Тьюторское сопровождение

1. Умение: Применять понятие рационального числа.

Понятие: Рациональным называется число, которое можно записать в виде , где а – целое число, а n – натуральное.

Свойства: 1) Любое целое число а является рациональным, так как его можно записать в виде .

2) Сумма, разность и произведение рациональных чисел – тоже рациональное число.

3) Если делитель отличен от нуля, то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.

4) Любое рациональное число можно записать либо в виде десятичной, либо в виде периодической дроби.

Пример 1: Представьте в виде (где а – целое число, а n – натуральное) произведение .

Решение:

.

Ответ: .

Пример 2: Выразите в виде десятичной или периодической дроби числа: а) ; б) 5 ; в) .

Решение:

= 0, (5)

б) = 5,52;

в) = 0,1(6).

Ответ: а) 0,(5); б) 5,52; в) 0,1(6).

2. Умение: Применять переместительный и сочетательный законы сложения рациональных чисел.

Правило: Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Если а, b и с – любые рациональные числа, то

а + b = b + a;

а + (b + c) = (a + b) + c;

a + 0 = a;

a + (– а) = 0.

Пример 1: Сложив сначала противоположные числа, найдите значение выражения: 259 – 643 – 372 – 259 + 643.

Решение: Сумма противоположных чисел равна нулю, значит:

259 + (–259) = 0

–643 + 643 = 0

259 – 643 – 372 – 259 + 643 = –372.

Ответ: –372.

Пример 2: Упростите выражение: 3,7 – а + 2,9 + b – 7,63 + а – b.

Решение: Выделим противоположные числа и сгруппируем слагаемые:

3,37 – а – 2,9 + b – 7,63 + а – b = 3,37 – 2,9 + 7,63 = (3,37 + 7,63) –
– 2,9 = 11 – 2,9 = 8,1.

Ответ: 8,1.

3. Умение: Применять переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения рациональных чисел.

Правило: Если а, b и с – любые рациональные числа, то

а · b = b · a;

а · (b · c) = (a · b) · c;

a · 1 = a; а · = 1; а ¹ 0;

а · 0 = 0;

а · b = 0, если а = 0 или b = 0;

(а + b) · с = ас + bc.

Пример: Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:

а) –4 · 16 · 25 · (–9);

б) 7,2 · (–0,4) + 2,8 · (–0,4);

в) · (–28).

Решение:

а) –4 · 16 · 25 · (–9) = (–4 · 25) · (16 · (–9)) =

= –100 · (–144) = 144 · 100 = 14400;

б) 7,2 · (–0,4) + 2,8 · (–0,4) = (7,2 + 2,8) · (–0,4) = 10 · (–0,4) =

= – (0,4 · 10) = –4;

в) 8 + 21 = 29.

Ответ: а) 14400; б) –4; в) 29.

4. Умение: Раскрывать скобки в выражении.

Правило: 1) Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «+».

2) Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки слагаемых:

–(а + b) = – а – b.

3) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–», надо изменить этот знак на «+», поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Пример 1: Найдите значение выражения, раскрыв предварительно скобки:

а) 5,9 – (7,3 – 8,1);

б) (3,52 – 2,63) – (4,02 + 3,13).

Решение:

а) 5,9 – (7,3 – 8,1) = 5,9 + (–7,3 + 8,1) = 5,9 – 7,3 + 8,1 = 5,9 + 8,1 –
– 7,3 = 14 – 7,6 = 6,7;

б) (3,52 – 2,63) – (4,02 + 3,13) = 3,52 – 2,63 + (–4,02 – 3,13) =
= 3,52 –2,63 – 4,02 – – 3,13 = 3,52 – 4,02 – 2,63 – 3,13 = – 1,5 – 2,63 –
– 3,13 = –4,13 – 3,13 = –4,13 + (–3,13) = – (4,13 + 3,13) = –7,26.

Ответ: а) 6,7; б) –7,26.

Пример 2: Упростите выражение m – (13 + m).

m – (13 + m) = m + ( –13 – m) = m – 13 – m = –13.

5. Умение: Находить числовой коэффициент произведения и приводить подобные слагаемые.

Определение 1. Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом).

Определение 2. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

Правило: Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Пример 1: Найдите коэффициент произведения .

Решение: Перемножим числа, входящие в запись выражения:

= –2,4.

Ответ: –2,4.

Пример 2: Упростите выражение 7 х + 18 у – 14 х +32 у –13 у.

Решение: 7 х + 18 у – 14 х +32 у –13 у = 7 х – 14 х + 18 у + 32 у – 13 у =
= х · (7 – 4) + у (18 + 32 – 13) = 3 х + 47 у.

Ответ: 3 х + 47 у.

6. Умение: Решать уравнения.

Правила преобразования уравнений:

1) Корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

2) Корни уравнения не изменятся, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Определение: Уравнение вида ах = b, где а ¹ 0, называется линейным уравнением с одним неизвестным.

Алгоритм решения линейного уравнения:

1. Если необходимо избавиться от дробных коэффициентов, умножаем обе части уравнения на их общий знаменатель.

2. Переносим все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую, меняя знаки переносимых слагаемых на противоположные.

