335951
Log likelihood	-285.1259	Durbin-Watson stat	1.938454

 

Проведем ту же операцию для последних 70 наблюдений:

Dependent Variable: CRIME_RATE
Method: Least Squares
Date: 05/06/08 Time: 21:27
Sample(adjusted): 116 187 IF UNEMPLOYMENT>4.8
Included observations: 70 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	112.9164	14.98243	7.536590	0.0000
COLOR_POPULATION	0.233528	0.123516	1.890662	0.0631
1/(BACHELOR)	-102.9340	134.5980	-0.764751	0.4472
HOUSEHOLD_INCOME	-0.001019	0.000319	-3.192302	0.0022
UNEMPLOYMENT	1.163254	1.323696	0.878792	0.3828
1/(OFFICERS_PER_100)	-24.52977	17.29577	-1.418253	0.1609
POP__DENSITY	-0.002624	0.000742	-3.537910	0.0008
R-squared	0.460543	Mean dependent var	65.11735
Adjusted R-squared	0.410747	S.D. dependent var	20.87254
S.E. of regression	16.02234	Akaike info criterion	8.478011
Sum squared resid	16686.51	Schwarz criterion	8.699354
Log likelihood	-298.2084	Durbin-Watson stat	1.826011

 

Получаем следующие значения ESS1=11602.24и ESS2=16686.51. Получаем значение F-статистики F=ESS2/ESS1=1,44. Критическое значении статистики Фишера F=1,53, следовательно, гипотеза о наличии гетероскедастичности не принимается на 5% уровне значимости.

Тест Бреуша-Пагана:

Основная гипотеза по-прежнему утверждает о присутствии гомоскедастичности в модели H1: =

Шаги:

1) OLS à e_i

2) σ²оцен.=

3) = + à OLS à ESS

4) ~ χ²(p) если Ho верна, статистика имеет распределение хи квадрат Пирсона.

Сумма квадратов остатков нашей модели = 46231.32, следовательно, σ²оцен.=249,9

Далее оценим регрессию = +

Dependent Variable: BPAGAN
Method: Least Squares
Date: 05/06/08 Time: 21:41
Sample(adjusted): 3 185
Included observations: 183 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	1.087185	0.452764	2.401218	0.0174
UNEMPLOYMENT	-0.016707	0.093649	-0.178398	0.8586
R-squared	0.000176	Mean dependent var	1.010885
Adjusted R-squared	-0.005348	S.D. dependent var	2.004562
S.E. of regression	2.009915	Akaike info criterion	4.244931
Sum squared resid	731.1964	Schwarz criterion	4.280007
Log likelihood	-386.4112	F-statistic	0.031826
Durbin-Watson stat	2.129984	Prob(F-statistic)	0.858610

 

Далее рассмотрим статистику = 0,016, распределенную по закону , 95%-критическое значение которой равно 3,84. Таким образом, гипотеза о гомоскедастичности подтверждается.

 

Коррекция Гетероскедастичности:

В результате проведенных тестов мы получили, что в модели есть подозрение на гетероскедастичность по переменной unemployment. Для ее устранения проведем коррекцию с помощью взвешенного метода наименьших квадратов, где в качестве весов, основываясь на выявленной тестами Глейзера зависимости дисперсии остаточного члена регрессии от безработицы, возьмем величину ves2=(.В итоге получаем взвешенную МНК:

Dependent Variable: CRIME_RATE
Method: Least Squares
Date: 05/06/08 Time: 21:50
Sample(adjusted): 3 187
Included observations: 185 after adjusting endpoints
Weighting series: 1/VES2^2
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	89.35560	7.666220	11.65576	0.0000
COLOR_POPULATION	0.335664	0.068823	4.877227	0.0000
1/(BACHELOR)	-157.6997	75.94108	-2.076606	0.0393
HOUSEHOLD_INCOME	-0.001037	0.000138	-7.514900	0.0000
UNEMPLOYMENT	1.935921	0.463821	4.173856	0.0000
1/(OFFICERS_PER_100)	8.151802	2.070356	3.937392	0.0001
POP__DENSITY	-0.001917	0.000389	-4.924945	0.0000
Weighted Statistics
R-squared	0.911019	Mean dependent var	60.84145
Adjusted R-squared	0.908020	S.D. dependent var	51.36984
S.E. of regression	15.57958	Akaike info criterion	8.366903
Sum squared resid	43204.75	Schwarz criterion	8.488754
Log likelihood	-766.9385	Durbin-Watson stat	1.827524
Unweighted Statistics
R-squared	0.475418	Mean dependent var	57.93291
Adjusted R-squared	0.457736	S.D. dependent var	21.94113
S.E. of regression	16.15714	Sum squared resid	46467.47
Durbin-Watson stat	1.823530

Как вы можете видеть, все коэффициенты значимы на 5% уровне. Значение F-статистики=

, следоватедьно, уравнение в целом также. Также увеличилось значение и достигло 0,91 (91% дисперсии результирующей переменной может быть объяснен при помощи данного уравнения регрессии).

Проверим, сохранилась ли в модели гетероскедастичность по переменной unemployment.

С этой целью снова рассмотрим тест Уайта и Глейзера (проводить еще раз тесты Голфелда-Квандта и Бреуша-Пагана мы считаем нецелесообразным, так как они отклонили гипотезу о наличии гетероскедастичности по данной переменной).

Тест Уайта.

а) cross terms:

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	0.492063	Probability	0.983600
Obs*R-squared	14.43370	Probability	0.976649

 

 

б) no cross terms:

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	0.595372	Probability	0.844014
Obs*R-squared	7.377988	Probability	0.831658

Тест Уайта еще более уверенно отвергает гипотезу о наличии гетероскедастичности.

Тест Глейзера.

Аналогично предыдущему случаю рассмотрим регрессию абсолютных значений остатков нашей новой (взвешенной) модели от unemployment. Получаем:

Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	2.292632	0.130360	17.58694	0.0000
UNEMPLOYMENT	-0.168354	0.091066	-1.848707	0.0661

 

Коэффициент при unemployment оказался незначимым, следовательно, гипотеза о гетероскедастичности отвергается.

Из данных тестов можно сделать вывод, что гетероскедастичность в модели устранена.