Эмилия Борисовна Александрова,
Владимир Артурович Левшин
Стол находок утерянных чисел
Книга о свойствах чисел и их закономерностях. Действие происходит в сказочном математическом городе, где в столе находок разыскивают числа по их приметам. Жители города Энэмска знают — числа живут особенной жизнью и дружба с ними сулит приятные неожиданности и нечаянные открытия. Разумеется тем, кто знает их законы.
Многие, наверное, читали книги Левшина В. и Александровой Э. «Путешествие по Карликании и Аль-Джебре», «Фрегат капитана Единицы», «Магистр Рассеянных Наук» и другие, которые привили любовь к математике не одному человеку. Это еще одна из книг этих авторов.
БУДЕМ ЗНАКОМЫ
Что вы знаете об Энэмске? Ничего? Так я и думал. Жаль, город замечательный. Я бы даже сказал, удивительный. Чем? А прежде всего тем, что шпиль городской ратуши, самая его вершина, находится над точкой пересечения энского меридиана и эмской параллели. Тютелька в тютельку. Отсюда и название города: Энэмск. Ничего удивительного, скажете вы. Любая точка земной поверхности находится на пересечении КАКОГО-НИБУДЬ меридиана и КАКОЙ-НИБУДЬ параллели. Но в том-то и дело, что наш город расположен на пересечении не КАКИХ-НИБУДЬ, а именно ЭНСКОГО меридиана и ЭМСКОЙ параллели. А это что-нибудь да значит!
Как нас найти? Обыкновенно. Отложите на карте эн градусов западной долготы и эм градусов южной широты — и все дела! Правда, на карте в этом месте бушует Великий Шумный океан. Но не смущайтесь! Просто Энэмск — город воображаемый. И от этого он ничуть не хуже настоящего. А может, и получше. Просторный, весёлый, благоустроенный. А главное, с удивительно милыми жителями.
Энэмчане отличаются природным вкусом и врождённой доброжелательностью. В Энэмске никто друг другу не завидует. А если и позавидует, так тут же устыдится и сам у себя попросит прощения. Не верите? Так приезжайте и убедитесь лично! Кстати, к приезжим у нас особенно внимательны. Так что приезжайте, не пожалеете.
Здесь вас не толкнут, не наступят на ногу, не назовут ни сапогом, ни шляпой, ни чайником. Здесь вы не разоритесь (в Энэмске всё задаром!), не заскучаете и уж, во всяком случае, не заблудитесь: энэмчане обожают показывать дорогу. Их хлебом не корми — дай что-нибудь объяснить, растолковать, а то и куда-нибудь проводить. Любой из них не задумается бросить все дела только для того, чтобы показать вам лучший в городе магазин значков, или побродить с вами по энэмскому зоопарку, или провести наикратчайшим путём с Пропорциональной улицы на Дробную…
В нашем городе очень любят математику, и оттого здесь много улиц с математическими названиями: Пропорциональная, Дробная, Степенная… Нет, нет, не Степе́нная, а Степенна́я — от слова «степень». Что такое степень, вы, надеюсь, знаете? На всякий случай объясню.
Возьмём любое число и помножим его само на себя сколько угодно раз. Это и значит — возвести в степень. К примеру, 3. Помножим его, допустим, на 3. Получим 9. Вот мы и возвели тройку во вторую степень, или, как говорят математики, в квадрат, и получили число 9 (3 2 = 9). Чтобы получить снова тройку, надо извлечь корень квадратный из девяти. Для этого пишем знак извлечения
(он называется радикалом), ставим над ним показатель корня (в данном случае это 2, то есть корень квадратный, а его в виде исключения условились не писать) и снова получим тройку:
Третья степень называется кубом, и если мы возведём в куб ту же тройку, то получим число 27 (З3 = 3x3x3 = 27). Десятая степень числа 3 записывается уже так: З10, и равна она… Впрочем, чему она равна, мне вычислять недосуг, так что попробуйте сами…
Но я отвлёкся и совсем забыл об Энэмске. Энэмчане — удивительный народ. Они почти не нарушают правил! Особенно дети. Ни один энэмекий ребёнок не перейдёт улицы на красный свет. Только на зелёный! Уверяю вас. А там, где светофора нет, движением управляет регулировщик. Орудовец. Но орудует он не свистком и палочкой, а флейтой: свиста энэмчане не переносят. Так что если регулировщику всё же понадобится остановить лихо мчащуюся машину, он извлекает из своей флейты нежнейшие мелодии. Когда нарушитель мужчина, звучит популярная русская песня «Ямщик, не гони лошадей». Для женщин припасена другая: «Ты постой, постой, красавица моя». А когда надо остановить зарвавшегося пешехода, флейта наигрывает траурный марш Шопена.
