План лекции:
1. Определение комплексного числа.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
4. Действия над комплексными числами.
5. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексных чисел.
Содержание лекции:
Вопрос 1. Определение комплексного числа.
Число 
вида 
, где 
- любые действительные числа, а 
- так называемая мнимая единица, называется комплексным числом.
или 
Действительные числа 
и 
называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются 
Рассмотрим частные случаи комплексных чисел.
· Пусть 
- любое действительное число. Тогда 
становится действительным числом.
· Пусть 
. Тогда 
- чисто мнимое число.
Таким образом, все действительные числа и все чисто мнимые числа входят в множество комплексных чисел.
Два комплексных числа и 
называются сопряженными комплексными числами.
Сравнение комплексных чисел осуществляется по правилам:
1. Два комплексных числа 
считаются равными, если 
.
2. Комплексное число равно нулю только тогда, когда 
одновременно.
3. Операции <, > не имеют смысла на множестве комплексных чисел.
Вопрос 2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат ХОУ на плоскости. Каждой точке плоскости при этом соответствуют вполне определенные координаты 
, а следовательно, и вполне определенное комплексное число . Обратно, каждому к 
комплексному числу соответствует вполне определенная пара действительных чисел , а следовательно, и вполне определенная точка плоскости . Таким образом установили связь между множеством точек на плоскости и множеством комплексных чисел. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа , называется комплексной плоскостью. Ось ОХ называется действительной осью, ось ОУ – мнимой осью. Очевидно, что изображением комплексного числа можно считать также и вектор 
.
Вопрос 3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Длина вектора, изображающего комплексное число , 
называется модулем комплексного числа.
Угол, образуемый этим вектором с положительным направлением действительной оси (<MON), называется аргументом комплексного числа.
Обозначение: модуль 
,
аргумент 
.
Из прямоугольного треугольника OMN
.
В качестве главного значения аргумента комплексного числа обычно выбирают значение 
, определенное неравенствами
,
.
Итак, 
называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Пример. Записать в тригонометрической форме комплексные числа:
1. 
2. 
3. 
4. 
.
Решение:
1. 
.
2. 
.
.
3. 
.
4. 
.
Вопрос 4. Действия над комплексными числами.
1. Сложение.
Суммой двух комплексных чисел 
и 
называется комплексное число , определяемое равенством
.
Из определения вытекают следующие законы сложения:
- Переместительный: 
- Сочетательный: 
2. Вычитание.
Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению. Вычесть из числа число значит найти такое число 
, чтобы имело место равенство: 
Число называется разностью чисел 
и 
и обозначается 
.
Вычитание всегда выполнимо.
3. Умножение.
Произведением 
двух комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством 
.
Из определения следуют законы:
· Переместительный 
· Сочетательный 
· Распределительный 
.
4. Деление.
Деление – действие, обратное умножению. Разделить комплексное число на комплексное число значит найти такое число , чтобы имело место равенство 
.
Тогда получаем систему для определения и :
Система всегда разрешима, т.к. определитель
.
Число называется частным.
.
Итак, чтобы разделить одно комплексное число на другое, надо числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное числу, стоящему в знаменателе.
Пример.
Выполнить все действия над комплексными числами 
и 
.
Решение
Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Пусть 
.
Тогда 
.
Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются: 
.
Деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, приводит к формуле:
.
Справедливость этого равенства легко проверить обратным действием (умножением). Т.о., модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Пример
Выполнить все действия умножения и деления комплексных чисел 
и 
, представив их в тригонометрической форме.
5. Возведение в степень. Формула Муавра.
Из правила умножения комплексных чисел в тригонометрической форме следует правило возведения в целую положительную степень n комплексного числа.
Итак 
Эта формула называется формулой Муавра. Она показывае, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример
Вычислить 
6. Извлечение корня.
Корнем n степени из комплексного числа 
называтся также комплексное число 
, n – я степень которого равняется подкоренному числу, т.е. 
.
Если 
или 
так 
откуда 
где k - любое число, 
- арифметическое значение корня.
Следовательно 
Пример
Найти все значения 
Решение
приведём к тригонометрической форме: 
Следовательно 
Если придавать значения 
, то корни будут повторяться.
Действительно, при 
Пример.
Решить двучленное уравнение 
Решение.
Нахождение корней уравнения сводится к задаче: найти все значения корня 
Вопрос 5. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
Из математического анализа известно разложение функций 
в степенной ряд:
(1)
(2)
(3)
Условимся считать, что формула (1) имеет место и при 
, тогда получим:
Учитывая, что
и отделяя здесь действительные и чисто мнимые члены, получим:
На основании формул (2) и (3) заключаем, что сумма рядов, стоящих в скобках, соответственно равна cosj и sinj.
Поэтому получаем: 
(4)
Это есть формула Эйлера.
Заменяя в формуле (4) j на -j и учитывая при этом что cosj - чётная, sinj - нечётная функции, получим:
(5)
Разрешив равенства (4) и (5) относительно cosj и sinj получим ещё 2 формулы Эйлера:
(6)
(7)
Формула (4) даёт новую показательную форму комплексного числа, имеющего модуль r и аргумент j:
Пример
Написать в показательной форме комплексные числа:
а) 
б) 
; в) 
; г) 
д) 
Решение
а) 
б) 
в) 
г) 