Дворец пионеров находился на третьей по счёту параллельной улице. Но мы и на вторую-то попали не сразу, потому что задержались на первой, где разместился знаменитый энэмский зоопарк.
В общем, путь ко Дворцу пионеров оказался длиннее, чем мы предполагали. Он растягивался, как резиновый. Но жалеть нам о том не пришлось. Ни Пусе, который знал, что делал, когда остановился у ворот зоопарка. Ни девочке, ни мне. Ни Главному терятелю, у которого оказалось дело в здешнем зоомагазине.
Магазин, кстати, помещался сразу при входе, и Главный терятель тут же вспомнил, что ему срочно нужны птицы. Да не какие-нибудь, а певчие. Жаворонки, канарейки и скворцы. Но вместо того чтобы сказать прямо: «Дайте мне, пожалуйста, столько-то жаворонков, столько-то канареек и столько-то скворцов!», он вздумал изъясняться загадками. Прежде всего, число птиц должно быть наименьшим. Продавец, естественно, хотел отобрать ему одного жаворонка, одну канарейку и одного скворца. Но у Главного терятеля оказалось в запасе дополнительное условие. Жаворонков должно быть в четыре раза меньше, чем всех птиц вместе, а канареек — в три раза.
Продавец немного подумал, улыбнулся и протянул Главному терятелю клетку с тремя жаворонками, четырьмя канарейками и пятью скворцами.
— Благодарю вас, — сказал тот, очень довольный, — вы осуществили мою просьбу наилучшим образом. А теперь, с вашего разрешения, я выпущу этих пернатых на волю.
И не успели мы оглянуться, как он отворил дверцу, и — двенадцать крылатых певцов понесли свои песни навстречу облакам.
Девочку это привело в восторг. Одного она не могла понять: как продавец вычислил общее число птиц. Но тот сказал, что он его не вычислял. Скорее, подбирал. Да, именно подбирал сообразно с условиями задачи.
Прежде всего, совершенно ясно, что речь идёт о целом положительном числе. Потому что можно ли просить в магазине 3/4 жаворонка? Или 5/8 канарейки?
Ещё менее вероятно, что на свете существуют отрицательные скворцы. Во-вторых, речь идёт о наименьшем числе из тех, что одновременно делятся и на 3 и на 4. Ведь жаворонков должно быть меньше в 4 раза, а канареек — в 3. Ясно, что единственное подходящее число — это 12. Остальное проще простого. Число жаворонков 12/4=3. Число канареек 12/3=4. Число скворцов, само собой, равно пяти: ведь общее число жаворонков и канареек — 7. Вычтем его из двенадцати и получим 5.
— Чудесная задача! — сказала девочка. — Одно плохо: почему наш уважаемый Главный терятель попросил наименьшее число птиц? Почему не захотел, чтобы их было больше?
— Неужели непонятно? — удивился тот. — Ведь выпусти я на волю всех птиц из магазина, никто никогда не смог бы сделать того же. И многие лишились бы огромного удовольствия. Потому что выпускать птиц — удовольствие. Больше того — счастье!
— Прекрасное объяснение, — сказал я. — И прекрасная задача. К тому же на обыкновенные дроби. А я как раз собирался о них поговорить…
— Если она и прекрасна, так по другой причине, — возразил Главный терятель. — Количество птиц — 3, 4 и 5. Это последовательно возрастающие числа…
— И что из того? — полюбопытствовал я.
— Только то, что в утерянном номере три последние цифры тоже последовательно возрастающие, — отвечал Главный терятель с наигранной небрежностью.
— Ассоциация! — завопила девочка и бросилась к блокноту. — Записываю: три последние цифры утерянного номера — последовательно возрастающие.
— Что ж, нашего полку прибыло! — заключил я, потирая руки. — Это надо отпраздновать.
— Отпраздновать, отпраздновать! — запрыгала девочка. — Я тоже хочу выпустить птиц, но уже не двенадцать. Чтоб жаворонков было в 9 раз меньше всех птиц вместе, а канареек — в два.
— Не забудь добавить, что общее число птиц должно быть наименьшим, — напомнил Главный терятель. — Иначе в магазине ни одной птицы не останется!
На сей раз продавцу не пришлось ломать голову.
Девочка решила задачу сама. Прежде всего она подобрала наименьшее число из тех, что одновременно делятся на 9 и на 2. Это 18. Ясно, что число жаворонков 18/9 =2; число канареек 18/2=9. А скворцов — 7.
После этого восемнадцать птах взлетели в небо, а я заявил, что теперь моя очередь получать удовольствие, и как человек скромный попросил немногого: всего лишь позволения поговорить о дробях. Сперва об обыкновенных. Правда, девочка сказала, что с дробями уже знакома. Но я пожелал это проверить и для начала спросил, чем отличается обыкновенная дробь от целого числа.