3. Приводим подобные слагаемые в обеих частях уравнения.

4. Решаем полученное уравнение ах = b, где а ¹ 0, делением обеих частей уравнения на а.

Пример: Решите уравнения.

а) 3 х = 12; б) 2 х – 14 = 0;

в) 3 х + 18 = 2 х – 11; г) –3 х – 22 = 7 х – 11;

д) ; е) .

Решение: а) 3 х = 12 |: 3

х = 4

б) 2 х – 14 = 0 в) 3 х + 18 = 2 х – 11

2 х = 14 |: 2 3 х – 2 х = –11 – 18

х = 7 х = –29

г) –3 х – 22 = 7 х – 11 д) · 8

–3 х – 7 х = –11 + 22 6 у – 100 = 9 у –1

–10 х = 11; |: (–10) 6 у – 9 у = –1 + 100

х = –3 у = 99; |: (–3)

х = –1,1 у = –33

е) . Используем основное свойство пропорции:

5 · 4,5 = (2 х + 3) · 2,5 |: 2,5

2 · 4,5 = 2 х + 3

9 = 2 х + 3

–2 х = 3 – 9

–2 х = –6 |: (–2)

х = 3

Ответ: а) 4; б) 7; в) –29; г) –1,1; д) –33; е) 3.

7. Умение: Решать задачи с помощью линейных уравнений.

Алгоритм решения задачи:

1. Анализируем условие задачи, выделяя известные и искомые величины, а также зависимости между ними. Результат анализа представляем в виде схемы, таблицы, наброска и т. д.

2. Обозначаем за х неизвестную величину и, используя зависимости, составляем уравнение.

3.Решаем полученное уравнение и записываем ответ задачи. Если за х обозначаем не главную искомую величину, то проводим дополнительные вычисления.

Пример: Решите задачу.

На первую автомашину погрузили на 0,6 т зерна больше, что на вторую. Если бы на первую автомашину погрузили в 1,2 раза больше, а на вторую в 1,4 раза больше, то груза на обеих машинах было бы поровну. Сколько тонн груза погрузили на каждую автомашину?

Решение: Схематично изобразим распределение груза по автомашинам в первом и втором случае в виде таблицы.

Пусть х т груза было во второй машине первоначально, тогда х +
+ 0,6 т – было в первой машине. Тогда 1,2 · (х + 0,6) и 1,4 х т груза стало в первой и второй машине соответственно во втором случае. Зная, что груза в автомашинах стало поровну, составим уравнение:

1,2 · (х + 0,6) = 1,4 · х

1,2 х + 1,2 · 0,6 = 1,4 х

1,2 х + 0,72 = 1,4 х

1,2 х – 1,4 х = –0,72

–0,2 х = –0,72; |: (–0,2)

х = 3,6

Значит, 3,6 т груза погрузили на вторую машину.

3,6 + 0,6 = 4,2 т груза погрузили на первую машину.

Ответ: 4,2 т; 3,6 т.

8. Умение: Применять понятие параллельных и перпендикулярных прямых; использовать координатную плоскость при решении задач.

Определение 1: Две непересекающиеся прямые на плоскости называются параллельными.

Обозначение: а || b.

Свойства: 1) Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны.

2) Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Определение 2: Системой координат на плоскости называется пара перпендикулярных координатных прямых х и у, которые пересекаются в начале отсчета – точке О.

Определение 3: Пусть М – произвольная точка плоскости. Она имеет координаты М (х ₀; у ₀), где х ₀ – абсцисса точки М, у ₀ – ордината.

Правило нахождения координат точки:

MN – перпендикулярная оси х. МК – перпендикулярная оси у.

Пример 1:Постройте точки А (2; 4); В (–3; 2); С (–1; –5).

Решение:

Пример 2:Среди точек А, В, С и D, изображенных на рисунке, найдите точки с противоположными абсциссами. Есть ли среди прямых АВ, ВС, СD и АD – параллельные?

Решение: 1) Определим координаты точек: А (–4; 5); В (3; 5); С (4; –3); D (–4; –3).

Противоположные абсциссы имеют точки А и С и С и D.

2) АВ || Ох, так как А и В имеют равные ординаты.

DC || Ох, так как D и С имеют равные ординаты.

Значит, АВ || DC.

Ответ: 1) А и С; С и D; 2) АВ || DC.

9. Умение: Применять столбчатые и круговые диаграммы и графики при решении задач.

Правило: Распределение числового значения некоторых величин удобно представлять в виде столбчатых или круговых диаграмм.

Пример 1: В классе 28 учеников. В таблице представлены результаты годовой контрольной по математике.

Отметка	«2»	«3»	«4»	«5»
Количество учеников

Изобразите распределение учеников по полученным отметкам в виде столбчатой и круговой диаграмм.

Решение: 1)

2) Для построения круговой диаграммы разделим круг на 4 сектора пропорционально количеству учеников, получивших определенную отметку:

«2» ≈ 0,04 круга; «3» ≈ 0,25 круга; «4» ≈ 0,6 круга; «5» ≈ 0,11 круга.

Пример 2: Постройте график зависимости веса Марины от ее возраста по следующим данным:

Возраст (в годах)
Вес (кг)

Решение: