Тема: Выполнение арифметических операций в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
Что нужно знать:
· перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления (см. презентацию «Системы счисления»)
· выполнение сложения (вычитания, умножения) в этих системах
Пример задания:
Чему равна сумма чисел 
и 
?
1) 1218 2) 1718 3)6916 4) 10000012
Общий подход:
перевести оба исходных числа и ответы в одну (любую!) систему счисления, и выполнить сложение
Решение (вариант 1, через десятичную систему):
1) 
2) 
3) сложение: 35 + 86 = 121
4a) переводим результат во все системы, в которых даны ответы (пока не найдем нужный):
121 = 11110012 = 1718 = 7916
4b) или переводим все ответы в десятичную систему
1218 = 81, 1718 = 121, 6916 = 105, 10000012 = 65
5) таким образом, верный ответ – 2.
| Возможные ловушки и проблемы: · дана верная запись числа, но в другой системе счисления (неверный ответ 1218) · арифметические ошибки при переводе из других систем в десятичную |
Решение (вариант 2, через двоичную систему):
1) 
(каждая цифра восьмеричной системы отдельно переводится в три двоичных – триаду, старшие нули можно не писать)
2) 
(каждая цифра шестнадцатеричной системы отдельно переводится в четыре двоичных – тетраду)
3) складываем
1000112
+ 10101102
11110012
4) переводим все ответы в двоичную систему
1218 = 001 010 0012 = 10100012 (по триадам)
1718 = 001 111 0012 = 11110012 (по триадам)
6916 = 0110 10012 = 11010012 (по тетрадам)
10000012 не нужно переводить
5) правильный ответ – 2.
| Возможные проблемы: · много вычислений · запись двоичных чисел однородна, содержит много одинаковых символов – нулей и единиц, поэтому легко запутаться и сделать ошибку. |
Решение (вариант 3, через восьмеричную систему):
1) , никуда переводить не нужно
2) 
(сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на триады справа налево, каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, так как для чисел от 0 до 7 их восьмеричная запись совпадает с десятичной)
3) складываем
438
+ 1268
1718
4) видим, что такой ответ есть, это ответ 2.
| Возможные проблемы: · нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 15 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении). · при сложении в восьмеричной системе нужно помнить, что перенос в следующий разряд идет тогда, когда сумма больше или равна 8, а не 10. |
Решение (вариант 4, через шестнадцатеричную систему):
1) 
(сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели в шестнадцатеричную систему; при этом тетрады можно переводить из двоичной системы в десятичную, а затем заменить все числа, большие 9, на буквы – A, B, C, D, E, F)
2) 
, никуда переводить не нужно
3) складываем
2316
+ 5616
7916
4) переводим в шестнадцатеричную систему все ответы:
1218 = 001 010 0012 = 0101 00012 = 5116 (перевели в двоичную систему по триадам, разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели отдельно в десятичную систему, все числа, большие 9, заменили на буквы – A, B, C, D, E, F)
171 2 = 001 111 0012 = 0111 10012 = 7916,
6916, переводить не нужно
10000012 = 0100 00012 = 4116
5) таким образом, верный ответ – 2.
| Возможные проблемы: · нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 15 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении) · при сложении в шестнадцатеричной системе нужно помнить, что перенос в следующий разряд идет тогда, когда сумма больше или равна 16, а не 10. |
| Выводы: · есть несколько способов решения, «каждый выбирает для себя» · при переводе всех чисел в десятичную систему можно легко ошибиться, однако складывать в десятичной системе проще и привычнее · работая в двоичной системе, также легко ошибиться, например, «потерять» цифру или перепутать цифры местами при списывании; сложение в двоичной системе также не совсем безобидно · видимо, наиболее простой вариант в данной задаче – использовать восьмеричную систему, нужно просто запомнить двоичные записи чисел от 0 до 15 и аккуратно все сделать · для того, чтобы выбрать систему счисления, в которой будет удобнее работать, можно посмотреть, в каких системах даны исходные данные и ответы, и выбрать ту, которая чаще всего встречается (обычно в ней легче считать) · никто не будет спрашивать, как вы считали, важно получить верный результат · возможно, если в задании будет вычитание или умножение, вычисления будет проще сделать в десятичной системе счисления |
Еще пример задания:
Чему равна разность чисел 
и 
?
1) 1001112 2) 1101112 3)1011112 4) 1011012
Общий подход:
для выполнения операций оба исходных числа должны быть в одной системе счисления;
в этой задаче оба числа и все результаты уже даны в двоичной системе;
вероятность сделать ошибку выше всего при выполнении сложения и вычитания в двоичной системе, поэтому…
может иметь смысл перевести их в другую систему, а потом перевести результат обратно.
Решение (вариант 1, через двоичную систему):
1) просто выполняем вычитание:
11011102
- 1111112
1011112
2) таким образом, ответ – 3.
| Возможные проблемы: · высокая вероятность ошибки при вычитании в двоичной системе |
Решение (вариант 2, через десятичную систему):
1) переводим в десятичную систему
11011102 = 26 + 25 + 23 + 22 + 21 = 64 + 32 + 8 + 4 + 2 = 110
1111112 = 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20
= 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63
2) выполняем вычитание: 110 – 63 = 47
3) переводим результат в двоичную систему:
47 = 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 25 + 23 + 22 + 21 + 20 = 1011112
4) таким образом, ответ – 3.
| Возможные проблемы: · очень трудоемко, высокая вероятность ошибки |
Решение (вариант 3, через восьмеричную систему):
1) переводим в восьмеричную систему (разбиваем на триады справа налево)
11011102 = 1 101 1102 = 1568
1111112 = 111 1112 = 778
2) выполняем вычитание:
1568
- 778
578
3) переводим результат в двоичную систему (заменяем каждую восьмеричную цифру триадой):
578 = 101 1112
4) таким образом, ответ – 3.
