ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ
|
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра общей и технической физики
МЕХАНИКА
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2019
РАБОТА 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
Цель работы - исследовать зависимость момента инерции крестовины с надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс крестовины.
Теоретические основы лабораторной работы
При выводе расчётных формул лабораторной работы использованы законы динамики поступательного и вращательного движения твердого тела.
Второй закон Ньютона для поступательного движения тела (m = const)
(6.1)
где 
- сумма всех внешних сил, приложенных к телу; m – масса тела; 
- линейное ускорение.
Основной закон динамики вращательного движения твердого тела
(6.2)
где 
- суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; J - момент инерции тела относительно той же оси; 
- угловое ускорение.
Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения.
Момент инерции сплошного твёрдого тела определяется по формуле
,
где 
- расстояние от элемента объема 
с массой d m до оси вращения; r - плотность вещества.
Момент силы относительно точки О это вектор, определяемый как векторное произведение радиус-вектора и силы
,
где 
- сила, 
- радиус-вектор, проведенный из точки О, в точку приложения силы.
Момент силы относительно оси вращения это проекция вектора момента силы относительно точки на произвольную ось z, которая проходит через точку О:
.
Основным элементом маятника Обербека (рис. 1) является крестовина (1), на стержнях которой размещены грузы (2). Грузы можно перемещать по стержням и закреплять в нужном положении. Крестовина с грузами насажена на вал, с двумя шкивами различных радиусов (r ш). На один из шкивов наматывается нить (4), переброшенная через блок (5). К концу нити подвешен груз массой m (3). Под действием силы тяжести груза система приводится в движение.
На вертикальном штативе установлены две неподвижные рамки с оптическими осями (световые барьеры), между которыми может двигаться груз. Груз удерживается в верхнем положении электромагнитом. Время падения груза от верхнего до нижнего светового барьера фиксируется на секундомере.
 |
Рисунок 1. Маятник Обербека.
На груз действует сила тяжести 
= m 
и сила натяжения . В соответствии со вторым законом Ньютона можно записать
В проекциях на вертикаль (с учётом знаков проекций)
(6.3)
где g - ускорение свободного падения; а – величина линейного ускорения, с которым движется груз.
Крестовина приходит во вращательное движение под действием момента силы натяжения
М = Fr о (6.4)
где r о - радиус шкива.
Из уравнений (6.2) - (6.4) можно получить
Используя соотношение между угловым и линейным ускорением а e = а/r 0, получим выражение для момента инерции
(6.5)
Из кинематики известно, что линейное ускорение при равноускоренном движении определяется по формуле
а = 2 h/t 2 (6.6)
где h - путь, пройденный грузом за время t принулевой начальной скорости.
Таким образом, подставляя (6.6) в (6.5), получим расчётную формулу для момента инерции крестовины с грузами
(6.7)
Из теоретических соображений следует, что момент инерции крестовины с четырьмя грузами массой 
(если считать грузы материальными точками), можно выразить формулой
(6.8)
где J 0 - момент инерции тела при r = 0.
Из формулы (6.8) следует, что Jр = f (r2). Следовательно, если построить график этой функции в координатах Jр – r 2, то должна получиться прямая, продолжение которой будет пересекать ось ординат в некоторой точке, соответствующей J о. Такое построение можно было бы сделать приближенно, «на глаз». Однако математические методы обработки результатов наблюдения позволяют сделать такое построение достаточно точным. Наиболее просто это можно сделать, с помощью метода наименьших квадратов, вычислив J 0 и .
Для этого перепишем формулу (7.8) в виде
, (6.9)
где r2 = х и 4 m ' = b.
Метод наименьших квадратов позволяет найти коэффициенты уравнения (6.9) J 0 и b, используя формулы
(6.10)
здесь 
число опытов; Ji - экспериментальные значения момента инерции J э, полученные для каждого опыта.
Порядок выполнения работы
При выполнении работы следует строго соблюдать правила техники безопасности и охраны труда, установленные в лаборатории. Работа выполняется в соответствии с нижеизложенным порядком выполнения и в объёме, предусмотренном индивидуальным заданием.
.Записать в таблицу технические данные приборов:
| № п.п. | Название прибора | Пределы измерений | Число делений | Цена деления | Класс точности | Абсолютная приборная погрешность |
1. Установить на вертикальном штативе со шкалой две неподвижные рамки (световые барьеры) на расстоянии 40-50 см друг от друга.
2. Измерить радиус шкива r ш, на котором ведется эксперимент и путь, пройденный грузом.
3. Установить грузы на стержнях на максимальное расстояние от оси вращения и закрепить. Измерить радиус r и записать в таблицу 1.
4. Включить установку нажатием кнопки «сеть».
5. Отключить электромагнит нажатием кнопки «пуск» и «сброс».
6. Намотать нить на шкив, установив подвешенный груз на уровне верхней рамки (над оптической осью верхнего светового барьера).
7. Закрепить груз, нажав кнопку «пуск» и обнулить счетчик (кнопка «сброс»).
8. Отпустить груз (кнопка «пуск») записать измеренное время движения груза t до оптической оси нижней рамки.
9. Произвести не менее 3-х измерений времени t и вычислить 
.
10. Сместить грузы на стержнях на 1–2 деления к центру и повторить п.п. (3-6), измеряя расстояние r от оси вращения до центра масс груза.
11. Повторить измерения для 8–10 положений грузов.
12. Записать результаты эксперимента в таблицу 1.
Таблица 1
| Физ. величина | r | t | 
| J э | J р |
| Ед. измерения Номер опыта | |||||
| … | |||||
| n |