Диверсификация – рассредоточение инвестиций, т.е. инвестор не должен вкладывать деньги только в один вид деятельности, в одну компанию. Портфель инвестиций – это набор видов ценных бумаг (векселей, акций компаний, контрактов).
В рыночной экономике инвестирование связано с риском. Риск – это неуверенность достижения поставленной цели. Основные показатели инвестиционного риска: недополученная до желаемой прибыль и дисперсия прибыли DП. При этом средняя недополученная прибыль выражается через дисперсию по формуле:
= 0,4 ∙
Рассмотрим два варианта инвестиций. Предположим, что ожидаемая прибыль от первого варианта составляет , а дисперсия DП1 (показатель риска). Для второго варианта соответственно и DП2. Тогда ожидается прибыль и дисперсия портфеля из двух инвестиций выражаются как
где: х1, х2 – доля инвестиций в 1-й и 2-й проект соответственно; х1 + х2 = 1;
r - коэффициент корреляции между П1 и П2.
Задача управления портфелем из двух инвестиций формулируется следующим образом.
Найти {х1*, х2*}, обеспечивающие минимальный риск.
DП = DП1 × x12 + DП2 × x22 + 2×r × × х1 × х2 ® min при условии:
х1 + х2 = 1
х1 ³ 0, х ³ 0
Для решения этой задачи введем обозначения:
х1 º х; DП º у
Подставляя в DП вместо Х1 = Х и Х2 = 1 - Х, получим функцию от одного переменного
DП = Y = DП1 × Х2 + DП2 × (1 – Х)2 + 2r × × Х × (1 – Х)
Далее решается задача нахождения минимума функции от одного переменного на участке 0 £ Х £ 1. Если Х* - точка минимума, то Х1* = Х*, Х2* = 1 – Х*. При этом минимальный риск DП* = Y(X*), а прибыль портфеля инвестиций будет равна П* = . Задача имеет решение Х*³0 при выполнении условия: ³ ρ. При невыполнении этого условия вместо значения экстремума берётся наименьшее значение Х* = 0, т.е.
Х1* = 0 и Х2* = 1.
Задача оптимизации портфеля из “n” некоррелированных инвестиций формулируется следующим образом.
Найти {Х1, Х2,… Хn}, обеспечивающие минимум риска (дисперсии прибыли): DП = ∙ Хi2) → min,
При выполнении ограничений: = 1; все Xi ≥ 0.
Решение этой задачи может быть получено с помощью метода множителей Лагранжа и имеет вид: Xi* = .
Отсюда следует, что в варианты инвестиций с большим риском (больше DПi) целесообразно вкладывать меньше средств (меньше Xi).
Задание 7. Сформировать оптимальный портфель инвестиций и найти соответствующие значения ожидаемой прибыли и минимального риска при следующих исходных данных.
Варианты | ||||||||||
DП1 | ||||||||||
DП2 | 0,5 | 0,5 | 0,5 | |||||||
r | -1 | -0,8 | -0,6 | -0,4 | -0,2 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,5 | 0,3 |
Получение информации.
Обозначим: I, HДО, НПОСЛЕ, , – количество информации, энтропия и величина недополученной прибыли до и после получения информации соответственно.
Рассмотрим вероятностный прогноз прибыли до и после получения информации.
ПДО | ПДО1 | ПДО2 | … | ПДОk | … | ПДОN |
pi | p1 | p2 | … | pk | … | pN |
ППОСЛЕ | ППОСЛЕ 1 | ППОСЛЕ 2 | … | ППОСЛЕ k | … | ППОСЛЕ N |
qi | q1 | q2 | … | qk | … | qN |
Показатель неопределённости прибыли – энтропия, определяемая:
HДО = – ∙ log2pi; НПОСЛЕ = – ∙ log2qi.
Информация – это сведения, снижающие неопределённость (энтропию). Количество информации “I” определяется:
I = HДО – НПОСЛЕ = ∙ log2qi) – ∙ log2pi) [бит].
Недополученные прибыли до и после получения информации связаны соотношением: = ∙ 2–I.
Откуда видно, что с увеличением “I” риск уменьшается, т.е. полученная информация снижает риск. Процент снижения риска за счёт получения информации определится: δ = ∙100% = (1 – 2–I.) ∙100%.
Задание. Рассчитать процент снижения риска δ [%] за счёт получения количества информации I [бит]. Значения входных параметров согласно вариантов заданы в таблице.
№ вар | |||||||||
I [бит] | |||||||||
δ [%] |