Многое мог бы я рассказать про наш город, если бы не боялся утомить вас. Но об одном умолчать не в силах. Я имею в виду самое замечательное учреждение Энэмска — Стол находок утерянных чисел. Не удивляйтесь: числа в Энэмске теряют и забывают на каждом шагу — так же, как и в любом другом городе. Вся штука в том, что у нас их находят. И я счастлив, что заведовать Столом находок доверили не кому-нибудь, а мне. Потому что числа для меня — всё!
Заниматься любимым делом — что может быть лучше! Один посвящает себя музыке, другой — живописи, третий — радиотехнике. Моя жизнь принадлежит числам. А числа принадлежат мне. И стало быть, я человек богатый: ведь числам нет числа! Кто же этого не знает? И всё-таки все они умещаются в моей картотеке. Да не навалом, а в строгом порядке. По разделам. Точнее сказать — по разным свойствам.
Да, числа, как и люди, обладают разными свойствами. Только у людей одни свойства, а у чисел — другие. Люди, например, бывают красивые и не очень красивые. О числах этого не скажешь. Каждое число красиво по-своему. Иногда до того красиво, что им можно любоваться, как произведением искусства.
Вот почему больше всего мне нравится утро, когда терятелей… виноват, посетителей в Столе находок ещё нет, когда я остаюсь один на один со своими числовыми сокровищами и могу любоваться ими без помех. Правда, с некоторых пор я это делаю не один, а в дружеской компании.
Однажды, только я пришёл на работу и принялся было за осмотр своего числового хозяйства, как в дверь дважды постучали и на пороге появилась девочка лет десяти-одиннадцати, с виду очень взволнованная: клетчатый берет с пуговкой сбился на сторону, красное пальтецо распахнуто, сумка на длинном ремешке волочится по полу…
— Здравствуйте, — сказала она прерывающимся голосом, — это Стол находок?
— Бесспорно, — шутливо поклонился я, желая её ободрить, — и я здесь вроде бы за главного!
— Главный находитель, значит, — деловито заключила она и вдруг отчаянно заревела.
Неожиданный титул рассмешил меня, неожиданные слёзы — растрогали. Ведь я был уверен, что причина их — какое-нибудь утерянное число. Оказалось, однако, что девочка потеряла не число, а щенка. И тут уже я не только растрогался, но и расстроился, оттого что помочь ей не мог решительно ничем.
Пришлось объяснить, что щенков у нас, к сожалению, не разыскивают и что это Стол находок утерянных чисел. Тут она перестала плакать и посмотрела на меня круглыми от изумления глазами.
— Стол находок чего?
— Утерянных чисел, — повторил я.
— Смешно! — фыркнула она. — Как же вы их находите? У щенков хоть приметы есть. Порода, цвет, ушки, хвостики… А у чисел?
— Ни ушек, ни хвостиков, — согласился я. — А примет — сколько угодно.
Тут-то мы и подружились. Я оседлал своего любимого конька и произнёс пламенную речь о числах, об их разновидностях, об их замечательных свойствах и признаках. И никогда ещё меня не слушали так заинтересованно и внимательно!
Пока девочка знакомилась с числами разного характера, сам я знакомился с её собственным характером, довольно-таки своенравным, а порой и ехидным. Во-первых, она то и дело говорит «Смешно!», даже когда ничего смешного за километр не видно. Во-вторых, ей нравится всё переиначивать. Когда я рассказывал о натуральных числах, она тут же придумала какие-то ненатуральные. А когда речь зашла о простых, решительно заявила, что таких чисел вообще не бывает, потому что математика, видите ли, дело сложное.
Что математика дело сложное, я и сам знаю. И всё-таки простых чисел пруд пруди, а точнее говоря — бесконечное множество. Это ещё старик Эвкли́д доказал, в Древней Греции. Услыхав про Эвклида, девочка призадумалась, потом сказала «Смешно!» и пожелала узнать, что я называю простыми числами. Тогда я стал объяснять, что эти числа делятся без остатка только на самих себя и на единицу. Вот, например, 2, 3, 5, 7, 11, 13…
Так я мог бы перечислять до бесконечности, но вдруг в комнате кто-то отчётливо тявкнул: «Тяв-тяв!» Неужто девочка вздумала надо мной посмеяться? В таком случае, это очень и очень невежливо. Я уж собирался на неё рассердиться, но тут она бросилась к своей сумке и вытащила оттуда что-то маленькое, чёрное, мохнатое и до того прелестное, что я расплылся в улыбке от удовольствия.
— Щенок! Щенок! — кричала девочка, прыгая от радости. — Оказывается, он ко мне в сумку залез! Вот видите, вы и щенков находите, да ещё таких замечательных… Знаете, он даже умеет считать!
Как бы в подтверждение её слов, щенок опять дважды тявкнул… И с тех пор они приходят ко мне почти ежедневно, Пуся и его хозяйка. Разумеется, у неё тоже есть имя, но для меня она — Девочка со щенком. Самая симпатичная девочка с самым симпатичным щенком во всём Энэмске. А то и в целом свете!
КАК ЭТО НАЧАЛОСЬ
В тот день с утра зарядил дождь. Да, представьте себе, в воображаемом Энэмске бывают ничуть не воображаемые дожди. Уверяю вас!
Вообще то я против дождя ничего не имею. Дождь — это даже приятно. Особенно — если над тобой не каплет, если сидишь в уютной комнате у электрического камина и читаешь увлекательную приключенческую повесть.
На сей раз в руках у меня тоже была приключенческая повесть, но читал я её крайне невнимательно, то и дело поглядывал на заплаканные окна и с огорчением думал, что по случаю ненастья ни девочки, ни щенка не увижу. Я ещё не знал, что жизнь уготовила мне приключение поинтереснее напечатанного и что сам я тоже напишу о нём повесть — ту, что лежит перед вами. Впрочем, жизнь всегда интереснее вымысла. И надеюсь, скоро вы в этом убедитесь.
Итак, я держал в руках книгу, и не читал её, и скучал по девочке со щенком, и думал, что сегодня они не придут. И вдруг — о радость! — послышалось знакомое «тук-тук» (девочка всегда стучала дважды, не иначе как из солидарности со щенком, который всегда дважды тявкал), и в комнате появились они, отсыревшие, но весёлые, как весенние зяблики. Если только собака из породы скоч-терьеров может походить на зяблика.
Грусти моей как не бывало! Я вскочил, я отшвырнул книгу, я усадил дорогих гостей в самое моё лучшее кресло у камина и снял с девочки башмаки, чтобы она могла просушить свои маленькие ножки. И все мы, несмотря на разницу в возрасте, дурачились и хохотали вовсю. Я говорю «все», потому что Пуся хоть и щенок, а тоже умеет хохотать. Уверяю вас! А уж дурачится он так, что ему ни один человек в подмётки не годится.
Потом я включил кофеварку, но тут девочка вздохнула, посмотрела на меня очень серьёзными глазами и сказала:
— Смешно!
Я оглядел комнату, тщетно пытаясь обнаружить хоть что-нибудь смешное, и сказал, что ничего не понимаю.
— Сейчас поймёте, — пообещала девочка.
И тут она рассказала вот что. В доме у неё живёт один чудак. Он очень забывчивый и вечно чтонибудь теряет. Поэтому она окрестила его Главным терятелем. Так вот, не далее чем вчера у него пропал лотерейный билет.
— Смешно! — в свою очередь сказал я. — У человека пропажа. Чему же тут радоваться?
— А тому, что вы эту пропажу найдёте, — пояснила девочка.
Я поблагодарил её за доверие и напомнил, что пропавших билетов не разыскиваю. Но она заявила, что этого и не требуется. Моё дело — восстановить номер билета, а уж по этому номеру и самый билет восстановят.
— Это, конечно, меняет дело, — сказал я, поразмыслив. — Номер — то же число. А розыск чисел — моё призвание.
— Вот и прекрасно! — обрадовалась девочка. — Значит, вы согласны с ним познакомиться?
Я отвечал, что, разумеется, согласен, но когда? Сегодня, пожалуй, не выйдет, завтра — суббота, послезавтра — воскресенье, дни нерабочие. Разве что в понедельник…
— Смешно! — возмущённо фыркнула девочка. — Неужели вы хотите, чтобы он ждал вас под дождём трое суток?
На сей раз это было действительно смешно, и я расхохотался.
Так вот в чём дело! Зная мою покладистость, плутовка привела своего Главного терятеля без всякого разрешения, и, конечно же, не ошиблась. Не такой я человек, чтобы заставить кого-нибудь мокнуть под дождём, да ещё так долго!
Я подошел к двери, распахнул её как можно шире и гостеприимно сказал:
— Прошу!
Мне никто не ответил. Тогда я выглянул на улицу и увидал странную картину: на металлической тумбе под огромным дождевым зонтом сидел маленький всклокоченный человек и что-то писал пальцем на мокром тротуаре.
— Уважаемый Главный терятель! — крикнул я ему с крыльца. — Судя по всему, вы потеряли свою ручку, а заодно и блокнот. Не хотите ли воспользоваться моими?
— Ни в коем случае, — живо отозвался он, — не то я и ваши потеряю.
— Так не зайдёте ли на чашку кофе? — предложил я.
С удовольствием, — согласился он, — вот только вспомню, по какому поводу я сюда пришёл…
— Может быть, по поводу пропавшего билета? — деликатно намекнул я.
