КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.Общие сведения о кривых поверхностях
………………………………………………………………………………………………………
3.Поверхности вращения……………………………………………………………..
4.Многогранные поверхности……………………………………………………..
2.КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Общие сведения о кривых поверхностях
Кривые поверхности отличается большим разнообразием форм – от самых простых до сложнейших, причудливых. Поверхности, полученные на основе геометрического способа образования, отличается целостностью и структурной чёткостью, а также возможностью математического описания и точного отображения на чертеже.
Кривые поверхности открывает широкие возможности для оригинальных и выразительных архитектурных решений. Чтобы выбрать при проектировании ту или иную поверхность, архитектор должен не только представить её геометрическую форму на чертеже, но и выявить с помощью специальных графических построений и перспективных изображений светотеневые свойства поверхности, а также форму ее граничного и видимого контура для наиболее характерных точек зрения.
Однако геометрическая форма определяет не только эстетические качества поверхности. Выдающийся итальянский итальянский архитектор инженер П. Л. Нерви сказал: «Несущая способность конструкции – функцию геометрической формы». Современные оболочки способны перекрывать пролёты до 300 м. Так, висячие оболочка в виде эллиптического параболоида над стадионом «Олимпийский» в Москве имеет размеры главных осей 224 и 186 м.
Образование и задания поверхностей. В начертательной геометрии поверхность рассматривается как непрерывное множество последовательное положений линии, перемещающийся в пространстве по определенному закону (рис.2). Такой способ образования поверхностей называют кинематическим.
Линию l, которая при своем движении образует поверхность, называют образующей. Образующая может перемещаться по какой-либо другой неподвижной линии m, называемой направляющей. Поскольку образующая и направляющая могут иметь самую различную форму, то и поверхностей может быть образовано бесчисленное множество. Вместе с тем форма и закон перемещения образующей единственным образом определяют вид кривой поверхности.
Определитель и каркас поверхности. При движении образующей каждая ее точка описываема пространстве некоторую линию m1. Таким образом, вся поверхность окажется покрытой сетью линий, состоящей из двух семейств: семейства образующих l1,l2,... и семейства линий m,m1,..., описываемых отдельными точками образующей. Каждая линия одного семейства пересекает все линии второго семейства. Для изображения на чертеже выделяют некоторое количество линий,которые образуют линейный каркас поверхности.
Если закон движения образующей и её форма определённым образом заданы, то поверхность начертательной геометрии определяют не каркасом, а образующей и условиями её перемещения. При этом чертеж поверхности должен быть таким, чтобы на нём можно было выделить и построить любую линию и точку, принадлежащие поверхности.
Совокупность геометрических элементов и условий, необходимых и достаточных для однозначного задания поверхности в пространстве и на чертеже, называют определителем кинематической поверхности. Определитель поверхности содержит две части – геометрическую и алгоритмическую.
Из сказанного выше можно сделать следующий вывод: поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее к данной поверхности.
Построение точки, принадлежащей поверхности. Точка принадлежит поверхности, если она лежит на линии этой поверхности.
Чтобы по одной проекции точки, принадлежащей поверхности пристроить вторую проекцию (рис. 86,а),необходимо построить каркас поверхности I-II-III-IV, провести через заданную проекцию точки, например dʼ, вспомогательную линию mʼ– nʼ, принадлежащие поверхности а затем построить вторую проекцию вспомогательной линии m– n и проекцию искомой точки а. Если образующая каркаса совпадает с заданной проекцией точки b, построения второй проекции упрощается.
Чтобы построить горизонтальную проекцию произвольной точке С (рис. 3, б), принадлежащей поверхности вращения, необходимо провести через фронтальную проекцию сʼ вспомогательная параллель поверхности. Затем, построив горизонтальную проекцию параллели (окружности), определить на ней горизонтальную проекцию точки с. Как следует из приведённого построения, фронтальной проекции точки сʼ на горизонтальной проекции может соответствовать любая любая из четырёх протекций точек с1 и с4, лежащих на параллели внешней части поверхности, или с2 и с3, лежащих на параллели внутренней части поверхности. Точка А лежит на экваторе поверхности,точка b– на главном меридиане.
Очертание поверхности. Чтобы при- дать чертежу поверхности наглядность, строят ее очертание проекцию линии контура поверхности (рис. 4).
Контуром или контуром видимости поверхности называется линия точки которой являются точками касания проецирующих прямых. Проекция контура на плоскости проекций называется очертанием или очерком поверхности на данной плоскости (рис. 4, д). При изображении поверхности на чертеже проекцию контурной линии называют линией видимости, которая является границей, отделяющей видимую часть поверхности от скрытой, невидимой части на данной плоскости проекций.
При изображении поверхности на плоскостях проекций образуются разные линии ее контура (см. рис.4, б). При проецировании на фронтальную плоскость проекции контурными являются образующие AB и CD, а на горизонтальной проекции контурными будут образующие MN и EF. Линию или границу отсека поверхности, например линию основания цилиндра ко также представляет собой контурную линию, но не изменяет своего положения на поверхности ее при различных положениях относительно плоскостей проекций, называют граничным контуром поверхности.
Систематизация (классификация) поверхностей. Из большого числа возможных способов образования поверхностей рассмотрим основные способы, выделив главные признаки их классификаций.
1. По закону движения образующей — поверхности с поступательным движением образующей, с вращательным и винтовым движением образующей.
2. По виду образующей различают поверхности с прямолинейной образующей — линейчатые и поверхности криволинейной образующей — нелинейчатые.
3. По закону изменения формы образующей — с образующей постоянного или переменного вида.
4. По признаку развертывания поверхности на плоскость — развертываемые и неразвертываемые.
5. По способу задания поверхно сти-аналитическом у или графическому.
6.По дифференциальным свойствам —гладкие или негладкие поверхности и по признаку кривизны поверхности.
Необходимо отметить, что одни и те же поверхности могут быть классифицированы по различным признакам. Поэтому в качестве основного признака выделим вид образующей и характер ее перемещения, т. е. кинематический признак образования поверхностей.
Закон перемещения удобно задавать неподвижными линиями — направляющими, которые должны пересекать движущаяся образующая. Образующие и направляющие, принадлежащие двум семействам линий, образуют т. н. сетчатый каркас кинематической поверхности.
На рис. 1 (стр.3) приведена одна из возможных классификационных схем. Все кривые поверхности разделены на два класса: первый класс является основным — это поверхности, образуемые кинематическим способом,второй класс поверхности, задаваемые каркасом. Первый класс в зависимости от вида образующей делится на два под класса линейчатые и нелинейчатые поверхности. Второй класс также делится на два подкласса поверхностей регулярные и нерегулярные поверхности. Подклассы включают группы или виды поверхностей.
Как уже упоминалось некоторые поверхности могут быть отнесены одновременно к различным группам, подклассам и классам. Например, цилиндрическая поверхность вращения является линейчатой и поверхностью вращения. Она может быть отнесена также к различным классам и представлена непрерывным каркасом двух семейств линий — прямых образующих и семейством кривых линий — окружностей.
Далее будут рассмотрены формообразование и свойства следующих видов поверхностей: 1) поверхности вращения; 2) винтовые поверхности; 3)развертываемые поверхности; 4) поверхности с плоскостью параллелизма; 5) поверхности параллельного переноса; 6) каркасные поверхности.
3.ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением линии – прямой или кривой, которая называется образующей, вокруг неподвижной прямой – оси вращения. Окружности, по которым перемещаются все образующие точки, называются параллелями; наибольшую параллель называют экватором, наименьшую – горловиной.
Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность по линиям, которые называют меридианами. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельный плоскости проекций называется главным и проецируется на эту плоскость проекции очерком поверхности. Параллели и меридианы, пересекаясь между собой, образуют на поверхности сеть вращения.
