Контрольная работа №1
по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
для студентов 1-го курса заочной формы обучения
экономических и инженерно-технических специальностей
(осенний семестр)
Вариант №5
УТВЕРЖДЕНО
на заседании кафедры
«Прикладная математика»
протокол №1 от 28.08.2009
Луганск-2009
Вариант №5 контрольной работы №1
Задача №1. Даны координаты вершин треугольника 
:
; 
; 
.
Необходимо найти:
1. длину стороны 
;
2. уравнение сторон и 
и их угловые коэффициенты;
3. угол 
между прямыми и в радианах;
4. уравнение высоты 
и ее длину;
5. уравнение медианы 
и координаты точки 
пересечения этой медианы с высотой ;
6. уравнение прямой 
, которая проходит через точку параллельно к стороне ;
7. координаты точки 
, которая находится симметрично точке 
относительно прямой .
Задача №2. Дано: точка 
и прямая 
. Необходимо составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от заданной токи 
и прямой 
. Получено уравнение привести к простейшему виду и построить график кривой.
Задача №3. Заданы две системы линейных уравнений. Решить первую систему методом Крамера. Полученый при решении первой системы результат проверить с помощью метода обратной матрицы. Вторую систему решить с помощью метода Гаусса.
1. 
2. 
Задача №4. Даны координаты вершин пирамиды 
:
, 
, 
, 
.
Необходимо:
1. Записать векторы 
, 
, 
в ортонормальной системе 
и найти модули этих векторов.
2. Найти угол между векторами 
и 
.
3. Найти проекцию вектора 
на вектор .
4. Вычислить площадь грани .
5. Найти объем пирамиды .
Задача №5. Даны координаты четырех точек:
, 
, 
, 
.
Необходимо:
1. Составить уравнение плоскости 
, которая проходит через точки , 
и 
.
2. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку 
перпендикулярно к плоскости .
3. Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью и с координатными плоскостями 
, 
. 
.
4. Найти расстояние от точки к плоскости .
Задача №6. Вычислить следующие пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
8) 
; 9) 
.
10) 
.
Задача №7. Заданную функцию 
исследовать на непрерывность и выяснить характер точек разрыва. Сделать схематический график
1) 
2) 
Задача №8. Найти первую производную 
заданных функций:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
Задача №9. Найти первую производную заданных функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
Задача №10. Дана функция 
и два значения аргумента 
и 
. Необходимо найти приближенное значение данной функции при 
, используя ее значение при 
и заменяя приращение 
функции соответствующим дифференциалом 
:
1) 
; 
; 
; 2) 
; 
; 
.
Задача №11. Выполнить полное исследование заданных функций и построить их графики:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Задача №12. Используя методы дифференциального исчисления, решить следующие физические задачи:
1. При подготовке к экзамену студент за 
дней изучает 
-ю часть курса и забывает 
-ю часть. Сколько дней нужно потратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса? Решить задачу при условии, что 
.
2. Тело массой 
падает из высоты 
метров и теряет массу (сгорает) пропорционально времени падения. Коэффициент пропорциональности 
. Считая, что начальная скорость 
, ускорение 
, найти наибольшую кинетическую энергию тела. Решить задачу при условии, что 
.
Программа курса «Высшая математика»
для студентов 1-го курса экономических
и инженерно-технических специальностей
заочной формы обучения.
(осенний семестр)
1. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители N-го порядка. Вычисление определителя методом разложения по строке или столбцу.
2. Системы двух и трех линейных уравнений. Математическая запись системы линейных уравнений. Правило Крамера. Обобщение на случай системы N линейных уравнений с N неизвестными.
3. Матрицы. Действия с ними. Понятие обратной матрицы. Метод Гаусса. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Решение систем линейных уравнений матричным методом и методом Гаусса.
4. Общая теория систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные линейные системы N уравнений с N неизвестными.
5. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Линейно-независимые системы векторов. Базис векторного пространства. Разложение векторов по заданному базису.
6. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения.
7. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Вычисление с помощью определителей. Условие коллинеарности двух векторов. Простейшие приложения векторного произведения: моменты сил, сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, скорость точки вращающегося тела, направление распространения электромагнитных волн.
8. Смешанное произведение трех векторов, его свойства. Геометрический смысл определителя третьего порядка. Вычисление с помощью определителей. Условие компланарности трех векторов.
9. Понятие о линейном операторе и его матрице в заданном базисе. Собственные векторы и собственные значения. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду.
10. Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Пространства R2 и R3. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнений прямой линии на плоскости. Угол между прямыми линиями. Расстояние от точки до прямой.
11. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Технические приложения геометрических свойств кривых второго порядка. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Особенности приведения различных типов кривых.
12. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых в пространстве.
13. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера. Конусы. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений.
14. Полярные координаты на плоскости. Спираль Архимеда. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Различные способы задания линий и поверхностей в пространстве.
15. Множества вещественных чисел. Функция. Область её определения. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
16. Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах. Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.
17. Предел функций, основные понятия и свойства. Односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы. Предел функции в бесконечности. Пределы монотонных функций. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Символы "о" и "О".
18. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего, наименьшего и промежуточных значений.
19. Производная функции, её физический и геометрический смысл. Правила нахождения производной. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрическим образом.
20. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации. Инвариантность формы дифференциала.
21. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.
22. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их применение.
23. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Неопределенности и их раскрытие с помощью правила Лопиталя.
24. Формулы Тейлора и Маклорена. Представление основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применения формулы Тейлора.
25. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке.
26. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении.
27. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
Арлинский Ю. М., Кучма В. Я. Математический анализ. Курс дифференциального и интегрального исчисления функции одной переменной. Луганськ: ТОВ “НВФ” СТЕК, 2003 г.
Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: Высш. шк., 1982. – Ч. I, II.
Крамар М. М., Швед О. П. Вища математика. Луганськ: НЦППРК “Ноулідж”, Луганськ, 2009 р.
Малый В.В. Методические указания и контрольные задания по высшей математике в I-м семестре (для студентов экономических и инженерно-технических специальностей заочной формы обучения). – Луганск, СНУ, 2002.
Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. - М.: Высш. шк., 1982. – Ч. I, II.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). - М.: Высш. шк., 1983.
Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. Ч.1,2. - М.: Высш. шк., 1978.
Шипачев В.С. Высшая математика. - М.: Высш. шк., 1985.
Дополнительная
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980, 1984.
Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1979.
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1980.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1980.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФПК. – М.: Наука, 1981.