— Ну конечно! — закричал он, вскакивая, и лицо его просияло. — Как вы угадали?
Вместо ответа я привёл его в мой кабинет, усадил к огню, налил кофе, и вскоре он уже рассказывал обстоятельства дела.
РАЗВЛЕЧЕНИЯ КОРНЕЙ
— Начну издалека, — сказал он. — Числа я полюбил рано, чуть не с пелёнок, но, увы, слишком поздно понял, что это занятие не для меня. Как сказал Печорин, «…но я не создан для блаженства»…
— Минуточку, — остановил я его, — так дело не пойдёт. Печорин — герой повести Лермонтова, вы же привели слова Евгения Онегина из одноимённой поэмы Александра Сергеевича Пушкина.
— Вот видите, — огорчился он, — я даже этого не могу. Единственное, чего я не забываю и не путаю, так это моих собственных стихов, И то, когда пою их под гитару…
— Какое совпадение! — воскликнула девочка, — Как говорят на телевидении: «У нас в студии совершенно случайно оказалась гитара. Не хотите ли спеть?»
И не успел я оглянуться, как она уже сняла со стены мою семиструнку и с дурашливым реверансом поднесла забывчивому посетителю. Глаза его засветились нежностью, он осторожно прошёлся по струнам, подкрутил колки и запел приятным тенорком:
Всю жизнь над числами корплю,
Но без благих последствий.
Я их без памяти люблю,
И в том причина бедствий.
Увы, увы,
Лишь в том причина бедствий.
Возьмусь задачку я решать.
Тружусь, а толку мало:
Конца ещё и не видать,
А я забыл начало!
Беда, беда,
Уже забыл начало!
Зайти по делу как-то раз
Мне в пять часов велели.
Явился и в условный час,
Но… через две недели.
Кошмар! Кошмар!
Лишь через две недели!
Микстуру — память укреплять —
Дал доктор мне недавно,
Но забываю принимать
Лекарства я исправно.
И смех, и грех!
Не пью лекарств исправно…
И всё же чем-то мне мила
Беспамятность такая,
Затем, что ни обид, ни зла
Я не запоминаю.
Да-да, да-да,
Обид не вспоминаю.
Но свято помню об одном —
Что непременно нужно
За доброту платить добром,
За дружбу — верной дружбой.
Всегда, всегда
Платить за дружбу дружбой!
— Очень, очень мило, — сказал я, когда замер последний аккорд, — но так мы никогда не доберёмся до сути…
— Сейчас! Сейчас всё будет в полном порядке! — засуетился Главный терятель. — Видите ли, недавно в соседнем книжном магазине объявили лотерею, и в списке выигрышей я обнаружил книгу, о которой мечтаю с самого детства…
— Вот здорово! — оживилась девочка. — И что же это за книга?
— В самом деле, что же это за книга? — растерянно пробормотал Главный терятель. — А, вспомнил! Она называется «Развлечения корней из целых чисел».
— Смешно! — удивилась девочка. — Вы хотели сказать, извлечения корней…
— Ни в коем случае! — запротестовал тот. — Извлекаются корни долго и скучно, зато развлекаются быстро и весело. Вот, например, чтобы извлечь корень квадратный из числа 81, надо-таки подумать. Другое дело развлечение при извлечении. Для этого достаточно сложить цифры подкоренного числа 81. Не верите? Так запишите и проверьте: 8+1 = 9. А 9 — это и есть корень квадратный из восьмидесяти одного.
— Гм… Что-то тут не так, — усомнилась девочка.
— Конечно, не так, — засмеялся он. — Но ответ-то правильный! Или ещё: надо извлечь корень кубический из числа 512. Снова складываем цифры подкоренного числа: 5+1+2. Что получаем? 8. Но ведь это же и есть корень кубический из пятисот двенадцати!
— Забавный фокус, — сказал я, невольно втягиваясь в игру. — Но вот корень квадратный из числа 121 таким способом уже не извлечёшь. 1+2+1 это 4, а корень квадратный из 121 равен одиннадцати.
— Не спорю, — засмеялся он, — но… зачем же вечно показывать один и тот же фокус? Можно и другой. Первые две цифры числа 121 образуют число 12. Вычтем из двенадцати третью цифру — 1 и получим…
— Одиннадцать! — выпалила девочка в полном восторге. — Смешно, смешно, смешно!
— Не то слово, — возразил Главный терятель. — Восхитительно! Не зря я мечтаю об этой книге, не зря приобрёл билет лотереи…
Я осторожно поинтересовался, почему он думает, что выиграет именно эту книгу? Но, по его словам, иначе и быть не может. Уж раз он что задумал, так оно непременно сбудется…
— В том случае, если мы восстановим номер билета, — напомнил я, — но этого никогда не случится, пока вы наконец не расскажете, при каких обстоятельствах билет потеряли…
— При самых таинственных, — отвечал он, заговорщицки понизив голос. — Сперва он был, а потом его не стало.
