История применения дифференцированного исчисления

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1)о разыскании касательной к произвольной линии

2)о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500-1557 гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяли Ньютон и Лейбниц. Ей посвятил целый трактат в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лагранж.

Дифференциальное исчисление – широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин. Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию. В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников. Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводиться к нахождению экстремума функции.

Применение производной позволяет увидеть планируемые действия, понять их необходимость, тем самым, помогая экономистам в составлении успешных бизнес-планов.

Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс – интегрирование.

Определение производной, выдерживая определённую концепцию, по – своему преподносят в современных учебниках Алимов, Башмаков и Колмагоров.

Принято считать, что трактовка производной Алимовым в учебнике направлена в основном на то, каким образом применяются формулы производной на практике. Каждое дополнение к понятию производной автор обязательно закрепил задачами.

Колмогоров отводит данной теме более большой объём. Может быть, характер производной раскрыт более сложно и вызывает затруднения, но подробная детализация некоторых аспектов гарантирует высокую подготовку.

Учебник Башмакова принято считать более подходящим для самостоятельного изучения материала. Понятия производной Башмаков излагает очень кратко, но последовательность доказательств помогает просто и понятно вникнуть в тему. Особая характерная черта – Башмаков все абстрактные математические понятия «воплощает» в жизни, предлагая конкретные примеры.

Заключение: Применение производной довольно широко. Однако в наше время, в связь с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как простых, так и сверхсложных задач.

Лейбниц и дифференциальное исчисление

Введение

Исследованиями в области дифференциальных исчислений занимались многие знаменитые ученые, Ньютон, Лейбниц, Барроу и др. Однако главная заслуга принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу.

Ученый установил четкие правила для простейших операций, из которых строятся более сложные, и постоянную связь их с определенной системой обозначений. Метод Лейбница был представлен в такой форме, которую легко можно было усвоить и затем применять механически, придерживаясь определенных правил для простых операций. Это было преимуществом для математиков, которые менее глубоко чувствовали предмет. Данное обстоятельство привело к созданию школы Лейбница.

Лейбниц Готфрид Вильгельм (01.07.1646 - 14.11.1716) - немецкий математик, физик и философ, организатор и первый президент Берлинской АН (1700), член Лондонского королевского общества (1673), член Парижской АН (1700).

Родился Лейбниц в Лейпциге. В 1661 поступил на юридический факультет Лейпцигского университета. Кроме юридических наук изучал философию и математику, занимался вопросами химии, геологии, конструированием ветряного двигателя для насосов, выкачивающих воду из шахт. Особенно плодотворной была научная деятельность Лейбница в области математики.

На изучение Лейбницем математики большое влияние оказал Гюйгенс. Последний предложил задачу определения суммы чисел, обратных треугольным, т. е. чисел вида

.

Но на решении этой задачи Лейбниц не остановился, он нашел также сумму чисел, обратных пирамидальным, и других рядов, что явилось подготовкой к созданию дифференциального исчисления.

Лейбниц продолжил работу в этом направлении, штудируя труды Кавальери, Григория и Паскаля в области инфинитезимальных исследований. Ученый усвоил работы в этой области настолько, что мог применять их самостоятельно, что доказал новым инфинитезимальным преобразованием, из которого получалось большинство известных на тот период квадратур. Теперь это преобразование получают из выражения для площади сектора, ограниченного двумя радиусами-векторами и бесконечно малой дугой. Сам Лейбниц при создании дифференциального исчисления, также пользовался этим дифференциальным выражением. В более же ранних своих рукописях и письмах он использует ту же геометрическую форму, что давали и его предшественники.

На рис. 1 к кривой AC проведена касательная EC, отсекающая отрезок AE. Этот отрезок берется в качестве ординаты BF точки F, которая обладает одинаковой абсциссой с точкой C. Площадь, ограниченная геометрическим местом этой точки, осью абсцисс и двумя ординатами, больше площади сектора, ограниченного дугою кривой AC и радиусами-векторами, проведенными из A к ее концам, в два раза. Если рассмотреть бесконечно малые части этих фигур (прямоугольники и треугольники) то, из подобия треугольников можно увидеть, что основание и высота бесконечно малого прямоугольника обратно пропорциональны высоте и основанию соответствующего бесконечно малого треугольника.

