Для построения экономико – математической модели (эмм) введём обозначения: СХР – стоимость хранения на складе единицы товара за единицу времени, [руб/(шт×сутки)]; Х0 – размер партии [шт], завозимой на склад с периодичностью ТЦ [сутки]; Т – длительность рабочего периода [сутки]; М – общее количество товара [шт], проходящее через склад за время Т; n – число партий, завозимых на склад за время Т; V = dX/dt – интенсивность потребления товара со склада [шт/сутки]; СТР – стоимость перевозки одной партии товара размером Х0, [руб/партия]; СТР.0 – постоянная составляющая перевозки одной партии товара [руб/партия]; СТР.УД – стоимость перевозки одной штуки товара [руб/шт]; З, ЗХР, ЗТР – затраты общие, хранения и транспортировки соответственно [руб]; ХСР – среднее количество товара [шт], находящееся на складе в течение времени ТЦ.
Модель строится на следующих уравнениях.
З = ЗХР + ЗТР (1).
ЗХР = ХСР ∙ Т ∙ СХР (2).
ХСР = ∙ ∙ dt (3).
При Х(t) – линейная функция: Х = Х0 – V ∙ t (рис.1), то ХСР = Х0/2 (4).
СТР = СТР.УД ∙ Х0 + СТР.0 (5).
ЗТР = n ∙ СТР (5.1).
n = (6.1).
n = (6.2).
После следующих преобразований:
(6.1) Þ n → (6.2) Þ ТЦ: ТЦ = Т ∙ (7).
(4) Þ ХСР → (2) Þ ЗХР: ЗХР = ∙ Х0 (8);
(6.1) Þ n → (5.1); (5) Þ СТР → (5.1) Þ ЗТР: ЗТР = + М∙СТР.УД (9).
(8) Þ ЗХР → (1); (9) Þ ЗТР → (1).
Тогда: З = ∙ Х0 + + М∙СТР.УД (10).
Для нахождения минимального значения З = ЗMIN при оптимальном значении Х0 = Х0* необходимо выполнить следующие действия:
(10) Þ = 0 Þ Х0 = Х0*. Тогда:
Х0* = (11); ЗMIN = + М∙СТР.УД (12).
Оптимальное значение ТЦ = ТЦ* определится при подстановке в (7): Х0 = Х0* из (11). Тогда:
ТЦ* = (13).
Графики зависимостей: ЗХР(Х0) согласно (8), ЗТР(Х0) согласно (9), З(Х0) согласно (10) показаны на рис.2.
Примечание.
Формула (3)следует из следующих рассуждений. Затраты за хранение товара в количестве “X” штук в течение времени ТЦ можно определить:
ЗХР = ХСР ∙ ТЦ ∙ СХР или ЗХР = СХР ∙ ∙ dt
Отсюда получим: ХСР = ∙ ∙ dt.
Задание 5. Определить оптимальный размер транспортной партии Хо*, период подвоза Тц и соответствующие затраты З. Значения входных параметров согласно вариантов заданы в таблице.
№ вар | М | Т | СТР.0 | СТР.УД | СХР |
0,1 | 0,1 | ||||
0.2 | |||||
0,3 | |||||
0,4 | |||||
0,5 | |||||
2,5 | 0,1 | 0,15 | |||
0.2 | |||||
0,3 | |||||
0,4 | |||||
0,5 | |||||
0,1 | 0,2 | ||||
0.2 | |||||
0,3 | |||||
0,4 | |||||
0,5 | |||||
3,5 | 0,1 | 0,25 | |||
0.2 | |||||
0,3 | |||||
0,4 | |||||
0,5 | |||||
0,1 | 0,3 | ||||
0.2 | |||||
0,3 | |||||
0,4 | |||||
0,5 | |||||
4,5 | 0,1 | 0,35 | |||
0.2 | |||||
0,3 | |||||
0,4 | |||||
0,5 | |||||
0,1 | 0,4 | ||||
0.2 | |||||
0,3 | |||||
0,4 | |||||
0,5 | |||||
5,5 | 0,1 | 0,45 | |||
0.2 | |||||
0,3 | |||||
0,4 | |||||
0,5 |
Снижение риска
Резервирование.