— И это всё? — изумился я.
— Всё. Впрочем, нет. Не следует забывать, что пропал ещё и номер. И это несмотря на то, что я изучал его целых два дня.
Последнее замечание настроило меня на лирический лад. Дело в том, что я постоянно мудрю с числами. Изучаю номера телефонов, встречных машин, сберкасс и произвожу с ними всевозможные манипуляции. Перемножаю цифры, складываю и всегда подмечаю забавные закономерности. Похоже, Главный терятель был тоже не чужд этому увлечению, и мы с ним добрых полчаса проболтали о своих находках. Пртом мне пришло в голову, что человек, два дня изучавший номер билета, должен бы запомнить хоть какие-то его приметы, но надежда моя тотчас лопнула. Если Главный терятель и запомнил, так только то, что номер был записан цифрами.
Я уж собирался объявить дело безнадёжным, но вовремя сообразил, что забытое число можно восстановить с помощью ассоциаций. Этот надёжный приём не раз выручал меня как раз в таких затруднительных случаях.
Разумеется, речь не об ассоциации футболистов или шахматистов. Я имею в виду чудесное свойство нашего ума. Допустим, вы должны были купить молока и… забыли. Но тут начинает мяукать ваш голодный котёнок, и вы сразу вспоминаете про молоко. По ассоциации.
Да, ассоциации — это прекрасно! Подобно Главному терятелю, я тоже сочинил про них песенку и не преминул её спеть, благо она оказалась кстати. Правда, голоса у меня — никакого, но в наши дни это никому не помеха. Ведь теперь песни не поют, а нашёптывают. Поэтому я взял гитару и бодро зашептал:
Всё забывать мы мастаки
И всё терять горазды:
Тетрадки, кепки, гребешки.
Закладки, скрепки, ремешки,
Очки, платки, и кошельки,
И уйму чисел разных.
Но что б ни потеряли вы,
Надежде цену знайте,
И уж, конечно, головы,
Само собою, головы.
Ни в коем разе головы
При этом не теряйте.
Открыть мне удалось закон
(Прошу не сомневаться!):
Найти вам всё поможет он,
Вернуть вам всё поможет он,
Припомнить всё поможет он,
Закон ассоциаций!
— Значит, так, — сказал я без всякой паузы, как только песня была дошёптана, — что мы имеем на сегодняшний день? С одной стороны, мы имеем потерянное число и никакой надежды его восстановить, поскольку пострадавший не помнит ни одной его приметы, а без примет — какой розыск? С другой стороны, у нас есть мощное «вспоминательное» устройство, именуемое «ассоциациями», которое, однако, выражаясь научно, нуждается в энергичных поощрительных мерах. В переводе на общечеловеческий язык это означает вот что: под лежачий камень вода не течёт. Ассоциации капризны. Они приходят не тогда, когда их ждут, а когда им самим вздумается. Стало быть, надо их дразнить, будоражить, теребить — словом, всячески приваживать. Как вы думаете, что отсюда следует?
— Отсюда следует, что мы немедленно отправляемся гулять, — перебила меня девочка.
Вот чего я не ждал! Гулять? Да ещё в такую погоду?
Но тут оказалось, что дождь давно перестал. Что за окном сияет яркое солнце. И листва на деревьях такая свежая, такая сочная, что съесть её хочется. И тротуары до того промыты, что хоть босиком по ним шлёпай…
Словом, всё шло к тому, что мы отправляемся на охоту за ассоциациями, иными словами, начинаем увлекательную игру. Хотя по правилам этой игры нам всё же кое-чего не хватало. Одной небольшой, но важной детали. Одной маленькой точки. И точку эту поставила девочка.
— Леди и джентльмены, — сказала она торжественно, обращаясь, как видно, не только к нам, но и к себе самой, — нам выпала честь найти важное утерянное число и стать участниками сыскной операции. Для этого у нас есть всё. Главный пострадавший, именуемый также Главным терятелем. Главный сыщик — он же Главный находитель. Главная ищейка по прозвищу Пуся. И наконец, Главный секретарь, который обязуется записывать по дороге всё, достойное внимания.
Тут она извлекла из сумки блокнот с шариковой ручкой, подняла его, как для присяги, и поклялась честно и бесстрашно выполнять свой сыскной долг. Мы с Главным терятелем последовали её примеру. Пуся выдал напоследок сдвоенное «тяв-тяв». И новоявленная сыскная группа ринулась на свою числоразыскательную операцию.
ЧАШКА ЧАЯ, ДЕСЯТЬ ФИШЕК
Мы вышли из Стола находок и остановились в нерешительности. Куда идти? Если бы речь шла о пропавшем слоне, всё было бы ясно. На слоновьи ассоциации следует охотиться в Африке. Или в Индии. Или, на худой конец, в местном зоопарке. Другое дело — ассоциации числовые. Они могут возникнуть где угодно, по той простой причине, что числа — всюду.
Вот улица. У неё две стороны. На обеих — дома. Все они пронумерованы. На одной стороне — номера чётные, на другой — нечётные. И что это, если не числа? Или другой пример: дом. Стар он или нов, мал или велик, низок или высок — в любом случае у него есть окна, двери, лестницы, ступеньки и, уж конечно, не меньше одного этажа. Всё это опять-таки легко пересчитать.
То же самое можно сказать о любом без исключения предмете. Или растении. Или живом существе. Даже таком крохотном, как Пуся, у которого есть короткие лапы, хвост, чудесные уши с кисточками, мокрый холодный нос, любопытные пуговки-глаза, свежий розовый язык, острые белые зубки и, наконец, чёрная лохматая шёрстка, состоящая из шелковистых волосков. Сосчитать их, правда, вряд ли удастся — разве что электронно-вычислительной машиной…
Да, прав был великий математик Лобачевский! Поистине, нет ничего на свете, чего нельзя было бы выразить числами. И раз числовые ассоциации могут возникнуть всюду, почему бы нам не отправиться в парк? По крайней мере, совместим приятное с полезным… Но в том то и дело, что парка в Энэмске нет. Почему? Да потому, что весь он от начала до конца — чудесный громадный парк.
Сами понимаете, что выбор маршрута в таких условиях — дело нелёгкое, и мы тотчас заспорили. Положение сложилось почти такое, как в известной басне Ивана Андреевича Крылова, где лебедь рвётся в облака, рак пятится назад, а щука тянет в воду. С той разницей, что в нашей компании был и щенок. Он-то и решил исход дела! Солнце, зелень, промытый дождём воздух — всё это привело его в восторг, и, не обращая на нас ни малейшего внимания, он помчался вперёд, оглашая улицу радостным тявканьем. Мы, естественно, помчались за ним и вскоре очутились у небольшого уютного павильона с заманчивой вывеской: «Чашка чая, десять фишек».
Тут Пуся остановился как вкопанный, а девочка, наоборот, нетерпеливо заплясала на месте и заявила, что ей страсть как хочется чаю с печеньем. Пришлось объяснить, что фишки — не печенье, а жетончики с цифрами и что в павильоне, но-видимому, играют в какую-то числовую игру.
— Вот и прекрасно, — обрадовалась она. — Мы с Пусей будем пить чай, вы (это она мне!) — играть в числовую игру, а Главный терятель — подстерегать ассоциации.
— Благодарю вас, — иронически расшаркался Главный терятель, — очень, очень вам признателен.
Как я и предполагал, в павильоне действительно играли в числовую игру, и даже не в одну, а во многие. Хотя все они, так или иначе, были связаны с девятью цифрами десятичной системы счисления — той самой, которой мы с вами пользуемся. Но не ошиблась и девочка, когда думала, что фишки — это печенье. Здешние фишки и впрямь выпекают в кондитерской. Все они круглые, ароматные, румяные, только вместо рисунка на них цифры. По одной на каждой. Раздают их при входе в целлофановых пакетиках. В каждом пакетике набор из десяти сдобных кругляшек с цифрами от нуля до девятки включительно. Получив такой набор, посетитель занимает место у большого стола и раскладывает свои фишки на чистой бумажной салфетке.
Вы, конечно, хотите знать, где же обещанный чай? Не торопитесь. Чай подадут позже, когда игра окончится. И по-моему, это очень предусмотрительно. Ведь если чай принести сразу, все тут же позабудут об игре и через минуту от фишек ничего не останется. Потому что фишки с чаем — это вам не фишки всухомятку! Да и чай после задачи — это не чай до задачи. Сознание честно выполненного долга делает его вдвое… нет, втрое вкуснее.
Я не обмолвился, назвав игру задачей. Здешние игры ничем от задач не отличаются. Нам, в частности, предложили вычислить, сколько натуральных чисел можно составить из десяти фишек. Задача полезная, и я предложил заняться ею сообща.
Прежде чем приступить к решению, мне захотелось проверить, хорошо ли усвоила девочка наши утренние беседы в Столе находок, и я спросил, что ей известно о натуральных числах.
— Натуральные числа — это печенье! — выпалила она.
На первый взгляд, ответ несуразный. Но на самом дело он недалёк от истины.
Натуральные числа — самые древние на земле. Они появились тогда, когда людям понадобилось сосчитать созданное натурой, то есть природой: коз, овец. Звериные шкуры. Плоды. Деревья. То, чем питались, прикрывали наготу, обогревались в стужу, торговали. Вернее, менялись. Потому что в те далёкие времена денег ещё не было. И с этой точки зрения печенье, да ещё перенумерованное, несомненно, относится к натуральным числам. Хотя вообще-то название это условно. Потому что числа обладают одной удивительной способностью.
Как правило, они появляются на свет, когда мы пересчитываем вполне определённые, или, как говорят, конкретные предметы, но потом от этих предметов отделяются, а лучше сказать — отвлекаются, и продолжают жить отвлечённой, совершенно самостоятельной жизнью. При этом происходят вещи необычайные, поразительные и для нас с вами далеко не безразличные. Числа помогают нам познавать мир. Благодаря им учёные обнаруживают доселе незримые планеты, открывают неизвестные законы, создают сложнейшие машины. Словом, отвлечённые числа сильнейшим образом влияют на конкретную действительность… Впрочем, об этом я девочке ещё не рассказывал. Почему? Да потому, что всему своё время. Так что вернёмся лучше к нашей задаче.
Первым её решил Главный терятель, хотя и неверно. Он рассуждал так: какое самое большое натуральное число можно составить из десяти цифр? Ясно, что десятизначное. А наибольшее десятизначное число равно десяти миллиардам без единицы: 9 999 999 999. Это-то и есть число всех натуральных чисел до десятизначных включительно.
К сожалению, Главный терятель не понял задачи. Ведь речь в ней вовсе не обо всех натуральных числах до десятизначных включительно, а лишь о тех, которые можно составить из десяти фишек! Не говорю уже о том, что среди этих десяти фишек всего одна девятка, а в его числе — десять…
— Вот что значит — начать не с того бока, — укоризненно вздохнул я.
— А мы начнём с того, — сказала девочка. — Как вы думаете, сколько однозначных натуральных чисел можно получить из десяти фишек?
— Смешно! — пожал плечами Главный терятель, который успел уже перенять любимое девочкино словечко. — Где десять однозначных фишек, там и десять однозначных чисел.
И тут под столом громко затявкал Пуся.
— Что это с ним? — забеспокоился Главный терятель. — По-моему, он кашляет.
— А по-моему, смеётся, — возразил я. — Наверное, заметил, что вы опять ошиблись. К вашему сведению: нуль к натуральным числам не относится. А потому однозначных натуральных чисел девять.
— Я же говорила, что Пуся — необыкновенная собака, — сказала девочка с гордостью. — Это она привела нас к истине.
— На то она и Главная ищейка! — заключил я и предложил записать наше первое достижение на бумажных салфетках.
Следующий вопрос, естественно, касался двузначных чисел, и Пусе пришлось опять хохотать, потому что Главный терятель повторил свою первую ошибку. Он рассуждал так: самое большое двузначное число — 99. Но в него входят 9 однозначных. Значит, всего двузначных 90. К сожалению, он не учёл, что среди этих девяноста имеется девять чисел с одинаковыми цифрами: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. А по условию, цифры в числе могут быть только разные. И стало быть, двузначных натуральных чисел только восемьдесят одно.
Главного терятеля это озадачило.
— Позвольте, позвольте, — запальчиво сказал он, — когда я приобщил к натуральным числам нуль, мне заявили, что он к таковым не относится. Но ведь и среди двузначных натуральных есть девять чисел с нулём: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Выходит, их тоже надо вычесть.
Я думал, что теперь хохотать будет не только Пуся, но и девочка. Но, против ожидания, она жалостливо вздохнула.
— Бедный! — сказала она, сочувственно глядя на Главного терятеля. — Неужели вы забыли, какая разница между числами и цифрами? Когда речь шла об однозначных числах, вы имели в виду нуль как число. Теперь мы перешли к двузначным, и в этом случае нуль уже не число, а цифра, означающая, что в разряде пусто…
Нет, до чего милая девочка! Недаром я к ней привязался. Не только весёлая, не только смышлёная, но и добрая. А доброта — великая сила. За примером недалеко ходить. Дружеское сочувствие подействовало на Главного терятеля самым благотворным образом, и он совершенно неожиданно для нас. а также для себя самого выдал весьма дельное замечании.
— Смотрите-ка, — сказал он, — натуральных двузначных чисел — восемьдесят одно. Но что такое 81? Это же 9, умноженное на 9…
— Очень кстати замечено, — похвалил я.
— Почему кстати? — поинтересовалась девочка.
— Сейчас поймёшь. Ведь мы как раз переходим к трёхзначным числам… А это вам не двузначные.
— Уж конечно, — поддакнул Главный терятель. — Во-нервых, их гораздо больше.
