ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №5

ЗАДАЧА № 5

 

Для заданных схем балок требуется:

- построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

- подобрать поперечные сечения балок из условия проч­ности по допускаемым напряжениям по следующим вариантам:

а) для стальной балки (рис.5.1,б) - прямоугольное высотой h и основанием b при соотношении сторон h/b =2;

б) для чугунной балки (рис.5.1,а) - форму сечения выбрать по рис.5.2, определить размеры сечения из условия проч­ности по допускаемым напряжениям;

в) для стальной балки (рис.5.1,в) - сечение, состоящее из двух швел­леров.

Для чугунной балки (рис.5.1,а) определить вертикальное перемещение свободного конца балки. Материал балки СЧ20 Е =110ГПа.

 

Числовые данные берутся из табл. 5, расчетные схемы - по рис.5.1.

 

Таблица 5

Номер строки	Номер расч. схемы (рис.	Сила	Момент	Длина участ- ка	Интен- сивность распреде- ленной	Допускаемое напряжение, , МПа
	5.1,5.2)	P 1	P 2	m 1	m 2	а,	нагрузки q,	Сталь	Чугун
		кН	кН	кН×м	кН×м	м	кН/м
						1,5
						1,5
	з	ж	а	б	в	г	д	е	е	е

Числовые данные к задаче № 5

 

Рис. 5.1. Расчетные схемы балок к задаче № 5

 

 

Рис.5.2. Формы сечений чугунных балок к задаче № 5

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 5

 

Основные теоретические сведения и расчетные формулы

При изгибе в поперечном сечении бруса, который в этом случае называется балкой, возникают два внутренних усилия: попе­реч­ная си­­­ла Q и изгибающий момент M_z.

Поперечной силой в сечении называется внутреннее усилие, численно ра­­­­­в­­­­­ное алгебраической сумме проекций всех сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, на нормаль к оси балки. По­­­­­перечная сила считается положительной, если она стремится вращать бес­­­­конечно малый элемент балки по ходу часовой стрелки. Обратное на­пра­в­ление вращения соответствует отрицательной поперечной силе (рис.5.3).

 

Рис. 5.3. Правило знаков для поперечной силы

Изгибающим моментом в сечении балки называется внутреннее усилие, численно равное алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно его центра тяжести. Изгибающий момент положителен, если под его воздействием балка изгибается выпуклостью вниз; при изгибе выпуклостью вверх изгибающий момент считается отрицательным (рис.5.4). Эпюра изгибающего момента строится со стороны сжатого волокна балки, которое находится с вогнутойчасти балки. Положительные значения изгибающего момента откладываются вверх от оси эпюры, отрицательные - вниз.

Примечание: Студенты строительных специальностей строят эпюру изгибающего момента со стороны растянутого волокна, что не влияет на результаты расчетов балок на прочность и жесткость.

Рис. 5.4. Правило знаков для изгибающего момента

При решении задач, связанных с расчетами балок на прочность и жесткость, строятся графики изменения этих усилий по длине бруса - эпю­ры поперечных сил и изгибающих моментов. Целью построения эпюр при расчетах на прочность является нагля­д­ное представление изменения внутренних усилий в сечении в зависимости от его положения и определение на­­иболее нагруженных участков балки.

Для того чтобы установить закон изменения внутренних усилий по дли­не балки, выбирается прямоугольная система координат, ось абсцисс x направляется вдоль оси балки, а оси y, z совмещаются с главными цент­раль­ными осями инерции поперечного сечения. Затем записываются аналитические выражения для поперечной силы и изгибающего момента в виде функций от абсциссы x, определяющей поло­же­­ние рассматриваемого сечения. Соста­вив уравнения Q(x) и M_z(x), аб­сцис­сам дают последовательно конкретные значения и вычисляют вели­чины Q и M_z,, откладывая их в принятом масш­табе от оси эпюры вверх или вниз, строя таким образом графики функций Q(x) и M_z(x) - эпюры по­перечных сил и изгибающих моментов.

При изгибе балки в ее поперечном сечении возникают нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения определяются по формуле

, (5.1)

где M_z - изгибающий момент в рассматриваемом сечении;

J_z - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси;

y - расстояние от нейтральной оси до точки, где определяется напряжение.

