Основные задачи аналитической геометрии

Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанное произведение в ортонормированном базисе.

3.Условия перпендикулярности, коллинеарности и компланарности векторов.

Примеры.

Аналитическая геометрия

 

Основные задачи аналитической геометрии

Полярная система координат

 

Опр. Смешанным (или векторно-скалярным) произведением векторов , , называется число ()=([ ], )

Теорема: (геометрический смысл смешанного произведения). Смешанное произведение векторов , , равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах и взятому со знаком (+) если тройка правая и (–) если тройка левая.

Построим параллелепипед, ребрами которого являются вектора , , .

 

Найдем объем параллелепипеда , где S_осн=S_{параллелограмма}= , где = ;

Где знак (+) соответствует острому углу a, в этом случае тройка векторов будет правой, знак (–) соответствует тупому углу a, или левой тройке векторов. На основании определения смешанного произведения имеем ()=([ ], )=()= .

Свойства:

1)Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке.

()=()=()=()

Так как в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

2)При перестановке двух соседних сомножителей изменяется знак смешанного произведения.

()=-()

При перестановке объем сохраняется, но изменяется тройка векторов.

3)()=0, если векторы компланарны

Смешанное произведение в ортонормированном базисе.

Пусть заданы векторы:

; ; ;

Из условия задачи следует, что векторы заданы в ортонормированном базисе. Найдем смешанное произведение векторов: ()=([ ], )=(), где =[ ]. Найдем вектор .

()= ;

()= (1)

Это формула для смешанного произведения векторов в ортонормированном базисе.

3. Условия перпендикулярности, коллинеарности, и компланарности векторов.

1)Условие перпендикулярности.

() ;

()= (2)

2.Условие коллинеарности.

[ ] или

[ ]

(3)

3.Условие компланарности.

() – компланарны.

() (4)

 

4. Примеры:

Пример 1. Найти объем и высоту треугольной пирамиды если заданы вершины.

А=(1; 0; 0); В=(-2; 1; 1); С=(-1; 1; 2); D=(0; 1; 4).

	D

 

Решение: Введем векторы ={-3; 1; 1}; ={-2; 1; 2};

={-1; 1; 4}. Из условия задачи следует, что базис ортонормированный.

.

Применим формулу (1).

; где ;

 

;

;

 

Задача 2. Выяснить компланарны ли векторы. Если нет, то как они ориентированы в пространстве?

=(1; -2; 0); =(-1; 2; 2); =(3; 0; -1)

() ;

т.к. ()<0, то они образуют левую тройку.

3.Найти площадь параллелограмма построенного на векторах: и , если и , где ; ; ()

Решение: векторы образуют не ортонормированный базис.

 

Аналитическая геометрия

Основные задачи аналитической геометрии

Задача 1. Пусть задано некоторое геометрическое место точек на плоскости или в пространстве, т.е. задана совокупность точек обладающих общимсвойством. Требуется получить уравнение этого геометрического места точек (уравнение прямой, плоскости, поверхности.)

Опр. Равенство F(x,y)=0 называется уравнением некоторой линии на плоскости, если координаты любой точки М(x,y) взятой на этой линий удовлетворяют данному уравнению. Пример: Прямая на плоскости, гипербола, окружность, парабола, эллипс.

Опр. Равенство F(x,y,z)=0 называется уравнением поверхности, если координаты любой точки М(x,y,z) взятой на этой поверхности удовлетворяют данному уравнению. Пример: плоскость, сфера, цилиндр, конус.

Задача 2. Обратная задаче 1. По заданному уравнению некоторого геометрического места точек, надо выяснить каким свойством обладают точки этого геометрического места точек.

Основной метод решения задач аналитической геометрии - метод координат. С декартовой системой координат мы знакомы, рассмотрим полярную систему координат.