Тьюторское сопровождение

1. Умение: Применять понятия положительного и отрицательного числа, координаты точки на прямой.

Понятие 1: Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

Понятие 2: Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой точки.

Правило изображения чисел на прямой: Числа со знаком «+» (положительные) изображают справа от точки О (0); числа со знаком «–» (отрицательные) изображают слева от точки О (0).

Пример 1: Изобразите на координатной прямой точки О (0), А (–5), В , С (–3,5).

Решение:

Пример 2: Запишите числа, соответствующие координатам точек А, В, С, D.

Решение: –4; 3; –1; 3,5.

Ответ: –4; 3; –1; 3,5.

2. Умение: Применять понятия противоположного числа и целого числа.

Понятие 1: Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Понятие 2: Натуральные числа, противоположные числа и нуль называют целыми числами.

Правила: Для каждого числа есть только одно противоположное ему число.

Число 0 противоположно самому себе.

Число, противоположное а, обозначают –а.

Пример 1: Запишите числа, противоположные числам 7; –13; 0; 1,7.

Решение:

Если а = 7, то –а = –7.

Если а = –13, то –а = –(–13) = 13.

Если а = 0, то –а = 0.

Если а = 1,7, то –а = –1,7.

Пример 2: Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами –3,5 и 2 .

Решение: Изобразите на координатной прямой точки с координатами –3,5 и 2 .

Между этими двумя точками расположены точки с координатами –3; –2; –1; 0; 1; 2.

Ответ: –3; –2; –1; 0; 1; 2.

3. Умение: Находить модуль целого числа.

Правило: Чтобы найти модуль числа а, необходимо найти расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а).

Обозначение: |а| – модуль числа а.

Свойства модуля числа: 1) |0| = 0. Модуль числа 0 равен 0.

2) |–а| = |а|. Модули противоположных чисел равны.

3) Модуль числа не может быть отрицательным.

Пример: Найдите модуль каждого из чисел: 13; –71; 18 ; 0; –363,7.

Решение: |13| = 13; |–71| = 71; = 18 ; |0| = 0; |–363,7| = 363,7.

Ответ: 13; 71; 18 ; 0; 363,7.

4. Умение: Сравнивать целые числа и определять изменение величин.

Правило сравнения чисел: На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

Следствия: 1) Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

2) Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа.

3) Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Обозначения: 6 > 4; –5 < 8; –9 < –3,5.

Пример: Сравните числа 8,5 и 9,3; –5 и 12,6; –8 и –123; и .

Решение: 8,5 < 9,3 (так как точка с координатой 9,3 расположена правее точки с координатой 8,5).

–5 < 12,6 (отрицательное число меньше положительного).

–8 > –123 (|–8| = 8, |–123| = 123; 8 < 123, значит –8 > –123).

, значит, ,

следовательно, .

Ответ: 8,5 < 9,3; –5 < 12,6; –8 > –123; > .

Правило обозначения изменения величины: Увеличение любой величины можно выразить положительными числами, а уменьшение – отрицательными.

Пример 1: Отметьте на координатой прямой точку А (–1,5). Укажите точку В, в которую перейдет точка А при перемещении по координатной прямой на –4, и точку С, в которую перейдет точка В при перемещении на +7.

Решение: Отметим точку А (–1,5) на координатной прямой. Покажем стрелкой перемещение влево на 4 единичных отрезка, что будет соответствовать изменению величины –1,5 на –4.

Точка В имеет координату –5,5.

Обозначим стрелкой перемещение вправо на 7 единиц от точки В, что будет соответствовать изменению величины –5,5 на +7.

Точка С имеет координату 1,5.

Ответ: В (–5,5); С (1,5).

5. Умение: Складывать отрицательные числа.

Определение: Прибавить к числу а число b – значит изменить число а на b единиц. Любое число от прибавления положительного числа увеличивается, а от прибавления отрицательного – уменьшается.

Правило: Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и поставить знак «–» перед полученным числом.

Пример 1: Прибавить к числу –3 число –4 означает изменить число –3 на –4. Покажем стрелкой изменение числа –3.