Условие прочности при изгибе для пластичных материалов

, (5.2)

где _z - осевой момент сопротивления при изгибе, вычисляемый относительно нейтральной оси. Для простых геометрических фигур его вычисляют по формулам:

для прямоугольника ; для круга .

Моменты сопротивления прокатных профилей приводятся в таблицах сор­та­мента.

Для хрупких материалов (чугун, высокоуглеродистые стали), имеющих сущес­т­венно различные пределы проч­н­ости при растяжении и сжатии , тре­буется проверка их прочности по на­и­­большим растягивающим и наи­боль­шим сжимающим напряжениям :

,

 

где , ; n - запас прочности.

 

Универсальным способом определения перемещений является энер­ге­тический. В применении к балкам и плоским рамам этот метод при­во­дится к вычислению интеграла Мора:

, (5.3)

 

где D - искомое перемещение (линейное перемещение или угол поворота);

l_i - длина участка балки или рамы;

E_iJ_i - изгибная жесткость этого участка;

М_pi - изгибающий момент от внешней нагрузки в произвольном сечении на участке l_i;

- изгибающий момент от единичной нагрузки в том же сечении;

n - число участков l_i, на которые разбивается данная балка или рама.

Для определения перемещения по формуле Мора необходимо:

1) рассмотреть так называемое грузовое (заданное) состояние кон­с­т­рукции, записав выражения для вычисления внут­ренних усилий, дей­ствующих в произвольно выбранном поперечном сечении каждого стержня от действия внешних нагрузок;

2) рассмотретьединичное состояние, для чего снять с конструкции все дей­ст­ву­ющие на нее нагрузки и приложить в сечении, перемещение ко­то­­рого оп­ре­деляется, по заданному направлению единичную силу (при опре­делении ли­нейного перемещения) или единичный момент (при вы­чи­с­ле­нии угло­вого перемещения);

3) записать выражения для изгибающих моментов, действующих в про­из­вольно выбранном поперечном сечении каждого стержня от единич­ной наг­руз­ки;

4) составить интеграл Мора и после интегрирования по участкам всей конструкции вычислить искомое перемещение.

Если искомое перемещение получилось отрицательным, то это озна­ча­ет, что дей­стви­тель­ное перемещение противоположно принятому нап­рав­ле­нию единич­ной наг­рузки.

Интеграл Мора можно вычислять графоаналитически, если предвари­тель­но построены эпюры моментов от заданной и единичной нагрузок.

 

Расчетная формула в этом случае имеет вид

(5.4)

где - площадь эпюры М_pi от заданной нагрузки на участке l_i;

- ордината эпюры от единичной нагрузки, расположенная под
центром тяжести эпюры М_pi на участке l_i.

Этот способ вычисления интеграла Мора называется «перемножением эпюр», или правилом Верещагина.

Метод перемножения эпюр применим для определения перемещений в ко­н­струкциях, сос­тоящих из прямо­ли­нейных элементов, жесткость кото­рых в пределах отдельных ее участков постоянна.

Для определения перемещений по Верещагину необходимо:

1) построить эпюры внутренних силовых факторов от действия вне­шних сил, при изгибе - эпюру изгибающих моментов;

2) построить эпюры внутренних силовых факторов от действия еди­ничной силы (момента), приложенной в сечении, перемещение кото­рого оп­ре­де­ля­ется, по заданному направлению (при изгибе - еди­ничную эпюру изгибающих моментов);

3) вычислить искомое перемещение для каждого участка путем ум­ножения площади нелинейной эпюры на ординату линейной эпюры, взятую под цент­ром тяжести нелинейной, и деления результата на жесткость ра­ссматр­и­ваемого участка.

Ординаты на эпюре вычисляются из подобия со­отве­­т­ствующих тре­уголь­ников (рис.5.5).

Рис. 5.5. Пример применения правила Верещагина

 

В тех случаях, когда обе эпюры прямолинейны, можно умножать пло­щадь любой из них на ординату другой под центром тяжести первой.

