Проверочная работа по теме: «Аналитическая геометрия на плоскости»

Практика 12. Линии второго порядка

Знать: определение линии второго порядка на плоскости, окружности, эллипса, гиперболы, параболы; уравнения линий 2-го порядка, их свойства и алгоритмы построения.

Уметь: выводить уравнения линий 2-го порядка и строить их по данным уравнениям; находить уравнения касательных, асимптот и директрис этих линий.

Проверочная работа по теме: «Аналитическая геометрия на плоскости»

Даны вершины треугольника А(2;-2), В(3;5), С(6;1). Найти:
1 вар.	1. Общее уравнение прямой, на которой лежит высота, проведенная из точки В.	2. Длину медианы АМ.
2 вар.	1. Общее уравнение прямой, на которой лежит медиана, проведенная из точки А.	2. Длину высоты ВК.

Решение проверочной работы:

1 вариант
1. 4(x-3)+3(y-5)=0 4x+3y-27=0 Ответ: 4х+3у-27=0	2. M(4,5;3) AM= Ответ: АМ=
2 вариант
1. М(4,5; 3) Ответ: 2х-у-6=0	2. АС: Ответ: 5

Работа в аудитории:

1.3. Найти координаты центра и радиус окружности .	1.4. Написать уравнение окружности, проходящей через точки (-1;3), (0;2), (1;-1).	1.5. Написать уравнения касательных к окружности , проведенных из точки М(0;3).
2.3. Найти оси, центр и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением . Построить этот эллипс.	2.4. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки и .	2.5. Найти уравнение касательной к эллипсу , перпендикулярной прямой .
3.3. Дано уравнение гиперболы . Найти длины ее полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы.	3.4. Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках и , а длина мнимой оси равна 6. Построить эту гиперболу.	3.5. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.
4.3. Дана парабола . Найти координаты ее фокуса и уравнение директрисы.	4.4. Найти вершину, фокус и директрису параболы , построить эскиз графика.	4.5. При каких значениях прямая касается параболы .
5. Установить тип кривой и сделать эскиз линии:
5.3. .	5.4. .	5.5. .

Решения:

1.3. Найти координаты центра и радиус окружности .

Ответ: С(2; -3), R=4.

1.4. Написать уравнение окружности, проходящей через точки (-1;3), (0;2), (1;-1).

Пусть (х₀, у₀) – координаты центра окружности, а r – ее радиус, тогда

Ответ: (-4; -1), r=5.

1.5. Написать уравнения касательных к окружности , проведенных из точки М(0;3).

Пусть касательные имеют уравнения в виде . Т.к. она проходит через М(0;3), то .

Уравнение окружности запишем в виде .

Тогда система уравнений имеет одно решение.

Или уравнение имеет один корень.

Квадратное уравнение имеет один корень, если D=0.

или .

Ответ: или .

2.3. Найти оси, центр и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением . Построить этот эллипс.

Это уравнение эллипса с центром в точке (1; -2), осями и , эксцентриситетом , т.к. .

Ответ: центр (1; -2), оси и , эксцентриситет .

2.4. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки и .

Пусть уравнение эллипса имеет вид .

Т.к. эллипс проходит через точку , то .

Т.к. эллипс проходит через точку , то .

Составим и решим систему

Ответ: .

2.5. Найти уравнение касательной к эллипсу , перпендикулярной прямой .

Пусть уравнение касательной прямой имеет вид , т.к. искомая прямая перпендикулярна прямой , то имеет вид .

Т.к. прямая и эллипс касаются, то система имеет одно решение. Или т.к. , то уравнение имеет один корень.

Квадратное уравнение имеет один корень, если .

Ответ: или .

3.3. Дано уравнение гиперболы . Найти длины ее полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы.

Приведем данное уравнение к каноническому .

Тогда ее полуоси равны и .

Найдем . Значит, фокусы имеют координаты и .

Вычислим эксцентриситет .

Найдем уравнения асимптот .

Ответ: полуоси и , фокусы и , эксцентриситет , уравнения асимптот .

3.4. Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках и , а длина мнимой оси равна 6. Построить эту гиперболу.

Т.к. фокусы и лежат на прямой , то гипербола имеет вид .

Длина мнимой оси гиперболы равна 6, значит, .

Расстояние между и равно .

Вычислим .

Центр гиперболы является серединой отрезка . Значит, .

Таким образом, уравнение искомой гиперболы .

Ответ: .

3.5. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.

.

Тогда асимптоты имеют уравнения .

Найдем угол между этими прямыми .

Ответ: .

4.3. Дана парабола . Найти координаты ее фокуса и уравнение директрисы.

Сравнивая данное уравнение параболы с каноническим уравнением вида , заключаем, что - фокус параболы, а - уравнение директрисы.

Ответ: - фокус параболы, - уравнение директрисы.

4.4. Найти вершину, фокус и директрису параболы , построить эскиз графика.

Преобразуем данное уравнение параболы к каноническому:

Значит, вершина имеет координаты (2;3). Т.к. и прямая является осью симметрии, то фокус имеет координаты , а директриса имеет уравнение .

Ответ: (2;3) – вершина параболы, - ее фокус, - уравнение директрисы.

4.5. При каких значениях прямая касается параболы .

Прямая касается параболы , если система имеет единственное решение или уравнение имеет один корень.

Квадратное уравнение имеет один корень, если его .

Ответ: при .

5.3. .

Преобразуем данное уравнение:

Эта система задает часть параболы, находящуюся под прямой . Парабола имеет вершину (1;3) и ее ветви направлены вправо.

5.4. .

Эта система задает часть эллипса, находящегося правее прямой . Эллипс имеет центр (0;-1) и полуоси и .

5.5. .

Эта система задает часть гиперболы, расположенную под прямой . Гипербола имеет центр (0;0) и полуоси и .