— Тем же, чем целый арбуз от ломтика, — остроумно ответила девочка. — Чем больше народу за столом, тем меньший ломтик достанется каждому. Если, конечно, делить по-честному.
— Зато чем меньше будет каждый ломтик, тем больше будет их самих, — добавил я. — Вот и выходит, что, когда при дроблении число частей увеличивается, сами части уменьшаются.
— Прошу прощения, — вмешался Главный терятель, — насколько я понимаю, до сих пор речь шла о людях порядочных, которые привыкли всё делить поровну. А если среди них окажется нахал?
— Тогда дело обернётся немного иначе, — вздохнул я. — Допустим, у двух приятелей есть арбуз на двоих. Но один захотел получить вдвое больше другого. Как быть?
Девочка сообразила, что в этом случае арбуз следует разделить на три части. Две трети достанутся нахалу, а одна треть порядочному человеку. Но… но ведь так никогда не бывает! Зачем же задавать такие гадкие задачи?
— Виноват, — сказал я. — Больше не буду. И вообще, поговорим о чём-нибудь другом. О десятичных дробях, например. Как ты думаешь, чем они отличаются от обыкновенных?
— По-моему, их записывать легче, — рассудила девочка. — И вычислять удобнее. Да и сравнивать тоже. Вот, к примеру, что больше: 3/8 или 19/43? Тут голову сломаешь, пока дознаешься. Другое дело 0,135 и 0,158. Сразу видно, что почём…
— Это потому, что у десятичных дробей знаменатели кратны десяти, — пояснил я. — И всё-таки не все десятичные дроби поддаются вычислению. Иные из них никаким конечным числом не запишешь.
— Ну да? — не поверила девочка. — Что ж это за дроби такие?
— Эти дроби называются иррациональными. Точным числом их не выразишь. К примеру, √2. Целая часть его равна единице, а дробная состоит из бесконечного ряда цифр. Сколько её ни вычисляй, конца ей нет и не будет. Само собой, пользоваться такой дробью невозможно, да и не нужно. И потому для удобства ограничиваются её приближённым значением. Корень квадратный из двух обычно записывают так: ставят знак приближения — две волнистые чёрточки — и рядом 1,41 (≈1,41). А корень квадратный из трёх приближённо равен 1,73 (≈1,73).
— Словом, иррациональными числами называются корни, которые нельзя вычислить точно, — подытожила девочка.
— Не только корни, — возразил я. — Среди иррациональных есть и другие числа. Вот, например…
Но тут мы подошли к летнему цирку, и мне уже стало не до примеров. Цирк этот не зря помещается на территории зоопарка. В нём часто выступают местные звери. Его полотняный шатёр раскинут на круглой площади, от которой лучами расходятся аллеи с клетками. Но если нам удалось побродить по этим аллеям, так только потому, что цирковое представление должно было начаться через полчаса. Кабы не это, девочка непременно выбрала бы из двух удовольствий большее и в тот день мы бы уже не увидали знаменитой коллекции энэмского зоопарка, где собраны животные изо всех басен и сказок мира.
Это была бы немалая потеря, но нас она миновала. Нам таки удалось пообщаться с некоторыми героями Крылова и Киплинга и даже получить от них на память кое какие советы.
— Никогда не пойте во время еды! — сказала знаменитая крыловская Ворона. — Это не принято в хорошем обществе.
— Приглашая гостей, позаботьтесь об угощении! — сказала Лиса, доедая с плошки манную кашу, которой угощала Журавля.
— И не забудьте о сервировке, — грустно добавил голодный Журавль.
— Собираясь путешествовать вместе, не берите билетов на разные виды транспорта, — посоветовали Лебедь, Рак и Щука.
— Охотясь на очковую змею, не забудьте сбить с неё очки, — напомнил Рикки-Тикки-Тави.
— И всегда носите их в футляре, — добавила Мартышка, — ведь больше они ни на что не годятся!
— Не заглядывайте в пасть крокодилу, — остерёг нас любопытный Слонёнок. — Как бы он не оставил вас с носом! И предлинным.
— Никогда не опаздывайте! — сказала Кошка, которая ходит сама по себе. — Вы рискуете прийти к шапочному разбору.
Это был своевременный совет, и мы поспешили в цирк.
В ЦИРКЕ
Что может быть лучше летнего цирка? Только зимний! Цирк любят все. Старики вспоминают здесь свою молодость. Молодые превращаются в детей. А дети, которых досрочно пытаются превратить во взрослых, забывают обо всём на свете и развлекаются, как им и положено.