Если эпюра от внешней нагрузки имеет сложный вид, то рекомен­ду­ет­­ся ее представить в таком виде, чтобы вычисление ее площади и положения центра тяжести было наиболее простым.

Произведение отрицательно, если эпюры от внешних нагрузок и еди­ничной силы (момента) противоположны по знаку, т.е. расположены по разные стороны от оси стержня. Это означает, что направление пере­мещения противоположно направлению единичной силы (момента).

 

Для вычисления прогиба в каком - либо сечении балки следует по на­правлению ис­ко­мого перемещения к основной системе приложить единичную силу (при вычислении угла поворота - единичный момент ) и построить эпюру изгибающих моментов от действия этой единичной нагрузки. Искомое перемещение вычисляется путем перем­ножения эпюры изгибающих моментов M на построенную эпюру .

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №5

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать раз­меры поперечного сечения стальной балки (рис. 5.б) для балки прямоугольного сечения со сторонами h и b при h/b = 2. Балка выполнена из ста­ли с допускаемым напряжением [s ] =190МПа;

а =1 м; q =10кН/м.

=1.5qa

=0.5qa

H

Рис. 5.6. Расчетная схема балки

 

1.Определение опорных реакций.

На схеме показываем опорные реакции R₁, H, R₂ . Вертикальные реакции направляем вверх и записываем уравнения равновесия:

 

Проверим правильность вычислений, составив еще одно уравнение равновесия:

Условие равновесия удовлетворяется, реакции определены правильно.

 

2.Построение эпюры Q.

Мысленно разбиваем балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых к балке приложены сосредоточенные силы или пары сил, на­чинаются или заканчиваются распределенные нагрузки, имеются про­­ме­жуточные шарниры. В рассматриваемой балке граничными сече­ниями будут се­чения A, B, C и D. Для каждого из трех участков запишем аналитическое выражение Q (x).

Участок AB, 0<x<a. Рассмотрим произвольно выбранное сечение с абсциссой x. Рассекая балку в этом сечении на две части и отбросив правую часть, вычисляем алгебраическую сумму проекций на ось y всех сил, действующих на оставшуюся часть:

Поперечная сила не зависит от переменной x на протяжении всего участка, следовательно, эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси абсцисс. Отло­жив от оси эпюры вверх в выбранном масштабе 0,5qa (рис.5.7), строим эпю­ру на этом участке.

Участок BC, a<x <2 a. Алгебраическая сумма проекций всех сил на ось y слева от сечения с абсциссой x

.

Полученное выражение является уравнением наклонной прямой, которая может быть построена по двум лежащим на ней точкам. Для ее построения най­дем значения поперечной силы на границах участков балки

Участок CD, 2 a < x <3 a. Поперечная сила на расстоянии x от начала координат

Так как поперечная сила не зависит от переменной x, на последнем участке эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси бал­ки (см. рис 5.7).

 

3. Построение эпюры M_z.

Аналитическое выражение для вычисления изгибающего момента в сечении x необходимо записать для каждого участка балки.

Участок AB:

.

На этом участке балки изгибающий момент возрастает по линейному закону и эпюра M_z ограничена наклонной прямой. Вычисляя его значения в сечениях на границах участка, строим в масштабе (рис 5.7) эпю­ру M_z на сжатом во­ло­кне

Участок BC:

Полученное уравнение является уравнением квадратной параболы и, поскольку поперечная сила Q на участке BC не изменяет знак, экстремума на эпюре M_z не будет.

Определим изгибающий момент на границах участка:

 

Отложив вверх от оси балки найденные значения, проводим квадрат­ную па­­­­ра­­болу выпуклостью вверх (навстречу вектору усилия равномерно распределенной нагрузки).

 

Участок CD:

.

 

В пределах последнего участка балки ( 2 a<x< 3 a) изгибающий момент линейно зависит от абсциссы x, и эпюра ограничена прямой линией.

При при

Эпюры Q и M_z показаны на рис. 5.7.

 

z

Рис. 5.7. Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

 

По эпюре M_z находим опасное сечение балки - сечение, в котором изгибающий момент максимален по абсолютной величине. Для задан­ной балки изгибающий момент в опасном сечении = M_z(2a)=1,5qa² или после подстановки числовых значений 15кН×м.

