Аналитические геометрия.

Векторная алгебра.

 

Задание 3

 

Даны координаты вершин пирамиды АВСД. Требуется найти:

1) длину ребра ,

2) угол между ребрами и ,

3) проекцию вектора на вектор ,

4) угол между ребром и гранью АВС,

5) площадь грани АВС,

6) уравнение прямой АВ,

7) уравнение плоскости АВС,

8) уравнение высоты, опущенной из вершины Д на грань АВС.

 

Сделать чертеж.

 

1. А (3, 1, 4); В (-1, 6, 1) С (-1, 1, 6); Д (0, 4, -1)

2. А (3, 3, 9); В (6, 9, 1) С (1, 7, 3); Д (8, 5, 8)

3. А (3, 5, 4); В (5, 8, 3) С (1, 9, 9); Д (6, 4, 8)

4. А (2, 4, 3); В (7, 6, 3) С (4, 9, 3); Д (3, 6, 7)

5. А (9, 5, 5); В (-3, 7, 1) С (5, 7, 8); Д (6, 9, 2)

6. А (0, 7, 1); В (4, 1, 5) С (4, 6, 3); Д (3, 9, 8)

7. А (5, 5, 4); В (3, 8, 4) С (3, 5, 10); Д (5, 8, 2)

8. А (6, 1, 1); В (4, 6, 6) С (4, 2, 0); Д (1, 2, 6)

9. А (7, 5, 3); В (9, 4, 4) С (4, 5, 7); Д (7, 9, 6)

10. А (6, 6, 2); В (5, 4, 7) С (2, 4, 7); Д (7, 3, 0)

11. А (4, 0, 0); В (-2, 1, 2) С (1, 3, 2); Д (3, 2, 7)

12. А (-2, 1, 2); В (4, 0, 0) С (3, 2, 7); Д (1, 3, 2)

13. А (1, 3, 2); В (3, 2, 7) С (4, 0, 0); Д (-2, 1, 2)

14. А (3, 2, 7); В (1, 3, 2) С (-2, 1, 2); Д (4, 0, 0)

15. А (3, 1, -2); В (1, -2, 0) С (-2, 1, 0); Д (2, 2, 5)

16. А (1, -2, 1); В (3, 1, -2) С (2, 2, 5); Д (-2, 1, 0)

17. А (-2, 1, 0); В (2, 2, 5) С (3, 1, 2); Д (1, -2, 1)

18. А (2, 2, 5); В (-2, 1, 0) С (1, -2, 1); Д (3, 1, 2)

19. А (1, -1, 6); В (4, 5, -2) С (-1, 3, 0); Д (6, 1, 5)

20. А (6, 1, 5); В (-1, 3, 0) С (4, 5, -2); Д (1, -1, 6)

21. А (1, -3, 1); В (-3, 2, -3) С (-3, -3, 3); Д (-2, 0, -4)

22. А (1, -1, 6); В (4, 5, -2) С (-1, 3, 0); Д (6, 1, 5)

23. А (1, 1, 1); В (3, 4, 0) С (-1, 5, 6); Д (4, 0, 5)

24. А (0, 0, 0); В (5, 2, 1) С (2, 5, 0); Д (1, 2, 4)

25. А (7, 1, 2); В (-5, 3, -2) С (3, 3, 5); Д (4, 5, -1)

26. А (-2, 3, -2); В (2, -3, 2) С (2, 2, 0); Д (1, 5, 5)

27. А (3, 1, 1); В (1, 4, 1) С (1, 1, 7); Д (3, 4, -1)

28. А (4, -3, -2); В (2, 2, 3) С (2, -2, -3); Д (-1, -2, 3)

29. А (5, 1, 0); В (7, 0, 1) С (2, 1, 4); Д (5, 5, 3)

30. А (4, 2, -1); В (3, 0, 4) С (5, -1, -3); Д (0, 0, 4)

 

Задание 4

 

1. Векторы и взаимно перпендикулярны, вектор образует с ними углы, равные 60⁰. Зная, что , , , вычислить .

2. Вычислить длину вектора , если , q , , , угол между ними

3. Векторы и образуют угол 270⁰. Зная, что , , вычислить .

4. Найти длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если , , угол .

