Определение максимального изгибающего момента.

Пример расчета квадратной монолитной железобетонной плиты с опиранием по контуру.

Дано:

1. Кирпичные стены из полнотелого кирпича толщиной 510 мм образуют замкнутое помещение с размерами 5х5 м, на стены будет опираться монолитная железобетонная плита, ширина опорных площадок 250 мм. Таким образом полный размер плиты 5.5х5.5 м. Расчетные пролеты l₁ = l₂ = 5 м.

2. Монолитная железобетонная плита кроме своего веса, прямо зависящего от высоты плиты, должна выдерживать еще и некую расчетную нагрузку. Хорошо, когда такая нагрузка известна, например, по плите высотой 15 см будет выравнивающая цементная стяжка толщиной 5 см, на стяжку будет уложен ламинат толщиной 8 мм, а на напольное покрытие из ламината будет ставиться мебель с соответствующими размерами вдоль стен общим весом 2000 кг (вместе с содержимым), а посредине помещения будет иногда стоять стол с соответствующими размерами весом в 200 кг (вместе с выпивкой и закуской), а за столом будет сидеть 10 человек общим весом 1200 кг, вместе со стульями. Но такое бывает очень редко, а если точнее, то почти никогда, потому как предусмотреть все возможные варианты и комбинации нагрузок на перекрытие могут только великие прорицатели. Нострадамус никаких заметок по этому поводу не оставил, поэтому обычно при расчетах пользуются статистическими данными и теорией вероятности. А эти данные говорят, что обычно рассчитывать плиту в жилом доме можно на распределенную нагрузку q_в = 400 кг/м², в этой нагрузке есть и стяжка и напольное покрытие и мебель и гости за столом. Эту нагрузку можно условно считать временной, так как впереди могут быть ремонты, перепланировки и прочие неожиданности, при одна часть этой нагрузки является длительной, а другая часть - кратковременной. Так как соотношения длительной и кратковременной нагрузки мы не знаем, то для упрощения расчетов просто будем считать ее временной нагрузкой. Так как высота плиты нам пока не известна, то ее можно принять предварительно, например h = 15 см, и тогда нагрузка от собственного веса монолитной плиты будет составлять приблизительно q_п = 0.15х2500 = 375 кг/м2. Приблизительно потому, что точный вес квадратного метра железобетонной плиты зависит не только от количества и диаметра арматуры, но и от размеров и породы крупного и мелкого наполнителей бетона, от качества уплотнения и других факторов. Эта нагрузка является постоянной, изменить ее смогут только антигравитационные технологии, но таковых пока не наблюдается. Таким образом суммарная распределенная нагрузка на нашу плиту составит:

q = q_п + q_в = 375 +400 = 775 кг/м²

3. Для плиты будет использоваться бетон класса В20, имеющий расчетное сопротивление сжатию R_b = 11.5 МПа или 117 кгс/см² и арматура класса AIII, с расчетным сопротивлением растяжению R_s = 355 МПа или 3600 кгс/см².

Требуется:

Подобрать сечение арматуры.

Решение:

Определение максимального изгибающего момента.

Если бы наша плита опиралась только на 2 стены, то такую плиту можно было бы рассматривать как балку на двух шарнирных опорах (ширину опорных площадок пока не учитываем), при этом ширина балки для удобства расчетов принимается b = 1 м.

Рисунок 1. Расчетная схема для квадратной плиты перекрытия с опиранием по контуру.

Однако в данном случае у нас плита опирается на 4 стены. А это значит, что рассматривать одно поперечное сечение балки относительно оси х недостаточно, ведь мы можем рассматривать нашу плиту также как балку относительно оси z. А еще это означает, что сжимающие и растягивающие напряжения будут не в одной плоскости, нормальной к оси х, а в двух плоскостях. Если рассчитывать балку с шарнирными опорами с пролетом l₁ относительно оси х, то получится, что на балку действует изгибающий момент m₁ = q₁l₁²/8. При этом на балку с шарнирными опорами с пролетом l₂ будет действовать точно такой же момент m₂, так как пролеты у нас равны. Но расчетная нагрузка у нас одна:

q = q₁ + q₂

и если плита квадратная, то мы можем допустить, что:

q₁ = q₂ = 0.5q

и тогда

m₁ = m₂ = q₁l₁²/8 = ql₁²/16 = ql₂²/16

Это означает, что арматуру, укладываемую параллельно оси х, и арматуру, укладываемую параллельно оси z, мы можем рассчитывать на одинаковый изгибающий момент, при этом момент этот будет в два раза меньше, чем для плиты, опирающейся на две стены. Таким образом максимальный расчетный изгибающий момент составит:

М_а = 775 х 5²/16 = 1219.94 кгс·м

Однако такое значение момента можно использовать только для расчета арматуры. Так как на бетон будут действовать сжимающие напряжения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то значение изгибающего момента для бетона следует принимать больше:

М_б = (m₁² + m₂²)^0.5 = M_а√2 = 1219.94·1.4142 = 1725.25 кгс·м

А так как для расчетов нам нужно некоторое единое значение момента, то можно предположить, что среднее значение между моментом для арматуры и для бетона и будет расчетным

М = (М_а + М_б)/2 = 1.207М_а = 1472.6 кгс·м

Примечание: Если вам не нравится такое предположение, то можете рассчитывать арматуру по моменту, действующему на бетон.