На сей раз они получили возможность соединить приятное с полезным, посмотрев программу развлекательно-познавательную, к тому же с числовым уклоном. Не сомневаюсь: тут кое-кто из юных читателей недовольно поморщится. Возможно, это будет москвич. Возможно, ленинградец. Но уж наверняка не уроженец Энэмска!
Энэмские дети любят числа с рождения. И потому они страшно обрадовались, когда на манеж выбежали два клоуна в костюмах, сплошь размалёванных цифрами.
— Здравствуй, Пи! — на весь цирк закричал один.
— Здравствуй, Э! — закричал другой. — Что у тебя висит на руке?
— Не скажу! — заупрямился Пи и тут же проговорился: — Сумка.
— А что ты в ней прячешь?
— Не скажу, — опять заупрямился Пи и опять проговорился: — Корни.
— Какие корни? Еловые?
— Не угадал! — визгливо захохотал Пи.
— Дубовые?
— Опять не угадал! — снова захохотал Пи. — Квадратные и кубические.
— А что ты собираешься с ними делать?
— Извлекать!
— Откуда?
— Из сумки!
Тут он действительно извлёк из сумки чёрную табличку и очень крупно написал на ней мелом:
— Слушай, Э! — снова закричал он. — Сейчас я буду тебя экзаменовать. Вот тебе корень квадратный из ста шестидесяти девяти. Как ты будешь его извлекать?
— Надо подумать! — сказал Э и поскрёб в затылке.
— А вот и не надо! — возразил Пи. — Корни лучше всего извлекать носовым платком.
В руке у него появился большой красный платок с крупными белыми горохами, и он стёр им среднюю цифру в числе 169.
— Главное сделано, — заявил он. — Остаются пустяки. Извлекаем корень квадратный из единицы. Что получим?
— Единицу! — закричали со всех сторон.
— Правильно! — подтвердил Пи. — А теперь извлечём корень квадратный из девятки. Получим…
— Три! — опять закричали зрители.
— Цифры 1 и 3 образуют число 13. Вот вам и корень квадратный из ста шестидесяти девяти!
Публика дружно захлопала, а бедный Э, наоборот, ужасно расстроился.
— Не штука извлечь корень квадратный, — сказал он, — а ты вот попробуй кубический!
— Пожалуйста! — согласился Пи и написал на дощечке:
Потом он опять стёр платком, но уже две средние цифры, извлёк корень кубический из оставшейся единицы, затем из восьми и получил 12, что и есть корень кубический из тысячи семисот двадцати восьми.
Э после того заревел в голос и стал утирать нос платком Пи. А зрители снова захлопали, и громче всех — Главный терятель. Числовые фокусы — его страсть.
Девочке клоуны тоже понравились, и она спросила, откуда у них такие смешные имена. Я объяснил, что так в математике обозначают особые числа, которые, между прочим, тоже иррациональны. Одно из них для краткости записывают греческой буквой «пи» (π). Это число очень важное. Оно помогает нам вычислять длину окружности и приближённо равно трём целым и четырнадцати сотым (≈3,14). Число «э» обозначают маленьким латинским «е», и оно приближённо равно двум целым семидесяти двум сотым (≈2,72). Но девочке оно понадобится много позже, когда она познакомится с высшей математикой. А пока будет с неё и того, что обозначения «пи» и «э» ввёл великий швейцарский математик Леонард Эйлер, который долгие годы жил в России и был единомышленником великого Ломоносова.
Вслед за клоунами выступал жонглёр-мнемотехник. Он делал несколько дел сразу: танцевал на спине у бегущей лошади, жонглировал светящимися дисками и между прочим отгадывал степени натуральных чисел, задуманные зрителями.
Вы, конечно, помните, что в возведении в степень участвуют три числа. То, которое возводится в степень, называется основанием степени. То, что показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. А то, что получается в результате, просто степенью.
Так вот, отгадывая степень числа, жонглёр-мнемотехник всякий раз представлял её в виде суммы последовательных нечётных чисел, количество которых равно основанию степени. Например, отгадав число 8, он представил его в виде суммы 3+5. И так как 8 — это два в кубе(23), то и участвовало в сумме два последовательных нечётных слагаемых. Они-то и зажглись на двух дисках, которыми жонглировал мнемотехник.
Точно так отгадал он число 81, представив его в виде суммы трёх слагаемых: 25+27+29. Ведь 81 это четвёртая степень трёх (З4)! За этим числом последовало другое — 16, то есть 4 2, потом 125 (53)… И всякий раз число дисков менялось в зависимости от основания степени, а значит, и от числа слагаемых, на которые она разложена.
— Интересный фокус! — одобрила девочка. — Каково основание, столько и дисков.
Но я сказал, что это не фокус, а правило. И я могу его доказать. Фокус же состоит в том, что жонглёр отгадывал задуманные степени, да ещё стоя на бегущей лошади. И вот этого я нипочём бы не смог. Даже сидя верхом на стуле.
