ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ
|
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра общей и технической физики
МЕХАНИКА
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2019
РАБОТА 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА
Цель работы - изучение маятника Максвелла и определение с его помощью момента инерции твердых тел.
Теоретические основы лабораторной работы
В данной лабораторной работе момент инерции твёрдых тел определяется экспериментально с помощью маятника Максвелла.
Маятник Максвелла представляет собой однородный диск С, через центр которого проходит металлический стержень D (рис.7.1). К концам этого стержня прикреплены две нити. Они тщательно, виток к витку, наматываются на стержень в направлении от его конца к диску. При этом диск на стержне поднимается вверх. Если не удерживать диск в верхнем положении, то возникает поступательное движение маятника вниз и его вращательное движение вокруг оси симметрии. Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения (когда нити уже размотаны), приводит вновь к наматыванию нити на стержень. Диск снова поднимается вверх и движение повторяется, т.е. возникают колебания.
 
|
Рисунок 7.1. Маятник Максвелла. T - сила натяжения одной нити подвеса; a - ускорение маятника.
Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения.
Момент инерции тела величина аддитивная. Если мысленно представить тело состоящим из большого число весьма малых элементов D mi, то момент инерции такого дискретного тела приближённо определяется по формуле
Приближение тем точнее, чем больше количество разбиений тела на элементарные массы D mi.
При бесконечно большом значении числа элементарных масс i стремится к бесконечности, а D mi. стремится к нулю. Тогда момент инерции сплошного твёрдого тела (непрерывное распределение масс) определяется по формуле
= 
(7.1)
где ri - расстояние от элемента до оси вращения; r - плотность вещества в элементе объема d V, находящегося на расстоянии r от оси вращения.
Таким образом, задача нахождения момента инерции различных тел сводится к интегрированию по формуле (7.1) для соответствующего объёма тела.
При выводе расчётных формул использованы соотношения для моментов инерции тел, и закон сохранения полной механической энергии.
Учитывая, что момент инерции тела величина аддитивная, теоретическое значение момента инерции маятника Максвелла J т можно определить в виде суммы моментов инерции, полученных как результат интегрирования по формуле (7.1) для его трёх элементов: оси маятника, диска и кольца, надетого на диск
(7.2)
В формуле (7.2):
момент инерции оси маятника 
;
момент инерции диска 
момент инерции кольца, надетого на диск 
;
здесь R 0, m 0, R Д, m Д, R К, m К - соответственно радиусы и массы оси, диска и кольца.
Кинетическая энергия маятника массой m, поднятого и зафиксированного на высоте h, равна нулю. Полная механическая энергия определяется только потенциальной энергией E п = mgh.
В нижнем положении маятника E п = 0, и полная механическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного 
и вращательного 
движений
(7.3)
При таком движении модуль угловой скорости w, модуль линейной скорости u и радиус диска R связаны соотношением
(7.4)
Из закона сохранения следует, что полная энергия маятника в верхнем и нижнем положениях должна быть одинакова, т.е.
(7.5)
Отсюда, учитывая соотношение (4), момент инерции маятника
(7.6)
Для равнопеременного движения связь между расстоянием h, пройденным телом, величиной скорости uи временем t имеет вид
(7.7)
Подставляя последнее выражение в формулу (7.6), получим зависимость для определения экспериментального значения момента инерции
(7.8)
Формулу (7.8) можно вывести и на основе уравнений динамики для поступательного и вращательного движения (см. лаб. работа № 5).
Описание установки
Общий вид установки представлен на рис. 7.2. В основании 1установки закреплена колонка 8 и электронный секундомер 2, к колонке 8 прикреплен неподвижно верхний кронштейн 9 и подвижный нижний кронштейн 7. На верхнем кронштейне находится электромагнит 10 и фотоэлектрический датчик 11, а на нижнем кронштейне – фотоэлектронный датчик 3.
Маятник представляет собой диск 5, закрепленный на оси 6, подвешенной на двух нитях 4 (бифилярный подвес). На диск можно насаживать сменные кольца 12, изменяя, таким образом, момент инерции системы.
Маятник удерживается в верхнем положении электромагнитом 10. Фотоэлектрические датчики 3 и 11 соединены с электронным секундомером 2. Верхний электронный датчик фиксирует момент начала движения маятника, а нижний - окончания движения (опускания) маятника.
