Основные типы задач и методы их решения

171-2007

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к решению задач по электростатике и постоянному току

по дисциплине “Общая физика”

для студентов физико-технического факультета

очной формы обучения

 

 

 

Воронеж 2007

Составители: канд. физ.-мат. наук А.Г. Москаленко, канд. физ.-мат. наук Н.В. Матовых, канд. техн. наук М.Н. Гаршина, канд. физ.-мат. наук Е.П. Татьянина, канд. физ.-мат. наук В.С. Железный.

 

УДК 681.3; 53

 

Методические указания к решению задач по электростатике и постоянному току по дисциплине «Общая физика» для студентов физико-технического факультета очной формы обучения / ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. А.Г. Москаленко, Н.В. Матовых, М.Н. Гаршина, Е.П. Татьянина, В.С. Железный. Воронеж, 2007. 46 с.

В методических указаниях кратко изложен теоретический материал, представлены классификация и методы решения задач, рассмотрены примеры решения типовых задач, соответствующих программе общего курса физики. По каждой теме имеются контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения.

Методические указания предназначены для студентов физико-технического факультета.

Библиограф.: 6 назв.

 

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. А.Ф. Татаренков

 

Ответственный за выпуск зав. кафедрой,

профессор В.С. Железный

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет», 2007

Электростатическое поле в вакууме

Основные законы и формулы

1.Напряженность и потенциал поля точечного заряда

; .

Принцип суперпозиции электростатических полей

; .

2. Линейная, поверхностная и объемная плотность зарядов

; ; .

3. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

.

4. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля.

; .

5. Циркуляция вектора напряженности

.

6. Работа сил электростатического поля

, .

7. Напряженность и потенциал поля диполя

; .

где p = - электрический момент диполя; - угол между векторами и .

8. Сила и момент сил, действующих на диполь во внешнем поле:

;

Качественные задачи

1. В центре воображаемой сферы находится точечный заряд. Изменится ли поток вектора сквозь эту поверхность, если: а) добавить заряд за пределами сферы; б) изменить радиус сферы?

	2. Является ли эквипотенциальной плоскость симметрии в поле точечных зарядов: q1=q2=q; б) q1=+q; q2=-q?
	3. Вблизи равномерно заряженной нити построим замкнутую поверхность, имеющую форму цилиндра, соосного с нитью. Как изменится модуль потока вектора через полную поверхность цилиндра, если нить наклонить?
	4.Четыре точечных заряда расположены в вершинах квадрата. Указать направление максимального возрастания потенциала в центре квадрата.
	5. Два точечных заряда сближаются, скользя по дуге окружности с центром О. Как при этом изменяются и в точке О.

6. Заряды расположены в точках с радиус-векторами Написать выражения для напряженности и потенциала поля в точке с радиус-вектором .

7. Заряд находится в точке с радиус-вектором . Написать выражение для потенциала поля , создаваемого этим зарядом в точке с радиусом-вектором .

8. Напряженность поля , где a,b,c - константы. Является ли это поле однородным? Найти его потенциал , положив =0.

Основные типы задач и методы их решения

а) Классификация

1. Определение напряженности и потенциала заданного распределения точечных зарядов.

Метод решения. Прямое суммирование выражений для потенциала и напряженности электростатического поля каждого заряда из заданного распределения точечных зарядов:

;

2.Определение потенциала и напряженности электростатическо­го поля заданного непрерывного распределения линейных, поверхност­ных или объемных зарядов.

Метод решения. Интегрирование выражений для потенциала и на­пряженности поля заданного непрерывного распределения заряда:

; ,

 

где , или .

3. Определение напряженности электростатического поля и потенциала заданного непрерывного распределения зарядов, обладающих плоской, осевой или центральной симметрией.

Метод решения. Применение теоремы Гаусса и формулы, связывающей напряженность поля и потенциал:

; .

 

б) Примеры решения задач

I. В вершинах квадрата со стороной находятся точечные заряды Определить напряженность электро­статического поля и потенциал в центре квадрата. Рассмотреть слу­чаи, когда:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

Напряженность поля и потенциал системы точечных зарядов опре­деляются соотношениями

;

Учитывая, что :

, ,

, ,

получаем ,

,

, ;

а) если , то

, ;

 

б) если , то

, , ;

в) если ; , то

, , .

2. Положительный заряд равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом с линейной плотностью . Найти напряжен­ность электрического поля на оси кольца как функцию рассто­яния x от его центра. Исследовать случаи:

а) , б) .

Решение.

Выделим на кольце около точки А элемент . Выражение для от этого элемента в точке С:

.

В силу симметрии вектор направлен по оси x, следовательно,

.

Учитывая, что и ,

получаем .

а) Если , то б) если >>a, то ,

т.е. на больших расстояниях эта система ведет себя как точечный заряд.

3. Тонкая прямая нить длиной 2 заряжена равномерно с линейной плотностью . Найти напряженность поля в точке, отстоящей на расстоянии x от центра нити и расположенной симметрично относительно ее концов. Исследовать случаи: a) x>> ; б) .

Решение.

Напряженность поля, создаваемого элементом , равна

.

Из соображений симметрии ясно, что

.

Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования. Из рисунка видно, что

;

Поэтому ,

где .

Окончательно имеем

.

а) Если х>> , то как поле точечного заряда; б) Если , то .

 

4. Очень тонкий диск равномерно заряжен с поверхностной плотностью >0. Найти напряженность электрического поля на оси этого диска в точке, из которой диск виден под телесным углом .

 

Решение.

Из соображений симметрии ясно, что вектор на оси диска должен совпадать с направлением этой оси. Поэтому достаточно найти составляющую в точке А от элемента заряда на площади и затем проинтегрировать это выражение по всей поверхности диска:

 

.

 

В данном случае - телесный угол, под которым площадка видна из точки А, и с учетом этого

; .

Заметим, что на больших расстояниях от диска

,

где - площадь диска. Тогда как поле точечного заряда .

В непосредственной же близости от точки 0 телесный угол и .

 

5. Две концентрические сферы с радиусами и ( > ) равномерно заряжены с поверхностными плотностями и . Найти выражение для напряженности и потенциала электростатическо­го поля как функции расстояния от центра сфер.

 

Решение.

Поле такой системы центрально-симметричное, поэтому использу­ем теорему Гаусса и в качестве замкнутой поверхности выберем концентрическую сферу радиусом .

 

Для < : и .

Для < < : и .

Для > : .

и .

Для определения потенциала используем связь между и в сферических координатах:

и .

Для > : , ,

.

Для < <

,

; .

Для < ₁: .