Жонглёра сменили воздушные гимнасты. Они тоже делали несколько дел сразу: кувыркались под куполом и заодно показывали действия с обыкновенными дробями. Это было красивое зрелище. Под звуки «Лунного вальса» разноцветные прожекторы выхватывали из темноты стройные фигуры в светящихся костюмах, на которых всякий раз вспыхивали другие числа. Воздушные дроби преображались на глазах: делились, умножались, сокращались, менялись числителями и знаменателями.
Покончив с обыкновенными дробями, гимнасты перешли к десятичным, и в воздухе замелькали нули, запятые, знаки приближения. Завершился номер, как водится, самым эффектным трюком: периодической дробью.
Музыка смолкла. В темноте вспыхнуло числовое выражение «4:39 = 0, ». Несколько мгновений оно висело в воздухе неподвижно, затем к запятой одна за другой пристроились цифры 1, 0, 2, 5, 6, 4. Секунда передышки — и к этим шести цифрам снова пристроились те же: 102564. И ещё раз. И ещё раз. Теперь над манежем висело длиннющее число 0,102564102564102564102564… Но вот оно погасло, и вместо него вспыхнули только первые шесть цифр, стоящие после запятой: это шестеро гимнастов выстроились на одной широкой трапеции. Грянула барабанная дробь, и трапеция поплыла по кругу. Сперва медленно, потом быстрей, быстрей. Вместе с ней закружились, замелькали цифры 102564, образуя одно нескончаемое число с повторяющимся числовым периодом. Наконец движение стало таким быстрым, что уже ничего не разобрать. Всё смешалось, слилось в одно светящееся кольцо…
И вдруг оно погасло. На несколько секунд цирк погрузился в полную тьму. А когда его залило светом, гимнасты были уже внизу, на манеже…
Этот номер тоже всем понравился. Но самое большое удовольствие всё-таки получил я. Уверяю вас! Ведь мне ещё не удалось рассказать девочке о периодических дробях. Теперь это сделали за меня воздушные гимнасты, да так, как мне и не снилось. Они только одно упустили: если бесконечную дробь изображают с помощью знака приближения, то периодическую — с помощью скобок. Вот так: 0,(102564). Но это уже мелочь. Незначительная деталь. И девочка ухватила её с лёту.
Следовало, однако, сделать ещё одно, на сей раз важное дополнение. Несмотря на то, что период периодической дроби повторяется бесконечно, сама она при этом остаётся числом конечным, иначе говоря, рациональным. Почему? Да потому, что может быть выражена обыкновенной дробью, в данном случае четырьмя тридцатьюдевятыми (4/39).
А обыкновенная дробь — число конечное. И потому периодические дроби к иррациональным числам не относятся.
Последним выступал всемирно известный маг-волшебник. Он сразу предупредил, что числовых чудес не показывает, поскольку ничего не смыслит в математике, зато виртуозно переливает из пустого в порожнее. После этого он трижды щёлкнул пальцами, и перед ним прямо из воздуха возникли три стеклянных шара.
— Перед вами три сосуда, — сказал маг. — В одном из них вода совершенно чёрная. Я взял её из Чёрного моря. В другом — красная: я взял её из Красного моря. Третий сосуд пуст. Беру первый сосуд, беру второй сосуд и переливаю из них воду в третий. Смешиваю, взбалтываю и… Вода из Чёрного моря и вода из Красного моря превратились в воду из Белого моря. Все убедились?
— Все, все! — кричали вокруг.
— Но человек никогда не бывает доволен, — продолжал фокусник. — Теперь у меня есть вода из Белого моря, а я опять хочу из Чёрного и Красного. Как быть? Оказывается, всё очень просто. Беру воду из Белого моря, разливаю её по пустым сосудам и… Перед вами снова вода из Чёрного моря и вода из Красного моря… Что ж, хорошо я переливаю из пустого в порожнее?
— Хорошо, хорошо! — кричали зрители, награждая мага щедрыми аплодисментами.
— В таком случае, — заявил он, — сейчас вы увидите, как я превращаю муху в слона.
И тут в воздухе перед ним зажужжала светящаяся муха.
Он стал водить перед ней своей волшебной палочкой, и она, послушная этому движению, то поднималась, то опускалась, то замирала на месте, а потом вдруг стала расти, расти, расти и… действительно превратилась в слона. В самого что ни на есть настоящего.
Цирк лопался от восторга. А маг, очень довольный, раскланялся на все стороны и объявил, что теперь ему остаётся только одно: протащить верблюда сквозь игольное ушко́. Правда, у него нет под рукой верблюда. Зато налицо слон…
И вот на глазах у изумлённой публики слон превратился в верблюда. Тогда маг снова щёлкнул пальцами, и в воздухе перед ним возникла игла, хоть и вовсе не маленькая, а с добрый метр. Это слегка удивило зрителей, и кто-то крикнул, что таких иголок не бывает.