Предположив, что основание треугольника ACD (бесконечно малого сектора) элемент дуги кривой CD, тогда высотой будет перпендикуляр AH, выходящий из начала координат на касательную DCH.

Прямоугольные треугольники AHE и CDG подобны, следовательно, . Что в силу равенств и можно записать как:

.

Последнее равенство показывает, что площадь прямоугольника равна удвоенной площади сектора: .

Используя метод Ферма для определения касательных к параболам и гиперболам разных порядков, Лейбниц определил, что вспомогательная кривая также является параболой и гиперболой того же порядка, но с новым параметром. Таким образом, вычисляя площадь круга, ученый получил и разложил ее в ряд. Он нашел аналогичный ряд для .

Изучение бесконечных знакопеременных рядов привело ученого к рассмотрению сходимости таких рядов. Лейбниц выдвинул предположение, что бесконечный ряд с чередующимися знаками имеет конечную сумму при условии, что абсолютная величина членов убывает и стремится в пределе к нулю.

Независимо от изучения рядов Лейбниц выдвинул ряд мыслей по нахождению касательной к произвольной кривой при помощи характеристического треугольника, образованного разностями между абсциссами и между ординатами двух бесконечно близких точек и лежащей между этими точками дугою. Эти величины позже будут названы ученым dх,dу,dz. Но похожие размышления были обнаружены Лейбницем у Барроу и Грегори после изучения их работ. Однако исследователем были сделаны интересные наблюдения. Вследствие того, что при рассматриваемом определении касательных применяются разности dу между ординатами, которые соответствуют разностям между абсциссами dх, то в обратную сторону ордината уявляется суммой этих разностей. На основании того, что задача о квадратуре сводится к определению такой же суммы, Лейбниц высказывает мнение, что почти все учение об обратных задачах на касательные можно представить в виде квадратур. Таким образом, была установлена связь между дифференцированием и интегрированием.

Над этими мыслями Лейбниц работал в течение нескольких лет. Во время этой работы он не обратил внимание на работы Барроу в этой же области. Это обстоятельство сыграло важную роль: Барроу предложил свои размышления в более легкой форме, если бы Лейбниц заметил это, то, возможно, у него не было бы случая создать свой аппарат. Барроу в своих работах представлял все величины геометрически. Величина в его работах изображается в виде площади, ограниченной осью абсцисс, кривою и двумя ординатами. Поэтому для Барроу безразлично будут ли промежутки dх между ординатами у равными или нет. В то время как Лейбниц придерживался представления Паскаля (умноженной на бесконечно малый множитель суммы бесконечно большого числа у.Данное представление предполагает, что промежутки между ординатами у равны. В этом случае равенство (при нижнем пределе равном 0), не дает возможности Лейбницу заключить, что равен , так как независимая переменная - . И то, что величины равны между собой, ученому придется доказывать отдельно.

В процессе работы над этими исследованиями ученый развил свою инфинитезимальную символику. Исследования также проводились по определенным установленным им правилам исчисления. Эти правила используются и теперь.

Заключение

Небольшое сочинение Лейбница, появившееся 1684 году, положило действительное начало исчислению бесконечно малых, дав правила, которые были достаточно просты для начала, и комбинация которых давала возможность дальнейшей работы. Оно открывает новую эпоху в истории математики. Сам Лейбниц уже ранее решал многие задачи исчисления бесконечно малых, чем то, что представлено в его работе.

Путем изучения литературы, через письменное и личное общение с другими математиками он усвоил существовавшие тогда методы и основательно их переработал. Благодаря этому он смог быстро двинуться вперед в своей работе.

Из всех современных ему математиков Лейбниц в наибольшей степени является лицом, с именем которого связано начало новой эпохи, в основном, благодаря тому, что наиболее значительные работы начала новой эпохи были созданы на основе введенных Лейбницем форм (это обстоятельство способствовало развитию последних), а также потому, что эти формы используются до сих пор.

Ссылка на источники:

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://www.scienceforum.ru

https://sernam.ru/book_e_math

https://cyber.econ.spbu.ru