План лекции:
1. Определение комплексного числа.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
4. Действия над комплексными числами.
5. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексных чисел.
Содержание лекции:
Вопрос 1. Определение комплексного числа.
Число вида
, где
- любые действительные числа, а
- так называемая мнимая единица, называется комплексным числом.
или
Действительные числа и
называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа
и обозначаются
Рассмотрим частные случаи комплексных чисел.
· Пусть - любое действительное число. Тогда
становится действительным числом.
· Пусть . Тогда
- чисто мнимое число.
Таким образом, все действительные числа и все чисто мнимые числа входят в множество комплексных чисел.
Два комплексных числа и
называются сопряженными комплексными числами.
Сравнение комплексных чисел осуществляется по правилам:
1. Два комплексных числа считаются равными, если
.
2. Комплексное число равно нулю только тогда, когда
одновременно.
3. Операции <, > не имеют смысла на множестве комплексных чисел.
Вопрос 2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат ХОУ на плоскости. Каждой точке плоскости при этом соответствуют вполне определенные координаты , а следовательно, и вполне определенное комплексное число
. Обратно, каждому к
комплексному числу
соответствует вполне определенная пара действительных чисел
, а следовательно, и вполне определенная точка плоскости
. Таким образом установили связь между множеством точек на плоскости и множеством комплексных чисел. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа
, называется комплексной плоскостью. Ось ОХ называется действительной осью, ось ОУ – мнимой осью. Очевидно, что изображением комплексного числа
можно считать также и вектор
.
Вопрос 3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Длина вектора, изображающего комплексное число ,
называется модулем комплексного числа.
Угол, образуемый этим вектором с положительным направлением действительной оси (<MON), называется аргументом комплексного числа.
Обозначение: модуль ,
аргумент .
Из прямоугольного треугольника OMN
.
В качестве главного значения аргумента комплексного числа обычно выбирают значение , определенное неравенствами
,
.
Итак, называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Пример. Записать в тригонометрической форме комплексные числа:
1.
2.
3.
4. .
Решение:
1.
.
2. .
.
3.
.
4.
.
Вопрос 4. Действия над комплексными числами.
1. Сложение.
Суммой двух комплексных чисел и
называется комплексное число
, определяемое равенством
.
Из определения вытекают следующие законы сложения:
- Переместительный:
- Сочетательный:
2. Вычитание.
Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению. Вычесть из числа число
значит найти такое число
, чтобы имело место равенство:
Число
называется разностью чисел
и
и обозначается
.
Вычитание всегда выполнимо.
3. Умножение.
Произведением двух комплексных чисел
и
называется комплексное число, определяемое равенством
.
Из определения следуют законы:
· Переместительный
· Сочетательный
· Распределительный .
4. Деление.
Деление – действие, обратное умножению. Разделить комплексное число на комплексное число
значит найти такое число
, чтобы имело место равенство
.
Тогда получаем систему для определения и
:
Система всегда разрешима, т.к. определитель
.
Число называется частным.
.
Итак, чтобы разделить одно комплексное число на другое, надо числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное числу, стоящему в знаменателе.
Пример.
Выполнить все действия над комплексными числами и
.
Решение
Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Пусть .
Тогда
.
Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются: .
Деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, приводит к формуле:
.
Справедливость этого равенства легко проверить обратным действием (умножением). Т.о., модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Пример
Выполнить все действия умножения и деления комплексных чисел и
, представив их в тригонометрической форме.
5. Возведение в степень. Формула Муавра.
Из правила умножения комплексных чисел в тригонометрической форме следует правило возведения в целую положительную степень n комплексного числа.
Итак
Эта формула называется формулой Муавра. Она показывае, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример
Вычислить
6. Извлечение корня.
Корнем n степени из комплексного числа называтся также комплексное число
, n – я степень которого равняется подкоренному числу, т.е.
.
Если или
так
откуда
где k - любое число, - арифметическое значение корня.
Следовательно
Пример
Найти все значения
Решение
приведём к тригонометрической форме:
Следовательно
Если придавать значения , то корни будут повторяться.
Действительно, при
Пример.
Решить двучленное уравнение
Решение.
Нахождение корней уравнения сводится к задаче: найти все значения корня
Вопрос 5. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
Из математического анализа известно разложение функций в степенной ряд:
(1)
(2)
(3)
Условимся считать, что формула (1) имеет место и при , тогда получим:
Учитывая, что
и отделяя здесь действительные и чисто мнимые члены, получим:
На основании формул (2) и (3) заключаем, что сумма рядов, стоящих в скобках, соответственно равна cosj и sinj.
Поэтому получаем: (4)
Это есть формула Эйлера.
Заменяя в формуле (4) j на -j и учитывая при этом что cosj - чётная, sinj - нечётная функции, получим:
(5)
Разрешив равенства (4) и (5) относительно cosj и sinj получим ещё 2 формулы Эйлера:
(6)
(7)
Формула (4) даёт новую показательную форму комплексного числа, имеющего модуль r и аргумент j:
Пример
Написать в показательной форме комплексные числа:
а) б)
; в)
; г)
д)
Решение
а)
б)
в)
г)