— Так то́ у людей, — возразил маг, — а верблюд как-никак побольше человека! Он большими иголками шьёт.
В публике, разумеется, хохот. А маг взял верблюда за хвост, вытянул хвост в нитку, слегка помусолил пальцами, чтобы сделать кончик потоньше, и стал вдевать верблюда в верблюжью иглу. И можете себе представить, это ему удавалось.
Уверяю вас!
В том месте, которое проходило через ушко, верблюд утончался, вытягивался в нить и тут же опять разбухал. Но самое невероятное, что входил он в иглу верблюдом, а выходил из неё слоном. Так что по обе стороны ушка находились разные животные. Одно постепенно исчезало, другое, напротив, росло, росло, пока не стало слоном окончательно.
Казалось, номер окончен: как говорится, дальше некуда! Цирк разразился ураганом рукоплесканий. Но тут-то и произошло самое неожиданное. Слон опять превратился в светящуюся муху. Муха взмыла вверх и скрылась из виду. А вслед за мухой под купол взвился сам волшебник и вылетел в трубу… виноват, в окошко, предусмотрительно проделанное в парусине.
В МУЗЕЕ ИМЕННЫХ ЧИСЕЛ
Мы вышли из цирка и снова заторопились во Дворец пионеров. Но едва мы очутились на следующей улице, как Пуся остановился у подъезда с табличкой: «Музей именных чисел».
В музее было прохладно и тихо. Со стен глядели на нас портреты учёных, чьи имена связаны с теми или иными числами или математическими понятиями. Здесь были математики всех времён и народов. Каждый из них оставил множество математических трудов. Конечно, не стоило и думать, что я смогу познакомить девочку со всеми. Нужно было отобрать одно-два имени, одну-две капли из этого безбрежного моря. Но какие?
На помощь мне неожиданно пришёл Главный терятель.
— Смотрите-ка, пифагоровы тройки! — сказал он, указав на табличку под изображением Пифагора.
— Как интересно! — заверещала девочка. — Ведь мне пока и на ослике прокатиться не удалось, а тут на тройке!
— Ну, на пифагоровых тройках вряд ли покатаешься, — усмехнулся я, — хотя уехать на них далеко можно. Так называют тройки чисел, связанных между собой простой зависимостью. Сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего. К примеру: 32+42=52. Или: 52+122=132. Или: 202+212 =292. Таких числовых троек бесконечное множество, и они очень нужны в геометрии, потому что помогают строить прямоугольные треугольники.
Девочка спросила, нет ли у Пифагора таких числовых троек, где бы сумма кубов двух чисел равнялась кубу третьего? Пришлось сказать, что таких троек нет ни у Пифагора, ни вообще у кого бы то ни было. Нет их и для любых других степеней. Ни для четвёртой, ни для пятой… Ни для какой! В XVII веке это подметил французский математик Пьер Ферма́ и, по его собственным словам, доказал, хотя доказательство его нигде не обнаружено. Вслед за Ферма то же пытались доказать многие, но безуспешно, несмотря на то, что справедливость этого утверждения, казалось бы, очевидна. И всё же оно вошло в историю математики под именем большой теоремы Ферма.
— Теорема Ферма, — повторила девочка. — Красиво! Но почему же большая? Разве есть ещё и малая?
— Представь себе, есть, — сказал я. — Вот она, под портретом знаменитого француза. Смысл её очень прост: если какое-нибудь натуральное число возвести в степень простого числа и вычесть затем основание, то разность всегда делится на это простое число, то есть на показатель степени.
— Если это и просто, то не для меня, — вздохнула девочка.
— На словах, — возразил я. — А на примере не так страшен чёрт, как его малюют. Возьмём число 4, возведём его в степень простого числа — ну, хотя бы в третью. Получим число 64 (43 = 64). Теперь вычтем из этого числа основание степени, то есть число 4. Получим 60. А 60 как раз и делится на показатель степени, то есть на 3. И получается при этом 20.
— Говорят, когда Ферма доказал эту теорему, — вмешался Главный терятель, — он воскликнул: «Меня озарило ярким светом!» Впрочем… впрочем, может, это воскликнул кто-нибудь другой?
— Нет-нет, — поспешно заверил я, — эти слова приписывают именно Ферма. И то сказать, такие теоремы не всякий день приходят в голову, несмотря на всю их видимую простоту. Недаром говорят: всё великое просто. И недаром малая теорема Ферма занимает такое большое место в науке о числах…
Я хотел продолжать, но девочку отвлекла витрина, отведённая математическим рядам.
