Пример.
Рассмотрим отрывок из известной сказки А. С. Пушкина “Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне Лебеде” (Слайд 4):
…..
И привез гонец хмельной
В тот же день приказ такой:
“Царь велит своим боярам,
Времени не тратя даром,
И царицу и приплод
Тайно бросить в бездну вод”.
Делать нечего: бояре,
Потужив о государе
И царице молодой,
В спальню к ней пришли толпой.
Объявили царску волю –
Ей и сыну злую долю,
Прочитали вслух указ,
И царицу в тот же час
В бочку с сыном посадили,
Засмолили, покатили
И пустили в окиян –
Так велел-де царь Салтан.
(Слайд 5):
Какими же должен быть объем бочки, чтобы в ней поместились царица и её сын?
– Рассмотрим следующие задания
1. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной линиями: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Решение.
Ответ: 1163 cm 3.
Найти объем тела, получаемого вращением параболической трапеции, вокруг оси абсцисс y = 
, x = 4, y = 0.
Решение.
IV. Закрепление нового материала
Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением лепестка, вокруг оси абсцисс y = x2, y2 = x.
Решение.
Построим графики функции. y = x2, y2 = x. График y2 = x преобразуем к виду y = .
Имеем V = V1 – V2 Вычислим объем каждой функции
– Теперь, давайте, рассмотрим башню для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту замечательного русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова. Она состоит из частей – гиперболоидов вращения. Причём, каждый из них изготовлен из прямолинейных металлических стержней, соединяющих соседние окружности (рис.8, 9).
– Рассмотрим задачу.
Найти объем тела, получаемого вращением дуг гиперболы 
вокруг ее мнимой оси, как показано на рис. 8, где 
Решение.
куб. ед.
Задания по группам. Учащиеся вытягивают жребий с задачами, рисунки выполняют на ватмане, один из представителей группы защищает работу.
Я группа.
Удар! Удар! Ещё удар!
Летит в ворота мячик – ШАР!
А это– шар арбузный
Зелёный, круглый, вкусный.
Вглядитесь лучше – шар каков!
Он сделан из одних кругов.
Разрежьте на круги арбуз
И их попробуйте на вкус.
Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ОХ функции, ограниченную 
Решение.
Ошибка! Закладка не определена.
– Скажите, пожалуйста, где мы встречаемся с данной фигурой?
Дом. задание для 1 группы. ЦИЛИНДР (слайд).
"Цилиндр – что такое?" – спросил я у папы.
Отец рассмеялся: Цилиндр – это шляпа.
Чтобы иметь представление верное,
Цилиндр, скажем так, это банка консервная.
Труба парохода – цилиндр,
Труба на нашей крыше – тоже,
Все трубы на цилиндр похожи.
А я привёл пример такой –
Калейдоскоп любимый мой,
Глаз от него не оторвёшь,
И тоже на цилиндр похож.
– Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем.
2-я группа. КОНУС (слайд).
Сказала мама: А сейчас
Про конус будет мой рассказ.
В высокой шапке звездочёт
Считает звёзды круглый год.
КОНУС – шляпа звездочёта.
Вот какой он. Понял? То-то.
Мама у стола стояла,
В бутылки масло разливала.
– Где воронка? Нет воронки.
Поищи. Не стой в сторонке.
– Мама, с места я не тронусь,
Расскажи ещё про конус.
– Воронка и есть в виде конуса лейка.
Ну-ка, найди мне её поскорей-ка.
Воронку я найти не смог,
Но мама сделала кулёк,
Картон вкруг пальца обкрутила
И ловко скрепкой закрепила.
Масло льётся, мама рада,
Конус вышел то, что надо.
Задание. Вычислить объем тела полученный вращением вокруг оси абсцисс
Дом. задание для 2-й группы. ПИРАМИДА (слайд).
Я видел картину. На этой картине
Стоит ПИРАМИДА в песчаной пустыне.
Всё в пирамиде необычайно,
Какая-то есть в ней загадка и тайна.
А Спасская башня на площади Красной
И детям, и взрослым знакома прекрасно.
Посмотришь на башню – обычная с виду,
А что на вершине у ней? Пирамида!
Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем пирамиды
Вывод.
– Объёмы различных тел мы вычисляли опираясь на основную формулу объёмов тел с помощью интеграла.
Это является ещё одним подтверждением того, что определённый интеграл есть некоторый фундамент для изучения математики.