5. Известно, что , . Чему равен угол между векторами и ,

если (?

6. Найти длину вектора , если , , , , угол .

7. Найти угол между векторами и , если , , угол .

8. При каком значении α векторы и будут взаимно перпендикулярны, если , , угол .

9. Найти проекцию вектора на вектор , если и - единичные векторы и .

10. Определить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если , , .

11. Даны векторы , , , причем , , , углы , . Найти длину вектора .

12. Найти угол между векторами и , и , если и - единичные векторы, , .

13. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на данных векторах и , где , , - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

14. Определить, при каком значении векторы и окажутся перпендикулярными, если , , угол .

15. Найти , зная, что , , .

16. Найти , если , , .

17. Найти угол между векторами и , где и - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

18. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если , , угол .

19. Найти проекцию вектора на вектор , если , , угол .

20. Сила производит перемещение материальной точки по прямой АВ. Найти численное значение работы, если вектор , , , .

21. Какой угол образует единичные векторы и , если известно, что векторы и перпендикулярны?

22. Найти косинус угла между векторами и , если , , угол .

23. Определить, при каком значении α векторы и будут перпендикулярны, если , .

24. Найти длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , где , , .

25. Найти угол между векторами и , если , и - единичные векторы, угол .

26. Найти проекцию вектора на вектор , если , , угол .

27. Даны компланарные единичные векторы , , , причем углы , . Найти модуль .

28. Сила производит перемещение материальной точки по ломанной АВС. Найти численное значение работы, если , , , , .

29. Какой угол образуют диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , если , , ?

30. Найти , если , , .

Задание 5

 

1. Найти проекцию вектора на вектор , если

, , .

2. Вектор коллинеарен вектору и образует тупой угол с осью 0Z. Зная, что , найти его координаты.

3. Вектор образует острый угол с осью 0Х и коллинеарен вектору , . Найти вектор .

4. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

5. Вектор , лежащий в плоскости ХОZ, перпендикулярен вектору . Найти его координаты, если .

6. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

7. Найти единичный вектор , перпендикулярный к векторам и .

8. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и , а его проекция на вектор равна 5.

9. Убедиться, что диагонали параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, взаимно перпендиуклярны.

10. Какой угол образуют векторы и , если и ?

11. Даны векторы , и . Найти проекцию вектора на вектор .

12. Даны векторы , и . Найти проекцию вектора на вектор .

13. Найти вектор , перпендикулярный векторам и , если его проекция на вектор равна 1.

14. Найти вектор , коллинеарный вектору , если .

15. Даны векторы , и . Найти вектор , удовлетворяющий условиям: , , .

16. Даны векторы и . Найти проекцию вектор на вектор .

17. Даны векторы и . Найти вектор , если он перпендикулярен оси OZ и удовлетворяет условиям: и .

18. Найти угол между векторами и , если и .

19. Найти вектор , перпендикулярный векторам и и образующий тупой угол с осью OY, если .

20. Даны векторы и . Найти угол между векторами и .

21. При каком значении α векторы и взаимно перпендикулярны?

22. Найти вектор , коллинарный вектору и удовлетворяющий условию .

23. Найти вектор , перпендикулярный векторам и и удовлетворяющий условию

.

24. Векторы , , имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти вектор , если , .

25. Даны векторы , и . Найти проекцию вектора на вектор .

26. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

27. Вектор перпендикулярен векторам и и образуют с осью OY тупой угол. Найти вектор , если .

28. Сила разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора .

29. Определить углы между диагональю и сторонами и параллелограмма АВСД, построенного на векторах и .

30. Вектор коллинеарен вектору , образует с осью OZ острый угол, . Найти вектор .

 

 

Задание 6

 

1. При каком значении α векторы и будут коллинеарны, если и не коллинеарны?

2. Даны векторы и . Найти , если , , .

3. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и , где , , .

4. Найти координаты и модуль векторного произведения векторов и .

5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если , , .

6. Даны векторы , , . Найти .

7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если и единичные векторы, .

8. Даны векторы , . Найти α и β, при которых вектор будет коллинеарен вектору .

9. Найти проекцию вектора на вектор , если , и .

10. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и 3 , если , .

11. Найти высоту параллелограмма, построенного на векторах , , .