Поверхности вращения, образованные вращением кривой линии.
Сфера. Поверхность сферы образуется вращением окружности вокруг диаметра.
Эллипсоид вращения. Если сферу сжать или растянуть вдоль одного из диаметров, то образуются эллипсоиды вращения, их меридианом является эллипс.(рис.5,а)
Если эллипс вращается вокруг большой оси, то эллипсоид называют вытянутым; если вращение происходит вокруг малой оси, эллипсоид называют сжатым.
Тор. Поверхность Тора образуется вращением окружности вокруг оси, не проходящей через ее центр, но расположенный в плоскости окружности. Если окружность не пересекает ось вращения, поверхность называют открытым тором. Если ось касается окружности, то поверхность называют закрытым тором. Если ось пересекает окружность, то называют самопересекающимся.(рис.5,б)
Параболоид вращения. Меридианом поверхности является Парабола, ось которой служит осью поверхности.(рис.5,в)
Гиперболоид вращения. Меридианом поверхности является гипербола. Если ось вращения совпадает с действительной осью гиперболы, образуется двухполосный гиперболоид вращения; если осью вращения является мнимая ось, то — однополосный.(рис.5,г,д)
Развертываемые поверхности. Развертываемой называется поверхность, которую можно развернуть без разрывов и складок и совместить с плоскостью
Развертываемые линейчатые поверхности. Цилиндрическая поверхность образуется параллельным перемещением образующей прямой L по некоторой кривой направляющей линии.(рис.6,а)
Коническая поверхность образуется движением образующей прямой, проходящей через неподвижную точку S, по кривой направляющей n.
Торсовая поверхность. Линейчатая поверхность, образованная множеством положений движущейся образующей прямой, которая является касательной к кривой линии. Такая поверхность может быть задана только одной направляющей линией.(ри.6,б)
Направляющая торцевой поверхности называется ребром возврата, так как сечение поверхности плоскостью представляет собой кривую с особой точкой возврата, расположенной на ребре возврата. Точка касания делит касательную на две прямые, а ребро возврата делит поверхность на две полости, что наглядно является линией сечения. Если ребро возврата преобразовать в плоскую кривую, то поверхность торса вырождается в отсек плоскости.
Поверхности с плоскостью параллелизма. Рассмотрим некоторые линейчатые поверхности с двумя направляющими m и n, образующая которых параллельна плоскости P, называемой направляющей P или плоскостью параллелизма.(рис.7)
Цилиндроид. Цилиндроидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым линиям M и N, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма Р (рис.8, а). Направляющие могут быть как плоскими так и пространственными кривыми. Поверхность цилиндроида находит применение при проектировании и строительстве оболочек, покрытий промышленных зданий.
Коноид. Коноидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим, одна из которых кривая линия m, а другая – прямая n, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма.
Гиперболический параболоид. Гиперболическим параболоидом или косой плоскостью называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей, параллельной плоскости параллелизма Z, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым M и N. (см.рис.7)Гиперболический параболоид – поверхность, дважды линейчатая, как и однополостный гиперболоид. Она содержит два семейства прямолинейных образующих. Если принять за направляющие прямые AB и CD, а плоскость параллелизма – горизонтально проецирующую плоскость С, мы получим первое семейство образующих, параллельных плоскости параллелизма и пересекающих направляющий прямые. Если принять за направляющие прямые крайние образующие первого семейства, которые также являются скрещивающимися прямыми, получим второе семейство образующих. Образующие одного семейства – скрещивающиеся прямые; каждая образующая одного семейства пересекает все образующие второго семейства. Таким образом, гиперболический параболоид имеет непрерывный сетчатый каркас из двух семейств пересекающихся.
4.МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Призматоидом называется многогранник, которого верхнее и нижнее основание – многоугольники,расположенные в параллельных плоскостях, а юоковые грнаи представляют собой треугольники и трапеции, вершины которых являются вершинами оснований призматоида.