Оценки характеристик генеральной совокупности

В случае большой выборки (n³100) предельную ошибку для среднего выборки можно рассчитать в Excel при помощи функции

ДОВЕРИТ(альфа; станд.откл; размер),

альфа — допустимая вероятность ошибки, т.н. уровень значимости: альфа = 1-b;

станд.откл. — генеральное среднее квадратическое отклонение, предполагающееся известным, или его оценка ;

размер — текущий объем выборки n.

При помощи формулы предельной ошибки выборки определяют доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью g для генерального среднего : . При этом .

В случае малой выборки (n<30) при отсутствии данных о нормальности распределения признака предельная ошибка для генеральной средней определяется по формуле: , где

— табличное значение критерия Стьюдента для вероятности 2a=1-b при числе степеней свободы . В Excel коэффициент доверия для малой выборки рассчитывается при помощи функции =СТЬЮДРАСПОБР(вероятность; степени свободы), где за аргумент вероятность принимается уровень значимости 2a=1-b.

Для 30<n<100 причисление выборки к категории «большой» или «малой» индивидуально, зависит от постановки задачи и от дисперсии выборки. Четкой границы между большой и малой выборками в общем случае указать невозможно. Выборка, сделанная из совокупности с небольшим разбросом признака, может считаться большой, тогда как выборка такого же объема, произведенная из более разнородной совокупности, окажется малой.

Пример 2.1.

Имеются данные по уровню безработицы в России в 2006 году:

Определить доверительный интервал с надежностью 0,9 для средней безработицы: 1) считая выборку большой; 2) считая выборку малой.

Решение. Откроем таблицы Excel. Внесем выборочные данные по всем округам в столбец А (диапазон А2:А87). В ячейках D2:D5 вычислим характеристики выборки: объем выборки n (функция СЧЁТ), среднее значение х ср (функция СРЗНАЧ), выборочную дисперсию s² (функция ДИСПР), исправленную дисперсию s²испр (функция ДИСП). Внесем значение доверительной вероятности Р=0,9.

Поскольку выборка считается большой, мы должны использовать формулу стандартной ошибки для среднего большой выборки. Однако в этом случае проще сразу вычислить предельную ошибку при помощи функции ДОВЕРИТ:

Рисунок 2.1. Пример. Расчет предельной ошибки среднего большой выборки

Получили D=1,63835. Тогда доверительный интервал для среднего уровня безработицы 9,08±1,64.

1) Применим теперь формулу ошибки для малой выборки. Вычислим коэффициент доверия t, введя в ячейку G8 формулу =СТЬЮДРАСПОБР(1-D6;D2-1). Предельную ошибку вычислим в ячейке G9:

Получили D=1,656403. Тогда доверительный интервал для среднего уровня безработицы 9,08±1,656.

Видим, что предельная ошибка, вычисленная по формуле для малой выборки несколько больше, чем по формуле для большой выборки, но различие в данном случае невелико. С ростом объема выборки это различие уменьшается.

Доверительный интервал для дисперсии s² вычисляется по формуле

(n-1)*s² / c²(a; n-1) < s² < (n-1)*s² / c²(1-a; n-1), (*)

где значение c²(a; n-1) находится с помощью функции функция =ХИ2ОБР(a; n-1) при уровне значимости a и n-1 степени свободы. Для нахождения доверительного интервала для среднего квадратического отклонения s извлекаются корни квадратные из концов интервала (*).

Критерий Фишера

В Excel критическое значение критерия Фишера можно рассчитать при помощи функции FРАСПОБР(вероятность;степени_свободы1;степени_свободы2), где вероятность – уровень значимости a=(1-β)/2.

Для определения уровня вероятности выполнения гипотезы о равенстве дисперсий может быть использована функция ФТЕСТ(массив1;массив2), которая возвращает одностороннюю (для простой альтернативной гипотезы) вероятность того, что дисперсии аргументов массив1 и массив2 различаются несущественно.