Пусть функция у = f (x) определена на множестве D. Возьмем некоторое значение х Î D аргумента и придадим ему приращение D х (положительное или отрицательное) так, чтобы х + D х Î D. Тогда значение функции у = f (x) в начальной точке изменится и станет равным у + D у = f (х + D х), т.е. функция получит приращение D у = f (х + D х) – f (x) (рис.).
Определение 4.1. Предел отношения приращения D у функции у = f (x) к вызвавшему его приращению D х аргумента при стремлении D х к нулю называется производной функции у = f (x) в точке х и обозначается f ¢(x).
Таким образом,
. (1)
Наряду с обозначением f ¢(x), используется обозначения
у ¢, ух ¢, , , .
Равенство (1) определяет правило (закон) по которому каждому значению х ÎD ставится в соответствие конечное или бесконечное значение производной, т.е. производная есть функция переменной х.
Используя определение производной, можно теперь сказать, что скорость движущейся точки в каждый момент времени есть производная от пути по времени. Если эту физическую иллюстрацию обобщить на случай произвольной функции, рассматривая изменение функции как пройденный путь, а изменение аргумента как время, то получим
Физический смысл производной: производная функции есть скорость изменения функции при изменении ее аргумента.
Аналогично, используя результаты задачи о касательной, получим
Геометрический смысл производной: производная функции у = f (x) в точке х есть тангенс угла наклона к оси ОХ касательной, проведенной к графику функции в точке (х, f (x)).
Теорема 4.1.(необходимое условие существования производной)
Если функция у = f (x) имеет в точке х 0 производную, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство: Если для функции у = f (x) в точке х 0 существует производная, то существует предел
Если этот предел конечный, то по теореме 2.4 имеем
,
где a(х) есть бесконечно малая при D х ® 0. Отсюда получаем
D у = f ¢(x 0)D x + a(x)D x.
Рассмотрим
= 0,
а это, согласно второму определению непрерывности функции в точке, означает, что функция у = f (x) непрерывна в точке х 0.
Предположим теперь, что = + ¥ (или –¥), причем это возможно тогда и только тогда, когда односторонние пределы бесконечны и одинакового знака. Пусть, для определенности,
Тогда и .
Но это означает, что числитель и знаменатель дроби имеют одинаковый знак. В первом случае f (х 0 + D х) – f (x 0) > 0, т.к.D х ® +0, т.е. D х > 0. Во втором случае f (х 0 + D х) – f (x 0) < 0 при D х < 0. А такое возможно только если
f (х 0 + D х) ® f (x 0) при х ® х 0,
т.е. функция у = f (x) непрерывна в точке х 0. ЧТД.
Случай бесконечной производной графически можно представить так:
Таким образом, в каждой точке, в которой существует производная функции, эта функция обязательно непрерывна. Обратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции в точке не следует существование в этой точке конечной производной. Продемонстрируем это на примере.
Рассмотрим функцию
Эта функция непрерывна в точке х 0 = 1, т.к.
f (1) = 1,
f (1+0) = = 1,
f (1– 0) = = 1.
Но в этой точке не существует производная функции. Действительно, если D х = х – 1> 0, то
.
Если же D х = х – 1< 0, то
Значит, , а это, согласно критерию существования предела означает, что не существует.
Заметим, что в этом случае можно говорить о существовании односторонних производных:
f ¢(x 0+0) = и f ¢(x 0 –0) = .
Тогда существование производной функции f (x) в точке x 0 равносильно существованию f ¢(x 0+0), f ¢(x 0 –0) и выполнению условия f ¢(x 0+0) = f ¢(x 0 –0).
В рассмотренном примере f ¢(1+0) = 2, f ¢(1 –0) = 1.
Дифференцируемость функции в точке. Правила дифференцирования. Таблица производных.
Дадим еще одно важное
Определение 4.2.
Функция у = f (x) называется дифференцируемой в точке х 0, если ее приращение D у в этой точке, соответствующее приращению D х, представимо в виде D у = А.D х + о(D х), где А – некоторая константа.
Справедлива
Теорема 4.2. (критерий дифференцируемости)
Функция у = f (x) дифференцируема в точке х 0 тогда и только тогда, когда она в этой точке имеет конечную производную.
Доказательство: 1) Достаточность. Пусть функция у = f (x) дифференцируема в точке х 0. Значит, ее приращение в этой точке представимо в виде
D у = А.D х + о(D х),
где А – некоторая константа. Разделим обе части этого равенства на D х и перейдем к пределу при D х ® 0:
.
Значит, данная функция в точке х 0 имеет конечную производную, равную А.
2) Необходимость. Если функция у = f (x) в точке х 0 имеет конечную производную, т.е. , то согласно теореме 2.4,
, откуда D у = f ¢(x 0)D x + a(x)D x,
где a(х) – бесконечно малая при D х ® 0.
Так как , то a(x)D x = о(D х). Значит,
D у = А.D х + о(D х), где А = f ¢(x 0). ЧТД.
Таким образом, понятия «дифференцируемая функция» и «функция, имеющая конечную производную» – равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием.
Функция f (x) дифференцируема на множестве Х, если она имеет производную в каждой точке этого множества.
Основные правила дифференцирования вам известны еще из школьного курса, поэтому здесь мы их только напомним (доказательство этих правил разберите самостоятельно). Пусть с - постоянная, u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции. Тогда
1. (с)¢ = 0
2. (c×u)¢ = c×u¢
3. (u + v)¢ = u¢ + v¢
4. (u - v)¢ = u¢ - v¢
5. (u× v)¢ = u¢v + uv¢
6.
6.а.
7. (F (u (x)))¢ = F ¢(u)× u ¢(x)
8. , если у (х) и х (у) – взаимно обратные функции.
Докажемдва последних правила:
7) Если функция и = и (х) дифференцируема в точке х 0, а функция у = F(u) имеет производную в точке и 0 = и (х 0), то функция F(u(x))имеет производную в точке х 0, причем
(F(u(x 0)))¢ = F ¢(u 0)× u ¢ (x 0)
Доказательство: Пусть х = х 0, придадим переменной х приращение D х и рассмотрим точку х 0 + D х. Тогда функция и = и (х) получит приращение
D и = и (х 0 + D х) – и (х 0).
Этому приращению будет соответствовать приращение
DF = F(u 0+D и) – F(u 0).
Причем, в силу существования производных заданных функций, а следовательно, их непрерывности в соответствующих точках, имеем
D х ® 0 Þ D и ® 0 Þ DF ® 0.
Поскольку
, то ,
где a бесконечно малая при D и ® 0, а, значит, и при D х ® 0. Из этого равенства имеем
DF = F ¢(u 0)×D и + aD и.
Разделив обе части этого равенства на D х, и переходя к пределу при D х ®0, получим
F ¢(х 0) =
= . ЧТД.
8) Если функция у = у (x) и ее обратная х = х (y) дифференцируемы, причем у ¢(x) ¹ 0, то
Доказательство: По определению обратной функции, х (y (х)) = х для всех х из области определения этой функции. Поэтому, согласно предыдущей теореме,
(х (y (х)))¢ = х ¢(у). у ¢(х) = 1,
откуда и следует равенство . ЧТД.
Заметим, что в доказательстве использован известный из школьного курса факт, что производная независимой переменной равна 1. Доказательство этого факта очень просто: если у = х, то по определению
у ¢ = х ¢ = .
Кроме правил вычисления производной, в школе вы доказывали и использовали формулы вычисления производных основных элементарных функций. Сведем эти формулы в единую таблицу, которую следует заучить наизусть.
В левой колонке таблицы указаны производные основных элементарных функций, а в правой – производные сложной функции соответствующего вида.
Таблица производных основных элементарных функций x - независимая переменная, u = и (х) – дифференцируемая функция, | |
1.1. х ¢ = 1 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. (sin x)¢ = cos x 1.9. (cos x)¢ = – sin x 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. | 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. (sin и)¢ = cos и × и ¢ 2.9. (cos u)¢ = – sin и× и ¢ 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. |