Программа курса «Высшая математика»




Контрольная работа №1

по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

 

 

для студентов 1-го курса заочной формы обучения

экономических и инженерно-технических специальностей

 

(осенний семестр)

 

Вариант №5

 

УТВЕРЖДЕНО

на заседании кафедры

«Прикладная математика»

протокол №1 от 28.08.2009

 

Луганск-2009

 

Вариант №5 контрольной работы №1

 

Задача №1. Даны координаты вершин треугольника :

; ; .

Необходимо найти:

1. длину стороны ;

2. уравнение сторон и и их угловые коэффициенты;

3. угол между прямыми и в радианах;

4. уравнение высоты и ее длину;

5. уравнение медианы и координаты точки пересечения этой медианы с высотой ;

6. уравнение прямой , которая проходит через точку параллельно к стороне ;

7. координаты точки , которая находится симметрично точке относительно прямой .

Задача №2. Дано: точка и прямая . Необходимо составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от заданной токи и прямой . Получено уравнение привести к простейшему виду и построить график кривой.

Задача №3. Заданы две системы линейных уравнений. Решить первую систему методом Крамера. Полученый при решении первой системы результат проверить с помощью метода обратной матрицы. Вторую систему решить с помощью метода Гаусса.

1. 2.

Задача №4. Даны координаты вершин пирамиды :

, , , .

Необходимо:

1. Записать векторы , , в ортонормальной системе и найти модули этих векторов.

2. Найти угол между векторами и .

3. Найти проекцию вектора на вектор .

4. Вычислить площадь грани .

5. Найти объем пирамиды .

Задача №5. Даны координаты четырех точек:

, , , .

Необходимо:

1. Составить уравнение плоскости , которая проходит через точки , и .

2. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку перпендикулярно к плоскости .

3. Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью и с координатными плоскостями , . .

4. Найти расстояние от точки к плоскости .

Задача №6. Вычислить следующие пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) 8) ; 9) .

10) .

Задача №7. Заданную функцию исследовать на непрерывность и выяснить характер точек разрыва. Сделать схематический график

 

1) 2)

Задача №8. Найти первую производную заданных функций:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Задача №9. Найти первую производную заданных функций:

1) ; 2) ; 3)

Задача №10. Дана функция и два значения аргумента и . Необходимо найти приближенное значение данной функции при , используя ее значение при и заменяя приращение функции соответствующим дифференциалом :

1) ; ; ; 2) ; ; .

Задача №11. Выполнить полное исследование заданных функций и построить их графики:

1) ; 2) ; 3) .

Задача №12. Используя методы дифференциального исчисления, решить следующие физические задачи:

1. При подготовке к экзамену студент за дней изучает -ю часть курса и забывает -ю часть. Сколько дней нужно потратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса? Решить задачу при условии, что .

 

2. Тело массой падает из высоты метров и теряет массу (сгорает) пропорционально времени падения. Коэффициент пропорциональности . Считая, что начальная скорость , ускорение , найти наибольшую кинетическую энергию тела. Решить задачу при условии, что .


Программа курса «Высшая математика»

для студентов 1-го курса экономических

и инженерно-технических специальностей

заочной формы обучения.

 

(осенний семестр)

 

1. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители N-го порядка. Вычисление определителя методом разложения по строке или столбцу.

2. Системы двух и трех линейных уравнений. Математическая запись системы линейных уравнений. Правило Крамера. Обобщение на случай системы N линейных уравнений с N неизвестными.

3. Матрицы. Действия с ними. Понятие обратной матрицы. Метод Гаусса. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Решение систем линейных уравнений матричным методом и методом Гаусса.

4. Общая теория систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные линейные системы N уравнений с N неизвестными.

5. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Линейно-независимые системы векторов. Базис векторного пространства. Разложение векторов по заданному базису.

6. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения.

7. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Вычисление с помощью определителей. Условие коллинеарности двух векторов. Простейшие приложения векторного произведения: моменты сил, сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, скорость точки вращающегося тела, направление распространения электромагнитных волн.

8. Смешанное произведение трех векторов, его свойства. Геометрический смысл определителя третьего порядка. Вычисление с помощью определителей. Условие компланарности трех векторов.

9. Понятие о линейном операторе и его матрице в заданном базисе. Собственные векторы и собственные значения. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду.

10. Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Пространства R2 и R3. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнений прямой линии на плоскости. Угол между прямыми линиями. Расстояние от точки до прямой.

11. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Технические приложения геометрических свойств кривых второго порядка. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Особенности приведения различных типов кривых.

12. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых в пространстве.

13. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера. Конусы. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений.

14. Полярные координаты на плоскости. Спираль Архимеда. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Различные способы задания линий и поверхностей в пространстве.

15. Множества вещественных чисел. Функция. Область её определения. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

16. Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах. Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

17. Предел функций, основные понятия и свойства. Односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы. Предел функции в бесконечности. Пределы монотонных функций. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Символы "о" и "О".

18. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего, наименьшего и промежуточных значений.

19. Производная функции, её физический и геометрический смысл. Правила нахождения производной. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрическим образом.

20. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации. Инвариантность формы дифференциала.

21. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.

22. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их применение.

23. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Неопределенности и их раскрытие с помощью правила Лопиталя.

24. Формулы Тейлора и Маклорена. Представление основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применения формулы Тейлора.

25. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке.

26. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении.

27. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

Арлинский Ю. М., Кучма В. Я. Математический анализ. Курс дифференциального и интегрального исчисления функции одной переменной. Луганськ: ТОВ “НВФ” СТЕК, 2003 г.

Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: Высш. шк., 1982. – Ч. I, II.

Крамар М. М., Швед О. П. Вища математика. Луганськ: НЦППРК “Ноулідж”, Луганськ, 2009 р.

Малый В.В. Методические указания и контрольные задания по высшей математике в I-м семестре (для студентов экономических и инженерно-технических специальностей заочной формы обучения). – Луганск, СНУ, 2002.

Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. - М.: Высш. шк., 1982. – Ч. I, II.

Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). - М.: Высш. шк., 1983.

Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. Ч.1,2. - М.: Высш. шк., 1978.

Шипачев В.С. Высшая математика. - М.: Высш. шк., 1985.

 

Дополнительная

Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980, 1984.

Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1979.

Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1980.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1980.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФПК. – М.: Наука, 1981.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-04-14 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: