ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ
Показатели безотказности
Надежностные свойства объекта могут оцениваться различными показателями. Как и комплексное свойство надежности, систему показателей надежности объекта целесообразно структурировать и соотнести каждый из показателей с оцениваемым свойством надежности. Начать измерение свойств надежности с помощью показателей целесообразно с безотказности и восстанавливаемости. Обычно показатели этих свойств называются единичными, а построенные на их основе – комплексными.
Определять показатели надежности имеет смысл в два этапа. На первом описываются интересующие нас состояния (работоспособные, неработоспособные) и события (отказы, восстановления) объекта в зависимости от его режимных параметров (переменных состояния), уровня выполняемых функций. Назовем эти показатели структурно-функциональными (условными). На втором этапе данные условия связываются с некоторыми закономерностями их появления, например с вероятностями наступления. Будем называть эти безусловные показатели вероятностными, хотя могут быть и другие, невероятностные закономерности появления событий (отказа, восстановления), например при анализе живучести. Но это свойство в значительной степени описывается уже на структурно-функциональном (условном) уровне.
Структурно-функциональные (условные) показатели безотказности
В п. 2.2.1 отмечалось, что объект находится в работоспособном состоянии, если значения его переменных состояния (параметров режима) 
лежат внутри области допустимых значений 
.
Для характеристики состояния объекта введем величину 
. Рассмотрим сначала объект, имеющий два состояния: работоспособное, в котором в момент 
величина = 1; неработоспособное – =0. Тогда
|
если 
если 
Кроме того, объект может находиться в том или ином состоянии на протяжении некоторого интервала времени 
, например
|
Условия (3.1), (3.2) обычно определяются при проектировании и изготовлении объекта. Они выражаются в виде различных требований: внешних (климатических и т.п.), режима использования, хранения, транспортировки, периодичности и объема ремонтов и т.д. При выполнении всех этих требований гарантируется выполнение (3.1), (3.2).
В общем случае объекты могут иметь несколько 
различных уровней качества функционирования, уровней работоспособности. Величина z будет принимать L значений. Значение z =0 – состояние полного отказа. Остальные состояния обычно нумеруются так, что большему значению z соответствует более высокий уровень работоспособности. В этом случае нахождение объекта в работоспособном состоянии 
или условие работоспособности объекта на -м уровне будет
. (3.3)
Показателем безотказности объекта на уровне работоспособности не ниже будет условие сохранения работоспособного состояния объекта на -м уровне и выше 
на интервале времени 
(3.4)
Вероятностные (безусловные) показатели безотказности
Отмеченная гарантия выполнения условий (3.1)–(3.4) обычно не является абсолютной. Во многих случаях в силу большого количества влияющих факторов она носит вероятностный характер при нормальных (ординарных) условиях эксплуатации объекта. Это и предопределило использование вероятностных методов описания надежности.
В далеких от ординарных условиях вырождается вероятностная природа причин отказа тем в большей степени, чем дальше эта удаленность. Поэтому в неординарных (особых) условиях вероятностное описание безотказности становится, как правило, неприемлемым. Здесь безусловный показатель безотказности представляет собой совокупность значений показателя, например (3.4), и описания условий, в которых (3.4) выполняется или не выполняется. Обычно это описание задается в виде сценариев, минимаксных условий и т.п.
Вероятностные показатели удобно начинать изучать с показателей невосстанавливаемых объектов, которые могут находиться лишь в двух состояниях.
Невосстанавливаемый объект. Один из вероятностных показателей надежности этого объекта – вероятность того, что время его работы до отказа 
будет не меньше заданного времени t или вероятность безотказной работы за время t
P 
P 
. (3.5)
Вероятность того, что за время t объект откажет, определится как
. (3.6)
Характерные зависимости 
и 
представлены на рис. 3.1.
Часто используется другой показатель – интенсивность отказа, которая представляет собой условную плотность вероятности возникновения отказа, определяемую для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник (обозначим эту вероятность как 
Тогда интенсивность отказа будет
где
.
С учетом последнего соотношения
(3.7)
|
Имеется зависимость между показателями 
и 
, а именно
Рис. 3.1.
(3.8)
Вероятность безотказной работы объекта на интервале 
, если он проработал исправно на интервале 
, равна 
. Эту вероятность можно найти из условия, что объект не откажет на интервале 
только в том случае, если он не откажет на интервале , а затем и на интервале 
. Другими словами, первое событие есть произведение двух других. Тогда на основании теоремы умножения вероятностей имеем
(3.9)
Средняя наработка до отказа представляет собой математическое ожидание наработки объекта до отказа
(3.10)
т.е. графически пропорциональна площади, лежащей под графиком функции .
Средняя продолжительность безотказной работы объекта, проработавшего исправно срок 
, равна
(3.11)
где М – знак математического ожидания случайной величины.
Часто большой практический интерес представляет случай, когда интенсивность отказа может считаться постоянной величиной
. (3.12)
Это характерно для уже освоенного оборудования в период нормальной эксплуатации (см. рис. 2.2). Тогда все показатели существенно упрощаются и принимают вид
(3.13)
Восстанавливаемый объект. Для представления его показателей выделим из общего потока отказов и восстановлений поток отказов (рис. 3.2). При этом на оси времени будет откладываться только суммарное время работоспособного состояния объекта 
– суммарная наработка. Для такого объекта на каждом k -м цикле его работы после восстановления будут справедливы рассмотренные показатели невосстанавливаемого объекта, которые в общем случае различны для каждого цикла
где 
– время от начала k -го цикла. Часто в практических задачах полагают, что эти показатели идентичны для каждого цикла.
В качестве точечной характеристики потока отказов можно использовать параметр потока отказов в виде
, (3.14)
где 
– вероятность безотказной работы на интервале времени 
после . Средний параметр потока отказов или частота отказов на интервале 
(упоминалась без определения в п. 2.1.2) определяется как
 | |||
| |||
Рис. 3.2.
. (3.15)
Здесь 
– математическое ожидание количества отказов за суммарную наработку 
.
Еще один важнейший практический показатель – средняя наработка на отказ
(3.16)
Определение приведенных показателей существенно зависит от характера потока отказов. Различают потоки:
· ординарные, если вероятность появления двух и более отказов за промежуток времени стремится к нулю, когда длительность этого промежутка времени стремится к нулю;
· стационарные, если вероятность появления K отказов на отрезке времени 
зависит только от и не зависит от t (от предыстории);
· без последействия, если на любых непересекающихся интервалах времени число событий, появляющихся в одном из них, не зависит от числа событий, появляющихся в других.
Ординарные потоки без последействия называются пуассоновскими. Они могут быть стационарными и нестационарными. Стационарный пуассоновский поток является простейшим.
Поток отказов восстанавливаемого объекта является ординарным, так как второй отказ может произойти только после восстановления. Часто он может полагаться потоком и без последствия, т.е. пуассоновским. Если же он еще и стационарный, т.е. простейший, то для него имеем
(3.17)
Для свойства долговечности многие из рассмотренных показателей имеют свои названия. Например, потоком отказов является поток вывода объекта в различного рода предупредительные ремонты (средние, капитальные); последний отказ – достижение конечного предельного состояния. Для этого свойства все показатели, характеризующие различные наработки, обозначаются термином "ресурс" с соответствующим конкретизирующим его определением.
Технический ресурс – наработка объекта от начала его эксплуатации до достижения предельного состояния или капитального (среднего) ремонта, от начала эксплуатации после ремонта (среднего, капитального) до следующего ремонта или достижения предельного состояния. Обычно указывается, какой именно технический ресурс имеется ввиду: до среднего, капитального, от капитального до ближайшего среднего ремонта и т.п.
Гамма-процентный ресурс – наработка, в течение которой объект не достигает предельного состояния с заданной вероятностью 
.
Средний ресурс – математическое ожидание технического ресурса.
Назначенный ресурс - суммарная наработка объекта, при достижении которой эксплуатация должна быть прекращена независимо от его состояния.
По сути показатели безотказности характеризуются либо вероятностью (частотой) наступления отказа, либо эквивалентным этой частоте интервалом времени до отказа (или от восстановления до отказа).