Основные типы задач и методы их решения

а) Классификация

1. Определение емкости уединенного проводника, емкости кон­денсатора и "батареи" конденсаторов.

Метод решения. Использование соотношений, определяющих ем­кость уединенного проводника и конденсатора. При этом первоначаль­но определяется с использованием теоремы Гаусса напряженность поля уединенного проводника или конденсатора, при сообщении им некоторо­го заряда , а затем путем интегрирования выражения находится приобретаемая разность потенциалов.

Для определения емкости "батареи" конденсаторов используются закон сохранения заряда и формула электроемкости конденсатора.

2. Определение энергии взаимодействия точечных зарядов, энер­гии заряженного проводника и конденсатора, энергии поля, локализо­ванного в заданном объеме.

Метод решения. Использование формул для энергии взаимодейст­вия точечных зарядов, энергии заряженного конденсатора.

Интегрирование выражения для объемной плотности энергии электрического поля:

.

3. Определение работы при раздвижении пластин конденсатора.

Метод решения.

1) Использование уравнения энергетического баланса при внеш­нем воздействии на конденсаторы. Работа внешних сил идет на прира­щение электрической энергии.

2) Непосредственное интегрирование выражения

.

б) Примеры решения задач

1. Найти емкость шарового проводника радиусом , окружен­ного примыкающим к нему слоем однородного диэлектрика с наружным радиусом и проницаемостью .

Решение.

Для нахождения емкости проводника по формуле надо мысленно заря­дить данный проводник зарядом и вычислить его потенциал . С этой целью, воспользовавшись теоремой Гаусса для вектора , найдем , после чего, с учетом соотношения , получим

для ;

для .

Зная зависимость можно непосредственно приступить к на­хождению потенциала шара. В. силу различной зависимости интег­рал разбивается на два:

;

.

Окончательно

.

2. Вычислить энергию взаимодействия четырех одинаковых точечных зарядов q, расположенных в вершинах квадрата со стороной а.

Решение.

Воспользуемся формулой

.

В данном случае , , где -потенциал в месте нахождения одного из зарядов, обусловленный полем всех ос­тальных зарядов.

В соответствии с формулой для потенциала, точечного заряда и принципа суперпозиции найдем

.

Окончательно .

3. Заряд распределен равномерно по объему шара радиусом . Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти собственную электрическую энергию шара и отношение энергии , локализованной внутри шара, к энергии в окружающем пространстве.

Решение.

Прежде всего найдем с помощью теоремы Гаусса напряженность поле внутри и вне шара

;

.

Объемная плотность энергии будет также являться функцией расстояния:

;

.

Поскольку зависимость различна для областей пространства внутри и вне шара, то нахождение полной энергии электрического поля разбивается на два интеграла

где - объем пространства, занимаемый зарядом;

- объем остального пространства.

Объем следует выбрать в виде тонкого шарового слоя толщиной (в пределах такого объема и постоянны):

.

Подставляя выражения для и и проводя интегрирование, по­лучаем .

Аналогично найдем, что т.е не зависит от радиуса шара.

4. Плоский воздушный конденсатор (S=200 , d₁=0,3см) заряжен до разности потенциалов = 600 В. Какую работу надо со­вершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками до =0,5см, не отключая конденсатор от источника.

Решение.

Первый способ.

Конденсатор соединен с источником, поэтому при лю­бых манипуляциях разность потенциалов на его зажимах остается постоянной и равной , при этом заряд может изменяться. При раздвижении пластин внешняя сила равна и противоположна силе взаимо­действия и ее работа

.

Поскольку поле, создаваемое каждой из пластин, на небольших рас­стояниях однородно, то

,

где - напряженность поля, создаваемого одной из пластин; - абсолютное значение заряда пластин. Напряженность поля, созданного одной пластиной, вдвое меньше на­пряженности между обкладками конденсатора и равна

.

Подставляя найденные соотношения в выражение для силы, получаем

.

При раздвижении обкладок изменяется в пределах от до , тогда

.

Второй способ.

В соответствии с уравнением энергетического баланса

,

где - изменение энергии конденсатора; - работа, совершаемая источником.

Так как изменение заряда конденсатора

, откуда .

Изменение энергии конденсатора найдем по формуле

.

где и - соответственно конечная и начальная емкости конден­сатора.

Из уравнения энергетического баланса с учетом того, что , Окончательно получим

.