— Что за ряды такие? — удивилась она. — Прямо как на рынке! Цветочный, молочный, мясной…
— На рынке ряды торговые, — возразил я, — а в математике числовые. И может их быть бесконечное множество. Потому что числовой ряд — это любая последовательность чисел. Скажем, 3, 25, 48, 364. Или: 8, 12, 93, 165, 482. Хоть это и не значит, что любой числовой ряд интересен с точки зрения математики. Математические ряды всегда строятся по какому-нибудь правилу. Один по такому, другой — по этакому. Напридумать таких правил можно сколько угодно. Куда труднее разгадать, по какому правилу ряд строили…
— Да-да, это вы верно заметили, — согласился Главный терятель. — Недавно в детском математическом журнале напечатали один числовой ряд, так я над ним целую неделю бился…
— И как, добились? — ехидно поинтересовалась девочка.
— Представь себе, да, — с гордостью ответил он.
— Интересно бы взглянуть, — полюбопытствовал я.
— Сделайте одолжение, — сказал Главный терятель. — Ряд был такой: 0, 4, 18, 48, 100, 180. А образуется он так: первое его число 0 есть 12х0. Второе — это 22х1. Третье — 32х2. Четвёртое — 42хЗ. И так далее. Иначе говоря, каждое число этого ряда равно квадрату последовательного натурального числа (начиная с единицы), умноженному на предыдущее число. Если, конечно, условно считать нуль натуральным числом, — поспешно добавил он.
— Поздравляю, — сказал я. — Закономерность этого ряда не так уж проста. Но недавно мне пришло в голову, как можно продолжить числовой ряд, его закономерности не зная.
— Счастливец, — позавидовал Главный терятель. — Хотел бы я быть на вашем месте.
— Нет ничего проще, — заверил я. — Хотя, конечно, способ мой не универсален. Он годится лишь в определённых случаях, о которых сейчас благоразумнее не распространяться…
— Ясно, — съязвила девочка, — для нас с Пусей это рановато.
— Вот именно, — подтвердил я и, вырвав листок из блокнота, написал на нём ряд чисел. — Недавно мне пришло в голову, что продолжить числовой ряд легко с помощью серии вычитаний, до тех пор вычитая из последующих чисел предыдущие, пока разность их не окажется одинаковой…
— То есть как — одинаковой? — не понял Главный терятель.
— А вот так, — сказал я. — Вот вам ряд чисел: 9, 18, 31, 48, 69. Между прочим, числа ряда называются членами. Так вот, вычитая из второго члена первый, из третьего — второй, из четвёртого — третий, из пятого — четвёртый, получаем новый, второй ряд: 9, 13, 17, 21. Повторив ту же операцию со вторым рядом, получаем третий, состоящий из одних четвёрок.
Совершенно очевидно, что продолжить второй ряд можно, прибавив к последнему члену (21) число 4. При этом получим 25. И так же очевидно, что получить следующий член первого ряда (9, 18, 31, 48, 69) можно, прибавив 25 к числу 69.
— А дальше? — понукала девочка.
— Дальше и младенцу ясно, что к каждому последующему члену второго ряда надо прибавлять четвёрку, чтобы получить разность между двумя последующими членами первого ряда. Стало быть, вслед за числом 69 должно стоять 94 (69+25=94), а за числом 94 идёт 123, так как разность в этом случае уже 25+4, то есть 29. Ну и так далее…
— Как интересно! — обрадовалась девочка. — Сейчас мы ваш способ испробуем на практике.
— Это каким же образом? — спросил я.
— Обыкновенным. Возьмём любой ряд чисел…
— Но я же предупреждал, что любой ряд не годится, — возразил я. — Тут нужен ряд определённого типа…
— Выходит, вы знали, какого типа этот?! — возмутилась девочка.
— Конечно, знал, — засмеялся я. — И какого он типа, и по какому закону построен. Но разве в том суть? Суть в том, что, и не зная закона построения, я мог бы продолжить ряд этим способом. А теперь вот и тебя научил. И Главного терятеля…
— Были бы подходящие примеры, — деликатно намекнул тот.
— За примерами дело не станет, — пообещал я. — Для начала возьмите хоть тот ряд из детского журнала: 0, 4, 18, 48, 100, 180. А потом и другой: 4, 9, 16, 25, 36, 49…
Наготове у меня было ещё несколько рядов, но продиктовать их не удалось: где-то по соседству послышался стук. Пуся навострил свои и без того острые ушки. Мы тоже насторожились.
— Если б мы не были в музее, я бы сказал, что тут рядом бильярд, — заявил Главный терятель.
— Ну да? — обрадовалась девочка. — Хорошо бы на самом деле!
