Системы счисления
Система счисления — это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.
В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от положения в числе.
Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:
Пример 1. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.
В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа — большая, то их значения вычитаются.
Пример 2.
VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.
Пример 3.
MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +
+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.
Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая — три десятка, третья — три единицы.
Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:
Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:
1011012, 36718, 3B8F16.
В системе счисления с основанием q (q -ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q -ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1,..., q – 1. Запись числа q в q -ичной системе счисления имеет вид 10.
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую.
При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:
1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;
2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.
Пример 1. Перевести число 3710 в двоичную систему.
Для обозначения цифр в записи числа используем символику: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0
Отсюда: 3710 = l00l0l2
Пример 2. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).
а) 464(10); б) 380,1875(10); в) 115,94(10)
| а) 464 | б) 380 | в) 115 | |||||||||
а) 464(10)=111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2);
в) 115,94(10) » 1110011,11110(2)
(в данном случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен.)
Пример 3. Перевести десятичное число 315 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы:
Отсюда следует: 31510 = 4738 = 13B16. Напомним, что 1110 = B16.
Пример 4. Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.
Здесь в левом столбце находится целая часть чисел, а в правом — дробная.
Отсюда: 0,187510 = 0,00112 = 0,148 = 0,316
Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23). В целой части числа группировка производится справа налево, в дробной части — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываются нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблице.
| P | Соответствия | |||||||||||||||
| A | B | C | D | E | F |
Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101,11(2).
001111010101, 1100 (2) = 3D5,C(16).
При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, слева направо (начальный номер –1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.
Пример 5. Перевести данное число в десятичную систему счисления:
а) 1000001(2).
1000001(2) = 1 × 26 + 0 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 64 + 1 = 65(10).
Замечание. Если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.
б) 1000011111,0101(2).
1000011111,0101(2) = 1 × 29 + 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2–2 + 1 × 2–4 =
= 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125(10).
в) 1216,04(8).
1216,04(8) = 1 × 83 + 2 × 82 + 1 × 81 + 6 × 80 + 4 × 8–2 =
= 512 + 128 + 8 + 6 + 0,0625 = 654,0625(10).
г) 29A,5(16).
29A,5(16) = 2 × 162 + 9 × 161 + 10 × 160 + 5 × 16–1 =
= 512 + 144 + 10 + 0,3125 = 656,3125(10).