12. Определить «y» из условия, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна .

13. Найти проекцию вектора на вектор , если , .

14. При каком значении α векторы и будут коллиниарны, если и не коллинеарны?

15. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и , если и - единичные векторы, .

16. Даны три силы , и , приложенные к точке М(3, 1, 4). Найти момент их равнодействующей относительно точки А(0, -1, -1).

17. Найти , если , .

18. Найти координаты и модуль векторного произведения векторов и .

19. Зная стороны треугольника и , найти длину высоты при условии, что и - взаимно перпендикулярные единичные векторы.

20. Сила приложена к точке А(4, 2, -3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С(2, 4, 0).

21. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если , , .

22. При каком значении α векторы и будут коллиниарны, если и не коллинеарны?

23. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 4 и , если , , .

24. Найти , если , , .

25. Даны три силы , , , приложенные к одной точке С (-1, 4, -2). Определить величину и направляющие конусы момента равнодействующей этих сил относительно точки А (2, 3, -1).

26. Найти высоту треугольника со сторонами и , если , , .

27. Найти объем параллелограмма, построенного на векторах , , .

28. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , , , .

29. Найти , зная, что , , .

30. Сила приложена к точке С (2, -1, -2). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

 

Задание 7

 

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение линии ВС; 3) уравнение высоты, проведенной из точки А; 4) величину угла В; 5) систему неравенств, определяющую треугольник АВС. Сделать чертеж.

 

1. А(6, 2) В(30, 5) С(12, 19)

2. А(4, 3) В(-12, -9) С(-5, 15)

3. А(-1, 7) В(11, 2) С(17, 10)

4. А(1, 1) В(-15, 11) С(-3, 13)

5. А(-14, 10) В(10, 3) С(-8, 27)

6. А(7, 1) В(-5, -4) С(-3, -1)

7. А(-2, 1) В(-13, -11) С(-11, 13)

8. А(10, -1) В(-2, -6) С(-6, -3)

9. А(0, 5) В(12, 0) С(18, 8)

10. А(-12, 6) В(12, -1) С(-6, 23)

11. А(3, 0) В(-4, 2) С(-8, -2)

12. А(1, 5) В(13, 0) С(19, 3)

13. А(6, 1) В(-6, -4) С(-10, -1)

14. А(-1, 5) В(11, 0) С(17, 3)

15. А(6, 5) В(-6, 8) С(-10, 3)

16. А(-2, 6) В(10, 1) С(16, 9)

17. А(4, 1) В(0, -2) С(-5, 10)

18. А(-7, 3) В(5, -2) С(8, 2)

19. А(5, -1) В(1, -4) С(-4, 8)

20. А(-14, 6) В(-2, 1) С(1, 5)

21. А(6, 0) В(2, -3) С(-3, 9)

22. А(-9, 2) В(3, -3) С(6, 1)

23. А(7, -4) В(3, -7) С(-2, 5)

24. А(-8, 4) В(4, -1) С(7, 3)

25. А(3, -3) В(-1, -6) С(-6, 6)

26. А(-6, 5) В(6, 0) С(9, 4)

27. А(11, 0) В(-5, 4) С(-1, -1)

28. А(10, 2) В(-6, 6) С(-2, 1)

29. А(14, 0) В(-2, 4) С(2, -1)

30. А(13, 2) В(-3, 6) С(1, 1)

 

Задание 8

 

1. Даны стороны треугольника и , точка Р(1, 2) – точка пересечения третьей стороны с высотой. Найти уравнение третьей стороны.

2. Найти точку В, симметричную точке А(-2, 4) относительно прямой, проходящей через точки М(1, 5) и Р(2, 2).

3. Дан треугольник с вершинами А(-8, 3), В(8, 5), С(8, -5). Найти точку пересечения его высот.

4. Даны уравнения сторон параллелограмма и и одна из его вершин С(4, -1). Составить уравнения двух других сторон.

5. Даны вершины треугольника А(3, -1), В(4, 0) и Д(2, 1) – точка пересечения медиан. Найти уравнение высоты, проходящей через третью вершину С.

6. Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и точка пересечения его диагоналей Р(3, -1). Найти уравнения двух других сторон параллелограмма.

