Определители
Пусть дана квадратная матрица порядка n:
А = 
.
Определение 1. Определителем n -го порядка матрицы А называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых равно произведению n элементов матрицы А 
, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое берется со знаком "+" или "-".
.
Пример 1. Определитель второго порядка. n =2, 2!=1 · 2=2 слагаемых.
.
Мнемоническое правило вычисления определителя второго порядка:
слагаемое со знаком "-", слагаемое со знаком "+".
Пример 2. Определитель третьего порядка. n =3, 3!=1 · 2 · 3=6 слагаемых,
Мнемоническое правило вычисления определителя третьего порядка:
слагаемые со знаком "+", слагаемые со знаком "-".
Можно построить мнемонические правила для вычисления определителей порядка выше чем три, но они будут слишком громоздкими. Поэтому вычисление таких определителей основано на свойствах определите
Свойства определителей
Теорема 1. При транспонировании величина определителя не меняется.
Следствие. Строки и столбцы в определителе равноправны, т.е. свойства, справедливые для строк, будут справедливы и для столбцов.
Теорема 2. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число.
Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя.
Теорема 3. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный.
Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю.
Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю.
Теорема 4. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т.д.
Следствие. Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю.
Теорема 5. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.
4. Нахождение обратной матрицы.
Определение обратной матрицы
Матрица В называется обратной для матрицы А, если для них выполняются соотношения А · В = В · А = E. Для обратной матрицы принято обозначение А-1. Эту запись не следует понимать как степень с отрицательным показателем, действие деления для матриц не определено. Это просто обозначение и не более того.
Построение обратной матрицы
Теорема. Для каждой неособенной квадратной матрицы существует обратная, и притом только одна. Для особенной квадратной матрицы обратная матрица не существует.
Для того, чтобы построить обратную матрицу, необходимо
1. Найти определитель матрицы. Если этот определитель не равен нулю, то обратная матрица существует.
2. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы: А11, А12, …,Аnn
3. Из этих алгебраических дополнений построить матрицу в соответствии с указанными индексами
4. Транспонировать указанную матрицу
5. Разделив матрицу эту матрицу на определитель матрицы
Δ = det A
получим обратную матрицу
Проверим условие, которому должна удовлетворять обратная матрица
Докажем, что для особенной матрицы обратная матрица не существует. Если бы такая матрица существовала, то из равенства А · А - 1 = E следовало бы, что
| A |·| A -1 |= 1
Но это равенство для особенной матрицы невозможно, поскольку при | A | = 0 левая часть равна нулю, а правая – единице. Полученное противоречие доказывает утверждение.
5. Элементарные преобразования над строками (столбцами)матрицы.Ранг матрицы.
6. Решение систем линейных алгебраических уравнений различными методами.
7. Векторы. Линейные операции над ними. Свойства операций.
8. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства.Критерии коллинеарности и ортогональности векторов.
9. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
10. Различные способы задания прямой на плоскости
11. Виды уравнений прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов.
12. Вывод формулы расстояния от точки до прямой.
13. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми.
14. Различные способы задания плоскости.
15. Виды уравнений плоскости. Геометрический смысл коэффициентов.
16. Вывод формулы расстояние от точки до плоскости.
17. Взаимное расположение двух плоскостей.Угол между плоскостями.
18. Различные способы задания прямой в пространстве.
19. Виды уравнений прямой в пространстве. Геометрический смысл коэффициентов.
20. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
21. Взаимное расположение прямой и плоскости.
22. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
23. Числовые последовательности и арифметические действия над ними. Ограниченные и неограниченные последовательности. Примеры.
24. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Примеры.
25. Сходящиеся последовательности. Их свойства. Примеры.
26. Монотонные последовательности. Примеры. Число е.
27. Теорема о вложенных отрезках.
28. Функция. Способы задания функций. Примеры.
29. Предел функции. Односторонние пределы.Геометрическая интерпретация.
30. Теорема о пределах функций.
31. I замечательный предел.Следствия. Примеры.
32. II замечательный предел. Следствия. Примеры.
33. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Примеры. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
34. Непрерывность функции. Арифметические действия над непрерывными функциями.
35. Классификация точек разрыва функции. Примеры.
36. Основные свойства непрерывных функций (I и II теоремы Больцано – Коши, I и II теоремы Вейерштрасса).
37. Сложная функция. Обратная функция. Непрерывность обратной функции.
38. Производная. Её геометрический смысл. Дифференцируемость функции.
39. Дифференциал. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
40. Правила дифференцирования. Теорема о производной обратной функции.
41. Таблица производных. Вывод табличных производых.
42. Производные и дифференциалы высших порядков. Примеры.
43. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
44. Теоремы Ферма и Ролля.
45. Теоремы Лагранжа и Коши.
46. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей, 
, 