БИЛЬЯРД ПО-ЭНЭМСКИ
Как ни странно, в соседнем зале действительно помещался бильярд. На его ярко-зелёном поле белели перенумерованные костяные шары. Правда, их было много больше обычного. Перед тем как начать партию, игроки выкладывали из них разные геометрические фигуры, а потом убирали со стола лишнее и приступали к игре.
Мне не пришлось долго думать, чтобы понять, в чём дело.
Бильярд — очень удобное место для игры в фигурные числа. А фигурными числами занимались многие прославленные математики. Вот почему устроители музея сочли возможным отвести один зал под бильярдную.
Девочка о фигурных числах до того дня и слыхом не слыхала. Сперва она расхохоталась, а потом заявила, что у чисел фигур не бывает. Ведь они же не люди!
— Конечно, не люди, — согласился я. — Число — понятие воображаемое. Но из чисел можно выкладывать разные геометрические фигуры.
Тут как раз бильярд освободился. Я придвинул к себе горку шаров и выстроил их в одну линию по порядку номеров: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и так далее. Затем положил на середину стола шар номер 1 и пристроил под ним два других под номерами 2 и 3. Получился небольшой равносторонний треугольник, состоящий как бы из двух строк. В первой строке — один шар, во второй — два.
— Перед нами треугольник из двух числовых строк, — сказал я. — Число этих строк можно наращивать до бесконечности и всякий раз получать равносторонний треугольник, состоящий из большего числа шаров. Но мы люди скромные и ограничимся малым. Увеличим наш треугольник до… скажем, до десяти строк. И шары будем выкладывать слева направо, по порядку номеров. А теперь, — продолжал я, нарастив треугольник, — представь себе, что шары у нас не нумерованные. Сможешь ты сказать, сколько шаров пошло на постройку этого треугольника?
— Ну конечно! — фыркнула девочка. — Возьму да сосчитаю.
— Это потому, что треугольник наш невелик. А если б он был много больше? Ведь мысленно его можно продолжить до бесконечности!
— Да, — сказала девочка озадаченно, — тут, пожалуй, со счёта собьёшься…
— Ничего, — сказал я. — У нас-то шары нумерованные! И потому мы можем сразу, ничего не пересчитывая, сказать, сколько шаров пошло на постройку треугольника из двух строк, из трёх, из двадцати, из тысячи, из миллиона… Для этого надо лишь посмотреть, какой шарик стоит справа, в конце последней строки. В первой строке это, конечно, № 1. Один шар мы тоже условно принимаем за треугольник. Во второй — № 3, в третьей — № 6, в четвёртой — № 10, в пятой — № 15, в шестой — № 21, в седьмой — № 28, в восьмой — № 36, в девятой — № 45, в десятой — № 55. Эти-то числа, указывающие, сколько шаров ушло на постройку каждого треугольника, называют в математике треугольными.
— А есть и четырёхугольные? — поинтересовалась девочка.
— Безусловно. Но называют их квадратными. И это уже совсем другой ряд чисел. Он образуется по другому закону. В ряду треугольных чисел каждое новое число обраауется так: первое треугольное число-1. Чтобы получить второе, прибавляем к единице следующее число натурального ряда 2: 1+2=3. Чтобы получить третье, надо прибавить к трём следующим после двух число натурального. ряда: 3+3=6. Далее, поступая каждый раз так же, получаем числа 10(6+4), 15(10+5), 21(15+6), 28(21+7), 36(28+8), 45(36+9), 55(45+10). Как видишь, каждое второе слагаемое в скобках есть следующее по порядку число натурального ряда. Ряд четырёхугольных чисел образуется иначе. Здесь к предыдущему квадратному числу всякий раз прибавляется не просто порядковое натуральное, а порядковое нечётное число. То есть взятое не из натурального ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д., а из ряда 1, 3, 5, 7, 9, 11 и т. д.
Но девочке надоело слушать, и она перешла от слов к делу: выложила квадрат из четырёх шаров и тут же заявила, что первое квадратное число — это 4.
— Ошибка, — заметил я. — Ты пропустила единицу. По правилам игры все фигурные числа непременно начинаются с фигуры, которая условно изображена шариком № 1. Во-вторых, почему ты думаешь, что 4 — число квадратное?
— Да потому, что оно стоит в последнем ряду справа, — ответила она.
Я усмехнулся и увеличил квадрат, пристроив справа к первой горизонтальной строке шар № 5, ко второй — № 6, а внизу прирастил ещё одну строку из шаров № 7, 8, 9. При этом шар № 4 оказался уже не в конце строки, а внутри квадрата. Девочку зто озадачило. Я снова увеличил квадрат. Теперь крайним справа оказался шар № 16. Потом № 25. Потом № 36…
И тут стало ясно, что квадратные числа расположены не в конце каждой строки, как в треугольнике, а наискосок, по диагонали. И это 1, 4, 9, 16, 25, 36 и т. д. Легко понять, что каждое следующее квадратное число есть сумма предыдущего и очередного нечётного числа натурального ряда: 4 (1+3), 9(4+5); 16(9+7), 25(16+ 9), 36(25+11) и т. д.
