МДК 01.04 ТОНКМ
Группа: 22А
Преподаватели: Мартусевич Т.О., Насибулина Л.В.
Дата занятия: 07.09.2021
Срок выполнения задания и дата выставления оценки: 13.09.2021
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Уважаемы студенты! Вы продолжаете изучение «теоретических основ начального курса математики». Продолжаете вести тетрадь по ТОНКМ. В вашей тетради, в ваших конспектах, пожалуйста, найдите тему 1 и повторите её:
Количественные натуральные числа. Счет
Чтобы выяснить, как связаны между собой количественный и порядковый смысл натурального числа, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.
Определение. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.
Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что Nа = {х | х∈N и х ≤ а}
Например, отрезок N7 - это множество натуральных чисел, не превосходящих числа 7, т. е. N7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.
1) Любой отрезок Nа содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка Nа.
2) Если число х содержится в отрезке Nа и х¹а, то и непосредственно следующее за ним число х +1 также содержится в Nа.
Определение. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Nа натурального ряда.
Например, множество А вершин треугольника - конечное множество, так как оно равномощно отрезку N3 = {1, 2, 3}, т.е. А ~ N3.
Теорема. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.
Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку Nа, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.
Например, если А - множество вершин треугольника, то n (А) = 3. Из данного определения и теоремы получаем, что для любого непустого конечного множества А число а = n(А) единственное.
Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.
Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.
В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, - первый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д.
Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.
Тему 2 и тему 3 изучите и сделайте в тетради структурированный конспект.
Замечание: можно распечатать данный материал и вклеить в тетрадь, главные определения и факты выделить маркером. Их обязательно нужно знать и уметь сформулировать.
Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
Как было установлено ранее, количественное натуральное число а получается в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А). Это же число а может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В. Но если а = n(В), то множества А и В равномощны, поскольку содержат поровну элементов.
Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом - двухэлементные и т.д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число - это общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Так как каждый класс равномощных конечных множеств однозначно определяется выбором какого-нибудь его представителя, то о натуральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника, а о натуральном числе «четыре», что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству вершин квадрата.
Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 = n(∅).
Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:
1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е. а = n(А), причем А ~ Nа;
2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Установленная связь между конечными множествами и натуральными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше».
1). С точки зрения понятия суммы целых неотрицательных чисел это отношение определено следующим образом: а < b ⇔ (∃ с∈N) а + с = b.
2) Если а < b, то это означает, что отрезок натурального ряда Nа является собственным подмножеством отрезка Nb, т.е. Nа⊂Nb и Nа≠Nb. Справедливо и обратное утверждение: если Nа - собственное подмножество Nb, то а < b. Тем самым отношение «меньше» получает теоретико-множественное истолкование: а<b в том и только в том случае, когда отрезок натурального ряда Nа является собственным подмножеством отрезка Nb. Символическая запись: а<b ⇔ Nа⊂Nb и Nа≠Nb.
Так, справедливость неравенства 3<7 вытекает из того, что {1,2,3} ⊂ {1,2,3,4, 5, 6,7}.
Если воспользоваться терминологией, принятой в школьном курсе математики, то последнее определение отношения «меньше» можно сформулировать так: «Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b».
Данная трактовка отношения «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание их места в натуральном ряду.
3). Сравнение чисел (особенно небольших) часто выполняют иначе, используя связь чисел с конечными множествами.
Пусть а = n(А), b = n(В), и а < b. Тогда А ~ Nа, В ~ Nb и Nа ⊂Nb. Последнее отношение означает, что в множестве В можно выделить собственное подмножество В1, равномощное множеству А: а = n (А), b = n(В) и а < b ⇔ А ~ В1, где В1⊂В, В1 ≠ В, В1 ≠∅.
Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел также получают теоретико-множественное истолкование: транзитивность и антисимметричность этого отношения связаны с тем, что транзитивно и антисимметрично отношение «быть подмножеством».
Теоретико-множественный смысл неравенства 0 < а, истинного для любого натурального числа а, связан с тем, что пустое множество является подмножеством отрезка Nа (или любого такого множества А, для которого а = n(А)).
В связи с тем, что при определении числа, соответствующему множеству А, приходится прибегать к счету, а для этого нужен некоторый отрезок натурального ряда, то изучение математики в начальных классах начинается, как правило, с усвоения чисел первого десятка. Параллельно раскрывается смысл каждого из этих чисел, причем количественное натуральное число часто рассматривается как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Например, когда учащиеся изучают число «три», они рассматривают множества, содержащие три элемента: три кубика, три карандаша и др. Так происходит при изучении всех чисел первого десятка, но число элементов в множестве каждый раз определяется путем пересчета, т.е. количественный и порядковый смысл числа, а также его запись выступают в тесной взаимосвязи.
Сравнение чисел в начальном курсе математики осуществляется различными способами - оно основано на всех рассмотренных нами подходах к трактовке отношения «меньше».