Тьюторское сопровождение
1. Умение: Применять признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9 и 10.
Признаки делимости.
На 10. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.
На 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то это число без остатка на 5 не делится.
На 2. Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то число без остатка на 2 не делится.
На 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
На 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Пример 1: Выясните, делятся ли числа 4248 и 9409 на 9?
Решение:
1) Найдем сумму цифр числа 4248:
4 + 2 + 4 + 8 = 18.
Число 18 делится на 9, значит, и число 4248 также делится на 9.
2) Найдем сумму цифр числа 9409:
9 + 4 + 0 + 9 = 22.
Число 22 не делится на 9, значит, и число 9409 не делится на 9.
Пример 2: Какие цифры следует поставить вместо звездочки в записи 427*, чтобы полученное число делилось на 2 и 3?
Решение:
Чтобы число делилось на 2, оно должно заканчиваться четной цифрой, то есть подходят цифры 0, 2, 4, 6 и 8.
Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3.
4 + 2 + 7 = 13.
13 + 2 = 15 – делится на 3.
13 + 5 = 18 – делится на 3.
13 + 8 = 21 – делится на 3.
То есть, чтобы число делилось на 3, на конце могут стоять цифры 2, 5 и 8. По условию исходное число должно делиться и на 2, и на 3, поэтому подходят только цифры 2 и 8.
Ответ: 2 и 8.
2. Умение: Раскладывать на простые множители натуральные числа.
Определение. Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.
Правило. Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.
При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости.
Пример: Разложите на простые множители число 504.
Решение:
Данное число четное, то есть делится на 2:
504: 2 = 252
Число 252 также делится на 2:
252: 2 = 126
126: 2 = 63
Число 63 делится на 3, так как сумма его цифр делится на 3:
63: 3 = 21
21: 3 = 7
7 – простое число, значит, разложение на множители закончено.
Имеем: 504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7.
3. Умение: Находить наибольший общий делитель (НОД) чисел.
Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.
Алгоритм нахождения НОД чисел
Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произведение оставшихся множителей.
Пример: Найдите НОД чисел 126 и 60.
Решение: Разложим данные числа на простые множители:
126 = 2 · 3 · 3 · 7.
60 = 2 · 2 · 3 · 5.
Из множителей, входящих в разложение первого числа, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа. Остаются множители 2 и 3. Их произведение равно 6. Это число является наибольшим общим делителем чисел 126 и 60.
4. Умение: Находить наименьшее общее кратное (НОК) чисел.
Правило: Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и b.
Алгоритм нахождения НОК чисел
Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Пример: Найдите НОК чисел 30 и 84.
Решение: Разложим данные числа на простые множители:
30 = 2 · 3 · 5.
84 = 2 · 2 · 3 · 7.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 7 из разложения второго числа. Получим пять множителей: 2, 2, 3, 5 и 7, произведение которых равно 420. Это число и является НОК чисел 30 и 84.
5. Умение: Сокращать дроби.
Основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Определение 1: Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.
Определение 2: Наибольшее число, на которое можно сократить дробь, – это наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя.
Если НОД числителя и знаменателя дроби ищется легко, то можно сразу сократить дробь. Например, НОД чисел 120 и 180 равен 60. Значит, дробь 
можно сократить на 60. Получим:
.
Если же НОД числителя и знаменателя дроби быстро найти не удается, то можно разложить их на простые множители. Например,
.
Сократим на 2 · 2 · 3 и получим:
.
Тот же результат можно было получить, последовательно сокращая дробь на 2, 2 и 3.
6. Умение: Сравнивать дроби с разными знаменателями.
Правило 1: Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти НОК знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, то есть найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Правило 2: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сравнить полученные дроби.
Пример: Сравните дроби 
и 
.
Решение: Приведем дроби к общему знаменателю 36:
;
.
Так как 
< 
, то 
< 
.
7. Умение: Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.
Для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями необходимо знать алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю (см. умение 6).
Правило: Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сложить (вычесть) полученные дроби.
Пример: Найдите значение суммы 
и 
.
Решение:
.
8. Умение: Складывать и вычитать смешанные числа.
Правило 1: Чтобы сложить смешанные числа, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; 2) отдельно выполнить сложение дробных частей и отдельно – целых частей.
Правило 2: Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; 2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно – дробных частей.
Пример 1: Найдите значение суммы 
.
Решение:
.
Пример 2: Найдите значение разности 
.
Решение:
.
9. Умение: Решать уравнения, содержащие дроби и смешанные числа.
При решении уравнений следует помнить ряд правил:
1) Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
2) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
3) Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Также для решения уравнений необходимо умение складывать (вычитать) дроби и смешанные числа.
Пример 1: Решите уравнение: 
.
Решение:
x = 
x = 
x = 
.
Пример 2: Решите уравнение: 
= 1,9.
Решение:
x = 
x = 
x = 
x = 
x = 
10. Умение: Находить значения выражений, содержащих дроби и смешанные числа.
Для нахождения значений выражений необходимо умение складывать (вычитать) дроби и смешанные числа.
Пример: Найдите значение выражения: 
при а = 1,2.
Решение:
.
11. Умение: Решать текстовые задачи.
При решении задачи очень важно осознать ее условие: выделить данные величины и величины, значения которых неизвестны. Необходимо выделить основной вопрос задачи и ряд вопросов, ответы на которые и позволят решить задачу.
Для решения задачи полезно моделировать ее условие. Модель может быть представлена в виде схемы, рисунка, краткой записи и т. п.
Пример: В одном ящике 5 
кг яблок, что на 2 
кг меньше, чем во втором ящике. Сколько всего килограммов яблок в двух ящиках?
Решение:
1) 
(кг) – во втором ящике.
2) 
(кг) – в двух ящиках.
Эту задачу можно было решать не по действиям, а с помощью составления выражения:
.
Ответ: 14 
кг.