| Возможные проблемы: · возможна ошибка при вычитании в восьмеричной системе; нужно не забыть, что заем добавляет в текущий разряд 8, а не 10 |
Решение (вариант 4, через шестнадцатеричную систему):
1) переводим в восьмеричную систему (разбиваем на тетрады справа налево)
11011102 = 110 11102 = 6E16
1111112 = 11 11112 = 3F16
2) выполняем вычитание:
6E16
- 3F16
2F16
3) переводим результат в двоичную систему (заменяем каждую шестнадцатеричную цифру тетрадой):
2F16 = 10 11112
4) таким образом, ответ – 3.
| Возможные проблемы: · возможна ошибка при вычитании в шестнадцатеричной системе; нужно не забыть, что заем добавляет в текущий разряд 16, а не 10 |
Задачи для тренировки [1]:
1) Вычислите сумму чисел x и y, при x = A616, y = 758. Результат представьте в двоичной системе счисления.
1) 110110112 2) 111100012 3) 111000112 4) 100100112
2) Значение выражения 1016 + 108 • 102 в двоичной системе счисления равно
1) 10102 2) 110102 3) 1000002 4) 1100002
3) Вычислите сумму двоичных чисел x и y, если x = 10101012 и y = 10100112
1) 101000102 2) 101010002 3) 101001002 4) 101110002
4) Вычислите значение суммы 102 + 108 +1016 в двоичной системе счисления.
1) 101000102 2) 111102 3) 110102 4) 101002
5) Вычислите сумму чисел x и y, при x = 2718, y = 111101002. Результат представьте в шестнадцатеричной системе счисления.
1) 15116 2) 1AD16 3) 41216 4) 10B16
6) Вычислите сумму чисел x и y, при x = A116, y = 11012. Результат представьте в десятичной системе счисления.
1) 204 2) 152 3) 183 4) 174
7) Вычислите сумму чисел x и y, при x = 568, y = 11010012. Результат представьте в двоичной системе счисления.
1) 111101112 2) 100101112 3) 10001112 4) 110011002
8) Вычислите сумму чисел x и y, при x = 5A16, y = 10101112. Результат представьте в восьмеричной системе счисления.
1) 1518 2) 2618 3) 4338 4) 7028
9) Вычислите сумму чисел x и y, при x = 1278, y = 100101112. Результат представьте в десятичной системе счисления.
1) 214 2) 238 3) 183 4) 313
10) Вычислите A8116 + 37716. Результат представьте в той же системе счисления.
1) 21B16 2) DF816 3) C9216 4) F4616
11) Чему равна разность чисел 10116 и 1101112?
1) 3128 2) 128 3) 3216 4) 6416
12) Чему равна разность чисел 1248 и 5216?
1) 112 2) 102 3) 1002 4) 1102
13) Чему равна сумма чисел 278 и 3416?
1) 1138 2) 638 3) 5116 4) 1100112
14) Чему равна сумма чисел 438 и 5616?
1) 7916 2) A316 3) 1258 4) 10101012
15) Вычислите сумму чисел x и y, при x = 1101112, y = 1358. Результат представьте в двоичном виде.
1) 110101002 2) 101001002 3) 100100112 4) 100101002
16) Чему равно произведение чисел 138 и 516?
1) 678 2) Е216 3) 658 4) 1000012
17) Чему равно произведение чисел 158 и 516?
1) 758 2) 10010012 3) 2018 4) 4116
18) Чему равна разность чисел 
и 
?
1) 110102 2) 101002 3)100102 4) 101012
19) Чему равна разность чисел 
и 
?
1) 448 2) 2348 3)3616 4) 6016
20) Чему равна сумма чисел С516 и 478?
1) 111010102 2) 111011002 3) 100011002 4) 111101002
21) Чему равна сумма чисел 
и 
?
1) 101000102 2) 101001002 3) 100101002 4) 100011002
22) Чему равна сумма чисел 578 и 4616?
1) 3518 2) 1258 3) 5516 4) 7516
23) Чему равна разность чисел 10116 и 11001012?
1) 448 2) 2348 3) 3616 4) 6016
24) Чему равна сумма чисел 448 и 4416?
1) 8810 2) 10410 3) 8816 4) 1048
25) Чему равна сумма чисел 448 и 5916?
1) 10310 2) 10112 3) A116 4) 1758
26) Чему равна сумма чисел 718 и 1F16?
1) 778 2) 1111112 3) BB16 4) 8810
27) Чему равна сумма чисел 338 и AA16?
1) 19710 2) 11110112 3) 778 4) 19716
28) Чему равна разность чисел A1216 и 45118?
1) 3018 2) 21110 3) C116 4) 110010012
29) Чему равна сумма чисел 6118 и F416?
1) 10011110012 2) 27D16 3) 64710 4) 11358
[1] Источники заданий:
1. Демонстрационные варианты ЕГЭ 2004-2011 гг.
2. Гусева И.Ю. ЕГЭ. Информатика: раздаточный материал тренировочных тестов. — СПб: Тригон, 2009.
3. Якушкин П.А., Ушаков Д.М. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010. Информатика. — М.: Астрель, 2009.
4. Крылов С.С., Лещинер В.Р., Якушкин П.А. ЕГЭ 2011. Информатика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. — М.: Интеллект-центр, 2011.
5. Чуркина Т.Е. ЕГЭ 2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. — М.: Эксмо, 2010.
6. Самылкина Н.Н., Островская Е.М. ЕГЭ 2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. — М.: Эксмо, 2010.