Любопытно, что каждое следующее квадратное число есть квадрат порядкового числа натурального ряда: 4=22; 9=32; 16=42; 25 = 52; 36=62 и т. д. И всякий раз основание степени указывает, из скольких строк построен квадрат. В первом 1 шар и 1 строка, во втором 4 шара и 2 строки, в третьем 9 шаров и 3 строки… Ну и так далее…
— Занятная игра, — вздохнула девочка, — но какая от неё польза?
— Такая же, как и от любой другой, — сказал я, пожав плечами. — Прежде всего, игра доставляет удовольствие. Но в то же время и тренирует наш мозг, нашу логику. А уж математические игры в особенности! Они приучают нас подмечать числовые зависимости, а это иногда ведёт к нешуточным последствиям. Такая сложная отрасль математики, как теория вероятностей, началась именно с игры, с желания угадать вероятность успеха. Что же до фигурных чисел, так ими увлекались ещё в древности. И это тоже привело к интересным открытиям. К примеру, древнегреческий математик Диофант установил, что если любое треугольное число умножить на 8, а потом прибавить к произведению единицу, то при этом обязательно получится число квадратное.
Конечно, девочка захотела это проверить. Она умножила треугольное число 3 на 8, получила 24, прибавила единицу и… получила квадратное число 25.
Я рассказал, что фигурными числами занимался ещё и Ферма. И он установил, что любое натуральное число можно представить суммой либо двух, либо трёх треугольных. Это легко проверить на тех треугольных числах, которые мы знаем: 1, 3, 6, 10 15, 21, 28, 36.
Возьмём натуральное число 17. Его можно представить суммой семнадцати единиц. Но это будет наибольшее число треугольных слагаемых. А Ферма имел в виду наименьшее. Ясно, что на сей раз это 15+1+1. Или: 10+6+1. На меньшее число треугольных слагаемых 17 не раскладывается. А вот число 20 может быть представлено в виде суммы двух треугольных чисел: 10+10…
— Посмотрите, — перебила меня девочка, — наш дорогой Главный терятель выложил шарики горкой!
— Лучше бы сказать, — пирамидкой, — уточнил тот. — Я получил её, положив в основание треугольник, состоящий из трёх шаров под номерами 1, 2, 3, а номер 4 положил сверху. И получил первые пирамидальные числа 1 и 4…
— Ничего подобного, — сказала девочка, — число 4 квадратное.
— Как видишь, не только квадратное, — возразил я. — Следующее по порядку пирамидальное число 10 в то же время и треугольное. Его мы получим, построив пирамиду с треугольным основанием из трёх строк и шести шаров под номерами с первого по шестой (№ 1–6). На этот треугольник нарастим меньший — из двух строк и трех шаров (№ 7, 8, 9). Сверху положим шар № 10. А зто и есть следующее после четырёх пирамидальное число. Новое пирамидальное число — 20 — получим, построив пирамиду с треугольным основанием из четырёх строк и десяти шаров под номерами с первого по десятый (№ 1-10), на вершине которой окажется шар № 20. Таким образом…
— Таким образом, всякий раз очередное пирамидальное число находится на вершине пирамиды, — подхватила девочка и, подумав, добавила: — А еще фигурные числа неразлучны с геометрией.
Что и говорить, это она правильно подметила! Хотя в дружбе своей с геометрией фигурные числа не одиноки.
Недавно я бездумно чертил на бумаге разные геометрические фигуры и вдруг заметил, что многие из них связаны с совершенными числами. Например, квадрат. У него 4 стороны и 2 диагонали. В сумме это равно шести. А 6 — число совершенное. Или восьмиугольник. У него 8 сторон и 20 диагоналей. В сумме это 28. А 28 опять-таки число совершенное.
Или куб. Это уже шестигранник, фигура объёмная. У него 13 рёбер, по 2 диагонали на каждой грани, да ещё 4 диагонали внутри куба. Всё это в сумме опять-таки составляет совершенное число 28 (12+2х6+4=28).
Я рассмотрел много фигур, плоскостных и объёмных, и мне удалось понять, в каких случаях число их сторон или рёбер вместе с числом диагоналей даёт число совершенное… У меня об этом даже статья напечатана… В журнале «Энэмские математические новости»…
— Тысяча извинений! — перебил мой рассказ Главный терятель. — Очень жаль прерывать вас на таком интересном месте, но что поделаешь! Боюсь позабыть то, что вспомнил…
— Неуж<