Из условия прочности определим требуемый момент сопротивления сечения

 

Подбираем прямоугольное сечение, момент сопротивления которого определяется с учетом того, что :

Отсюда

 

Рассмотрим второй метод построения эпюр внутренних усилий, дей­ствующих в сечениях балки. Он состоит в том, что попе­реч­ные­ силы и из­­­­ги­ба­ющие моменты вычисляются на границах участков без записи уравнений , а соответствующие эпюры строятся на основании диф­фе­рен­циальных зависимостей между Q, M, q:

. (5.5)

Зависимости (5.5) позволяют установить следующие характерные особенно­сти эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:

На участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена пря­мыми, параллельными оси балки, а эпюра M - наклонными прямыми.

На участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра M - квадратными параболами, выпуклость которых направлена навстречу вектору рав­но­мер­но распределенной нагрузки.

На участках, где Q > 0, изгибающий момент возрастает; если Q< 0 - из­ги­бающий момент убывает.

В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q бу­дут скачки на величину приложенных сил, а на эпюре M - переломы, острие которых направлено против действия этих сил.

В сечениях, где к балке приложены пары сил (сосредоточенные мо­менты), на эпюре M будут скачки на величину этих моментов.

Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка и эпюра Q в пределах участка изменяет знак, то в сечении, где Q = 0, на эпюре M_z будет экстремум.

Примеры использования дифференциальных зависимостей при расчете балок приводятся ниже.

Рассмотрим задачу подбора сечения балки, изготовленной из хрупкого матери­ала. Балка (рис.5.8) изготавливается из чугуна и имеет сече­ние, показанное на рис.5.10.

Требуется определить из расчета на прочность по допускаемым напряжениям размеры поперечного сечения, если материал балки - чугун с допускаемым напряжением на сжатие [s]_сж = 700МПа и на растяжение[s]_р = 140МПа; 1м; 10кН/м.

Рис. 5.8. Расчетная схема чугунной балки

Для нахождения опасного сечения строим эпюры M и Q. Очевидно, что дан­ная балка имеет три участка:

AB (0 ), BC (a ), CD (2a ).

Для того чтобы не вычислять опорные реакции, рассмотрим балку, начиная с участка AB. Найдем поперечную силу и изгибающий момент в начале этого участка. Мысленно рассечем балку в сечении A на две части и отбросим правую ее часть. Слева на оставшуюся часть дей­ствует только сосредоточенная сила, равная 2qa. Проектируя эту силу на нор­маль к оси балки, получаем

Q(0) = 2qa.

Рассекая балку в сечении B и поступая аналогично, находим величину поперечной силы в этом сечении - она равна алгебраической сумме про­екций сил, действующих на оставшуюся левую часть балки, на нормаль к ее оси:

Q (a) = 2qa - qa qa,

где 2qa - проекция сосредоточенной силы на нормаль к оси балки;

qa - проекция равнодействующей распределенной нагрузки.

Изгибающий момент в начале первого участкаM (0) = 0; в конце участ­ка он равен алгебраической сумме моментов относительно точки B от сосредоточенной си­лы 2qa и распределенной нагрузки:

.

 

Строим эпюры Q и M_z для первого участка балки.

Выбрав масштаб, откладываем вверх от оси эпюр (Q и M_z поло­жи­тельны!) найденные зна­чения поперечных сил и изгибающих моментов. На эпюре Q соединяем прямой линией точки с координатами (0, 2qa) и (a, qa), а на эпюре M_z про­­во­дим квадратную параболу выпуклостью вве­рх через точки (0, 0) и(a, 1,5qa²).

Поступая аналогично, вычисляем поперечные силы и изгибающие моме­н­ты в начале и конце участков BC и CD.

Участок BC: ;

Q (a) qa, Q (2a) qa;

M (a) 1,5 qa², M (2a) 2,5 qa².

Отложив вверх вычисленные значения Q и M, строим эпюры внут­рен­них уси­лий на втором уч­а­ст­ке балки. Как следует из дифференциальных за­висимостей, эти эпюры ог­­ра­ничены прямыми линиями.

