Гиперболический параболоид

Каноническое уравнение гиперболического параболоида с полуосями a>0, b>0имеет вид:

Исследуем форму гиперболического параболоида. Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью XOY. На этой плоскости z=0, поэтому

Это уравнение определяет на плоскости пару прямых изображенных на рис. 1.8.36.

Найдем линию пересечения с плоскостью YOZ. На этой плоскости x=0, поэтому

Это уравнение на плоскости YOZ задает параболу, ветви которой направлены вниз (рис. 1.8.36). Сечение плоскостью XOZ также является параболой , но ее ветви направлены вверх (рис. 1.8.36).

Рис.1.8.36.

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью z=-h, h>0. Уравнения этой линии:

Первое уравнение преобразуем к виду:

то есть к виду:

где .

Данное уравнение является уравнением гиперболы.

Ее действительная ось параллельна оси OY, а мнимая – оси OX. Полуоси равны соответственно (рис. 1.8.37).

Найдем линии пересечения с плоскостями , параллельными плоскости YOZ. Уравнения этих линий:

Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью x=0, только сдвинутой вдоль оси OX на величину вверх.

Эти параболы изображены на рисунке 1.8.37.

Рис.1.8.37.

Так как m - произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости x=0.

Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости YOZ, а вершина скользила по параболе в плоскости y=0.

Плоскость z=h>0, пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы в плоскости z=-h<0, ее действительная ось параллельна теперь оси OX, а мнимая- оси OY(рис. 1.8.38).

Гиперболический параболоид изображен на рисунках 1.8.39, 1.8.40.

Рис. 1.8.38.

Рис1.8.39.

Рис.1.8.40.

Цилиндры

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые - образующими.

Рассмотрим уравнение вида F(x;y)=0. В это уравнение не входит явно переменная-z. Покажем, что оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ. Ему будут удовлетворять координаты всех точек , где z - любое число.

Следовательно, при любом точка M лежит на поверхности, определяемой этим уравнением. Отсюда следует, что на поверхности целиком лежит прямая, проходящая через точку параллельно оси OZ. А это означает, что поверхность, определяемая уравнением, составлена из прямых, параллельных оси OZ, то есть она является цилиндрической поверхностью.

Заметим, что на плоскости уравнение F(x;y)=0 определяет направляющую рассматриваемой цилиндрической поверхности.

Итак, если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой-либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.

Для того чтобы построить поверхность, задаваемую уравнением F(x;y)=0, достаточно изобразить на плоскости направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси OZ.

Для наглядности следует построить также одно-два сечения плоскостями, параллельными плоскости XOY.

В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая.

а) эллиптический цилиндр (рис.1.8.41, 1.8.42, 1.8.43):