7. Даны вершины треугольника А(16, -15), В(17, -21) и С(0, 3). Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А на медиану, проведенную из вершины В.

8. Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами А(-1, 1), В(2, -1), С(4, 0).

9. Дана сторона треугольника АВ: и уравнения двух высот АД: и ВЕ: . Найти уравнение третьей высоты.

10. Высоты треугольника АВС пересекается в точке Н(2, 1), стороны заданы уравнениями АВ: , ВС: . Найти уравнение стороны АС.

11. Дан треугольник с вершинами А(6, 4), В(-3, 5), С(-2, -6). Найти прямую, проходящую через точку А, параллельно медиане, проведенной через точку В.

12. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А(-1, 2) на прямую .

13. Даны стороны треугольника АВ: , ВС: , СА: . Найти уравнение высоты, опущенной из вершины В.

14. В треугольнике АВС даны вершины А(5, -4), В(-1, 3), С(-3, 3). Найти точку пересечения высот.

15. Даны две стороны параллелограмма и и Р(3, 3) – точка пересечения его диагоналей. Найти уравнения двух других сторон.

16. Точки А(2, -2), В(3, -1) – вершины треугольника, М(1, 0) - точка пересечения его медиан. Найти уравнение высоты, проходящей через вершину С.

17. Найти уравнение перпендикуляра, проведенного через середину отрезка прямой , концы которого лежат на осях координат.

18. Даны вершины А(3, -1) и В(5, 7) треугольника и М(4, -1) - точка пересечения его высот. Найти уравнения сторон треугольника.

19. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и перпендикулярно к первой из них.

20. Даны вершины треугольника А(-5, 2), В(5, 6), С(1, -2). Найти уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярномедиане, проведенной через точку В.

21. На продолжении отрезка АВ, где А(-5, 5), В(1, -4), найти точку с ординатой, равной 16.

22. Найти точку В, симметричную точке А(-2, 9) относительно прямой .

23. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и параллельно прямой .

24. Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами А(-2, 1), В(2, -1), С(4, 3).

25. Даны вершины треугольника А(2, -2), В(6, 1), С(-2, 0). Найти уравнения высоты ВД, медианы ВМ и угол между ними.

26. Даны стороны ромба и 5 , прямая - его диагональ. Найти вершины ромба.

27. На прямой найти точку, равнодушную от точек А(-1, -2) и В(1, 4).

28. Даны вершины треугольника А(4, 0), В(6, 8) и М(5, 1) – точка пересечения высот. Найти третью вершину С.

29. Найти ординату точки М, лежащей на одной прямой с точками, А(-8, -6), В(-3, -1) и имеющей абциссу х = 5.

30. В треугольнике с вершинами А(1, 1), В(-2, 5), С(-4, -3) найти уравнение высоты, опущенной из вершины С на медиану, проведенную из точки А.

 

Задание 9

 

Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку.

 

1. A(5, 3, 4)

 

2. A(1, -2, 3)

 

3. A(5, -1, -3)

 

4. A(1, 3, -2)

 

5. A(-1, 1, 1)

 

6. A(3, 1, -2)

 

7. A(2, -1, 3)

 

8. A(3, 4, 5)

 

9. A(-1, 4, 2)

 

10. A(3, 2, 6)

 

11. A(-2, 1, 1)

 

12. A(1, -5, 3)

 

13. A(1, 3, -2)

 

14. A(2, 3, 1)

 

15. A(3, 11, 4)

 

16. A(-3, 2, 5)

 

17. A(3, 2, 6)

 

18. A(3, 1, -2)

 

19. A(7, 9, 7)

 

20. A(1, 0, 7)

 

21. A(3, 0, 2)

 

22. A(1, 2, 0)

 

23. A(2, -3, 0)

 

24. A(-1, 2, 1)

 

25. A(0, 4, -2)

 

26. A(-3, 0, 5)

 

27. A(1, 3, 0)

 

28. A(5, 1, -2)

 

29. A(-2, 0, 1)

 

30. A(0, -5, 2)

 

Задание 10

 

Построить линию r = f(φ) в полярной системе координат и найти ее уравнение в декартовых координатах при условии, что начало координат прямоугольной системы совпадает с полюсом полярной системы, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.