Участок CD: ;

Q (2a) qa, Q (3a) qa;

M (2a) =4,5 qa², M (3a) = 5,5 qa².

В начале последнего участка к балке приложена пара сил, что вызывает по­явление скачка на эпюре изгибающих моментов. На участке CD распределенной нагрузки нет, поэтому эпюры Q, M_z ограничены прямыми ли­­ниями (рис.5.9).

Окончательный вид эпюр Q, M_z показан на том же рисунке.

 

Рис. 5.9. Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Опасное сечение находится в заделке и ­рас­четный изгибающий момент = 5,5 qa² = Н×м = Н×м= 55 кН×м.

Для определения размеров поперечного сечения необходимо найти из ус­ло­вия прочности балки осевой момент сопротивления относительно его не­й­тральной оси.

Заданное сечение (рис.5.10) имеет ось симметрии, и для определения по­ло­жения его центра тяжести достаточно вычислить только одну его коор­ди­нату- ординату у _с.

Разобьем заданную фигуру на две простые части: прямоугольник (1) и полукруг (2). В ка­честве исходных осей принимаем главные центральные оси прямоугольника y₁, z₁. Тогда ордината центра тяжести всей фигуры опре­де­лится по формуле

Определив положение центра тяжести, проводим главные центральные оси составной фигуры.

Рис. 5.10. Поперечное сечение чугунной балки

 

Вычисляем момент инерции зад­анного сечения относительно главной центральной оси Z^*):

 

При расчете на прочность балок, изготовленных из хрупких материалов, для сечений с одной осью симметрии необходимо вычислять два момента сопротивления относительно оси Z:

Из эпюры изгибающих моментов (рис.20), построенной на сжатом волокне, следует, что в опасном сечении верхние волокна балки сжаты, а ниж­ние растянуты. Условие прочности для опасных точек в растянутой зоне сечения имеет вид

Отсюда a = 0,043м = 4,3 см.

Опасной точкой в сжатой зоне является точка, наиболее удаленная от оси z на расстояние . Условие прочности балки по допускаемым напряжениям на сжатие

Отсюда a = 0,026м = 2,6см.

В расчете по нормальным напряжениям из двух найденных значений a принимаем большее (a = 4,3см), что обеспечивает прочность материала балки как в растянутой, так и в сжатой зонах.

 

Рассмотрим пример подбора составного сечения стальной балки.

Для балки (рис.5.11) подобрать сечение, состоящие из двух стальных шве­л­­леров. Принять а = 1 м; q = 10кН/м;[s ] =190МПа.

Рис. 5.11. Расчетная схема балки

Определяем опорные реакции:

Отметим, что момент распределенной нагрузки относительно опоры B равен нулю, а реакция второй опоры направлена не вверх, как показано на рис.5.11, а вниз.

Проверка правильности вычисления опорных реакций:

Реакции определены правильно.

Эпюры Q, M_z строятся аналогично эпюрам предыдущего примера. Вид эпюр показан на рис.5.12.

Рис. 5.12. Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и

Изгибающих моментов

По эпюре М_z находим величину изгибающего мо­мента, максимального по модулю

Сечение балки подбираем из условия прочности при изгибе. Требуемый момент сопротивления сечения, состоящего из двух швеллеров

Осевой момент сопротивления одного швеллера будет в два раза мень­ше-

По таблице сортамента прокатной стали находим, что ближайший подходящий момент сопротивления имеет швеллер № 12, для которого W_x= 50,6см ³. Швеллер № 10 с осевым моментом сопротивления принять нельзя, так как в этом случае момент со­про­тивления сечения, составленного из двух швеллеров, будет равен 69,6 см³<79 см³ и напряжения в балке превысят допускаемые на 13 %, что неприемлемо (в ра­счетах допускается перенапряжение £ 5%).

 

Для чугунной балки (рис.5.1а) определяем вертикальное перемещение сечения А.

Строим грузовую эпюру – эпюру изгибающих моментов М от действия внешней нагрузки. Вид эпюры показан на рис.5.13.

Рис. 5.13. Расчетная схема балки. Эпюры