Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть задана функция . Если для любого несобственный интеграл с особой точкой сходится, то определена функция .

Теоремы, справедливые для собственных интегралов, зависящих от параметра, могут быть несправедливыми для несобственных интегралов.

Пример 1. Рассмотрим при интеграл

Подынтегральная функция непрерывна на множестве . а функция терпит разрыв в точке .

Для того, чтобы обобщить теоремы, справедливые для собственных интегралов, зависящих от параметра, на несобственные интегралы вводится понятие равномерной сходимости по параметру несобственного интеграла.

Если у несобственного интеграла две особых точки, то нужно такой интеграл представить в виде суммы двух интегралов с одной особой точкой и исследовать каждый интеграл на равномерную сходимость. Без ограничения общности можно ограничиться рассмотрением интегралов с особой точкой .

Определение. Пусть несобственный интеграл сходится при всех . Будем говорить, что сходится на множестве равномерно по параметру , если при .

Замечание. Из определения следует, что интеграл

сходится равномерно по параметру на множестве в том и только в том случае, когда для любого числа интеграл

сходится равномерно.

Пример 1. C3. §14 1(1,2)

Исследовать интеграл на равномерную сходимость

1) на множествах и

Решение. При

при .

Так как

то при .

Интеграл сходится равномерно на множестве .

Если , то

не стремится к нулю при . Интеграл сходится неравномерно на множестве .

Пример 2.. C3. §14 6(4)

Интеграл сходится равномерно на множестве и сходится неравномерно на множестве .

Если , то

при .

Если , то

не стремится к нулю при . Интеграл сходится неравномерно на множестве .

Пример 3. С. §14. 7(6)

Решение. Если , то

не стремится к нулю при . Интеграл сходится неравномерно по параметру на множестве .

Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла.

Для того, чтобы несобственный интеграл с особой точкой сходился равномерно по параметру на множестве необходимо, чтобы выполнялось следующее условие Коши: для любого найдется такое число , что для любых двух чисел выполнено неравенство

Замечание. Несобственный интеграл с особой точкой сходился неравномерно по параметру на множестве, если не выполнено условие Коши. Строим отрицание: условие Коши не выполнено, если найдется такое число , что для любого найдутся такие числа , что .

Достаточные условия равномерной сходимости несобственного интеграла.

Теорема. (признак Вейерштрасса равномерно сходимости несобственного интеграла). Еслиb и , то несобственный интеграл сходится равномерно по параметру на множестве .

Доказательство.

Так как интеграл сходится, то при . Следовательно,

при . Интеграл сходится равномерно по параметру на множестве .

Пример 4. Интеграл сходится равномерно по параметру на множестве .

Так как сходится, то по признаку Вейерштрасса сходится равномерно по параметру на множестве

Пример 5. Пусть . Интеграл сходится равномерно на множестве и сходится неравномерно на множестве .

Решение. Пусть . Если , то

В силу признака Вейерштрасса интеграл сходится равномерно по параметру на множестве .

Покажем, что условие Коши не выполнено на множестве . Пусть задано произвольное число . Найдется такое натуральное число , что . Положим

. На отрезке выполнено неравенство

. Но тогда,

Условие Коши не выполнено интеграл сходится неравномерно по параметру на множестве .

Рассмотрим несобственный интеграл с особой точкой .

Теорема. (Признак Дирихле равномерно сходимости интеграла по параметру).

Если при выполнены следующие условия

1) непрерывная функция имеет по переменной первообразную и ,

2) функция и частная производная являются непрерывными функциями переменной .

3) При любом Функция монотонна по переменной и равномерно по параметру стремится к нулю при ,

то интеграл сходится равномерно по параметру на множестве .

Доказательство. Применим формулу интегрирования по частям

(1)

При любом значении параметра функция монотонна. Без ограничения общности можно считать, что она убывает. Следовательно, . Так как равномерно по параметру стремится к нулю при , то при . Из равенства (1) получаем, что

Следовательно,

при .

Интеграл сходится равномерно по параметру на множестве .

Аналогично формулируются признаки равномерной сходимости для интегралов с конечной особой точкой.

Доказательство следующих двух теорем можно найти в любом рекомендуемом учебнике.

Теорема 1. (о непрерывной зависимости несобственного интеграла от параметра и интегрируемости интеграла по параметру). Если функция непрерывна на множестве и интеграл с особой точкой сходится равномерно на отрезке , то интеграл является непрерывной функцией параметра на отрезке и справедлива формула перемены порядка интегрирования

. (1)

Теорема 2. (о дифференцируемости несобственного интеграла по параметру). Если функции и непрерывны на множестве , интеграл с особой точкой сходится и интеграл сходится равномерно на отрезке , то интеграл является непрерывно дифференцируемой функцией параметра на отрезке и

. (2)

Теоремы 1 и 2 являются эффективным инструментом при вычислении многих несобственных интегралов.

Пример 6. Вычисление интеграла Дирихле .

Решение. Рассмотрим интеграл

, (3)

Покажем, что этот интеграл сходится равномерно не множестве . Функция имеет ограниченную первообразную , функция непрерывно дифференцируема на , убывает и равномерно стремится к нулю при , так как . В силу признака Дирихле интеграл сходится равномерно на множестве . Из теоремы 1 следует, что функция непрерывна на любом отрезке . В частности, эта функция непрерывна справа в точке

. (4)

Пусть задан произвольный отрезок Продифференцируем интеграл (3) по параметру

. (5)

Так как

, то по признаку Вейерштрасса интеграл (5) сходится равномерно по параметру на отрезке . Из теоремы 2 следует, что дифференцирование по параметру законно. Интеграл (5) легко вычисляется

Следовательно,

Так как произвольный отрезок, принадлежащий интервалу , то

(6)

Так как

то

Из равенства (6) следует, что

. (7)

Из равенства (4) имеем, что

Рассмотрим интеграл, который называют разрывным множителем Дирихле

. (8)

Так как

, , то (9)

достаточно рассмотреть тот случай, когда

Но при справедливо равенство

. (10)

Из равенств (9) и (10) следует равенство (8).

Пример 7. Вычисление интегралов Лапласа

Так как , то по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно по параметру на и, поэтому является непрерывной функцией параметра. В частности

.(11)

Возьмем произвольное число . Покажем, что по признаку Дирихле интеграл равномерно сходится при : функция имеет равномерно ограниченную первообразную

, (12)

функция стремится к нулю при и имеет производную , принимающую отрицательные значения при . Следовательно, функция убывает при .

Дифференцируя интеграл получаем, что

Дифференцирование по параметру законно, так как интеграл равномерно сходится при .

Если формально продифференцировать , используя формулу (2), то мы получим расходящийся интеграл. Чтобы обойти это затруднение воспользуемся тем, что при интеграл и тем, что