Получаем: –3 + (–4) = –7.

Ответ: –7.

Пример 2: Выполните сложение: –3 + (–28); –6,5 + (–3,8); –2,3 +
+ .

Решение: –3 + (–28) = –(3 + 28) = –31;

–6,5 + (–3,8) = –(6,5 + 3,8) = –10,3;

– 2,3 +

Ответ: –31; –10,3; –3 .

6. Умение: Складывать числа с разными знаками.

Правило: Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:

1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший;

2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Примечание: Удобно определять знак суммы, если мысленно (или в тетради) представить координатную прямую и стрелками последовательно от нуля показать изменения величин. Если в итоге точка слева от нуля, то знак суммы «–», в противном случае – «+».

Пример 1: Выполните сложение чисел 2 + (–7) и –15 + 18 с помощью координатной прямой.

Решение: а) Покажем последовательное изменение величин на +2 и –7.

2 + (–7) = –5.

б) Покажем последовательное изменение величин на –15 и +18.

–15 + 18 = 3.

Ответ: –5; 3.

Пример 2: Выполните сложение:

–73 + 282; –25,6 + 11,3; 25 + (–7); 3,4 + .

Решение: а) –73 + 282 = +(282 – 73) = 209 (так как |282| > |–73|).

б) –25,6 + 11,3 = – (25,6 – 11,3) = –14,3 (так как |–25,6| > |11,3|).

в) 25 + (–7) = +(25 – 7) = 18 (так как |25| > |–7|).

г) 3,4 +

(так как |3,4| < ).

7. Умение: Выполнять вычитание положительных и отрицательных чисел.

Правило: Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а – b = а + (– b).

Замечание: Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму.

Пример 1: Выполните вычитание чисел: 15 – (–2); 3,7 – 10,3; ; 0 – 3,7.

Решение:

а) 15 – (–2) = 15 + 2 = 17;

б) 3,7 – 10,3 = 3,7 + (–10,3) = – (10,3 – 3,7) = – 6,6.

в)

г) 0 – 3,7 = 0 + (–3,7) = –3,7.

Ответ: 17; –6,6; –1 ; –3,7.

Пример 2: Решите уравнение: а) –3 + х = 5,6; б) 4 – у = –5,3.

Решение:

а) –3 + х = 5,6

х = 5,6 – (–3) (Находим неизвестное слагаемое.)

5,6 – (–3) = 5,6 + 3 = 8, 6

х = 8,6.

б) 4 – у = –5,3

4 + (– у) = –5,3

– у = –5,3 – 4 (Находим неизвестное слагаемое.)

– у = –5,3 + (–4)

– у = – (5,3 + 4)

– у = – 9,3 (Находим значение противоположного числа.)

у = 9,3.

Ответ: а) х = 8,6; б) у = 9,3.

8. Умение: Умножать положительные и отрицательные числа.

Правило 1: Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «–».

Правило 2: Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.

Пример 1: Выполните умножение чисел: 9 · (–3); 0,6 · (–5);
–1,2 · (–0,4); .

Решение:

а) 9 · (–3) = – (9 · 3) = –27.

б) 0,6 · (–5) = – (0,6 · 5) = –3.

в) –1,2 · (–0,4) = 1,2 · 0,4 = 0,48.

г)

Ответ: –27; –3; 0,48; 1 .

Пример 2: Найдите значение выражения .

Решение: Выполним вычисления по действиям.

а) 24,3 · = 13,5;

б) –15,3 – 13,5 = –15,3 + (–13,5) = – (15,3 + 13,5) = –28,8;

в) · (–28,8) = – = –24.

Ответ: –24.

9. Умение: Выполнять деление положительных и отрицательных чисел.

Правило 1: Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Правило 2: При делении чисел с разными знаками надо: 1) разделить модуль делимого на модуль делителя; 2) поставить перед полученным число знак «–».

Правило 3: При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль.

На нуль делить нельзя!

Пример 1: Выполните деление чисел: –7: 5; : (–4); .