А во-вторых? — поинтересовался я. — Не знаете? Во-вторых, среди двузначных чисел попадаются такие, что состоят из двух одинаковых цифр. А среди трёхзначных сверх того есть ещё и такие, что состоят из трёх одинаковых. В числе 552 — две одинаковые цифры, а в числе 555 — три. Так что…
— Так что считать нам не пересчитать, — подхватила девочка.
— Но угадала, засмеялся я. — Так что необходимо найти правило, которое поможет нам и не считать и не пересчитывать. И для этого вернёмся немного обратно. Сколько у нас однозначных чисел? Девять. Теперь подумаем, как из количества однозначных чисел получить количество двузначных? Очевидно, для этого придётся к каждому однозначному числу последовательно приставлять по одной из оставшихся фишек. Начнём с единицы. Сперва приставим к ней 0…
— Затем — единицу, — подсказал Главный терятель.
При этих словах Пуся опять засмеялся, а девочка сказала, что единицы у нас уже нет: ведь к ней-то мы и приставляем оставшиеся фишки и получаем при этом вот что: 10, 12, 13, 14, 15. 16, 17, 18, 19.
— Вот вам и все двузначные числа, начинающиеся с единицы, — подытожил я. — Нетрудно заметить, что их девять. Далее то же проделываем с однозначным числом 2 и получаем ещё девять двузначных чисел: 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29…
— Как интересно! — загорелась девочка. — Теперь то же самое проделаем с числом 3, потом с числом 4…
— Но зачем? — возразил я, — Ведь мы уже заметили, что из каждого однозначного числа получается девять двузначных. И так как всего однозначных чисел 9, нам остаётся лишь помножить 9 на 9. Вот почему так кстати оказалось замечание нашего дорогого Главного терятеля. Ведь именно он подметил, что 81 — это 9, умноженное на 9…
Главный терятель вспыхнул от удовольствия и немедленно сделал ещё один шаг по пути прогресса. Он вдруг понял, как тем же способом узнать число трёхзначных чисел. Для этого, по его мнению, число двузначных следует помножить на восемь. Почему? Да потому, что на каждое двузначное число из десяти фишек пошло две. Стало быть, свободными остались восемь. Таким образом, число трёхзначных можно представить так: 9x9x8.
Мы уже хотели двинуться дальше, но тут девочка вспомнила о своих секретарских обязанностях и пожелала занести наши достижения в блокнот. Для удобства она записала их столбиком:
Однозначные — 9
Двузначные — 9 X 9
Трёхзначные — 9 X 9 X 8
После этого она вдруг задумалась, потом вскочила, завертелась на одной ножке и завопила на весь павильон:
— Ура! Задача решена! Сейчас нам дадут чаю!
— Спокойно, спокойно, — уговаривал я, — ты же ещё ничего не объяснила…
Но она возразила, что тут и объяснять нечего. И так ясно, что чем больше значность, тем меньше число оставшихся фишек. Когда мы перейдём к вычислению четырёхзначных, их уже будет 7, пятизначных — 6, шестизначных — 5 и так далее, и так далее. И потому записать это следует так:
Однозначные — 9
Двузначные — 9x9
Трёхзначные — 9X9X8
Четырёхзначные — 9x9x8x7
Пятизначные — 9x9x8x7X6
Шестизначные — 9x9x8x7x6X5
Семизначные — 9x9x8x7x6x5x4
Восьмизначные — 9x9x8x7x6x5X4x3
Девятизначные — 9x9X8x7x6x5X4x3x2
Десятизначные — 9x9x8x7x6x5x4x3x2x1
— Восхитительно! Совершенно восхитительно! — повторял Главный терятель, любуясь девочкиной таблицей, очень, надо сказать, аккуратной. — Но самое интересное вот что: количество девятизначных и десятизначных чисел совершенно одинаково. Ведь последняя строчка отличается от предпоследней только одним множителем — единицей. А все знают, что от умножения на единицу произведение не меняется.
— Делаете успехи! — заметил я.
— Сам себе удивляюсь, — улыбнулся Главный терятель и вдруг застыл с выпученными глазами. — Какой же я болван! У меня уже с полчаса вертится в голове ассоциация, а я всё забываю о ней сказать.
— Так выкладывайте её скорей, пока опять не забыли! — торопила девочка, снова хватаясь за свой блокнот.
— Пожалуйста, — сказал Главный терятель и действительно выложил все свои фишки по порядку номеров. — Взгляните: перед вами десять последовательных цифр. Все они разные.
— Ну и что? — не понял я.
— А то, что в утерянном номере все цифры тоже были разные.
— Ассоциация! Первая ассоциация! — торжественно изрекла девочка. — Заношу в протокол: в номере все цифры разные. А теперь — пусть нам дадут чаю!
Она была права. Задачу мы решили, притом совершенно правильно. Нам ост