Рассмотрим систему, состоящую из “n” основных и “R” резервных элементов. Надёжность элемента характеризуется коэффициентом готовности kГ = РГ – вероятность исправности элемента. Пусть k – число работоспособных элементов – случайная величина (СВ), закон распределения которой имеет вид:
Х = k | … | n | |||
Pn+R(k) | P0 | P1 | P2 | Pn |
Pn+R(k<n) = ∙ РГk ∙ (1 – РГ)n+R–k – вероятность исправности “k<n” элементов, k Î [0 ¸ n – 1] элементов.
Pn+R(k ≥ n) = 1 – – вероятность исправности “k≥n” элементов, k Î [n ¸ n + R]”.
Пусть каждый работоспособный элемент даёт доход “d”. Тогда доход от Х = k работоспособных элементов равен: Dn+R(k) = d ∙ k – СВ. Пусть цель системы – получение дохода: D0 = Dn+R(n) = d ∙ n. Тогда вероятность того, что цель не будет достигнута, равна:
Pn+R(k < n) = 1 – Pn+R(n) = .
Средняя величина (математическое ожидание) недополученного до D0 дохода равна: = d ∙ – показатель риска.
Можно показать, что при увеличении “R”, то – уменьшается, т.е. резервирование снижает риск.
Задача. Рассчитать оптимальное число резервных элементов “R = R*” для получения максимальной прибыли.
Пусть содержание одного элемента системы за единицу времени (месяц) равно “C” [руб/(шт∙мес)]. Тогда максимальный финансовый результат работы системы из “n” элементов за месяц равен:
θ(k) = Dn+R(k) – С ∙ (n + R) = d ∙ k – С ∙ (n + R).
Функцию распределения Pn+R(k) можно представить таблицей:
k | … | k | … | n | |||
θ(k) | –С∙(n+R) | d–С∙(n+R) | 2∙d–С∙(n+R) | k∙d–С∙(n+R) | n∙d–С∙(n+R) | ||
Pn+R(k) | P0 | P1 | P2 | Pk | Pn |
Наивероятнейшее число исправных элементов “k= k*” определится:
(n + R) ∙ РГ ≤ k* ≤ (n + R + 1) ∙ РГ.
При k* = n, то “R = R*” определится из неравенства:
(n + R*) ∙ РГ ≤ n ≤ (n + R* + 1) ∙ РГ.
Откуда значения “R*” принадлежат интервалу: – n – 1 ≤ R* ≤ – n.
Тогда наибольший финансовый результат от работы системы из “n” элементов определится: θ(n) = d ∙ n – С ∙ (n + R*).
Задание 6. Определить оптимальное число резервных элементов “R” для получения максимальной прибыли Q=Qmax, величину и вероятность достижения этой прибыли, если доход (от работы одного элемента за рабочий период Т) = d, стоимость (содержания одного элемента за рабочий период Т) = С, коэффициент (вероятность) готовности одного элемента = РГ. Значения входных параметров согласно вариантов заданы в таблице. Размерности входных параметров следующие: [d] = [C] = [руб/(шт∙мес], [n] = [R] = [шт], [Q] = [руб/мес].
№вар | d | С | РГ | n | №вар | d | С | РГ | n |
0,9 | 0,9 | ||||||||
0,8 | 0,8 | ||||||||
0,7 | 0,7 | ||||||||
0,6 | 0,6 | ||||||||
0,9 | 0,9 | ||||||||
0,8 | 0,8 | ||||||||
0,7 | 0,7 | ||||||||
0,6 | 0,6 | ||||||||
0,9 | 0,9 | ||||||||
0,8 | 0,8 | ||||||||
0,7 | 0,7 | ||||||||
0,6 | 0,6 | ||||||||
0,9 | 0,9 | ||||||||
0,8 | 0,8 | ||||||||
0,7 | 0,7 | ||||||||
0,6 | 0,6 |
Пример решения (вар 0).
R = R* определится из неравенства: – n – 1 ≤ R* ≤ – n.
– 10 – 1 ≤ R* ≤ – 10 Þ 0,1 ≤ R* ≤ 1,1 Þ R* = 1.
P11(k ≥ 10) = ∙ 0,910 ∙ 0,11 + ∙ 0,911 ∙ 0,10 = 0,697357 » 0,7 = 70 %.
θ(n) = d ∙ n – С ∙ (n + R*) = 10000 ∙ 10 – 3000 ∙ 11.