Учебная карта к занятию 10.

Занятие 10

Построение графиков функций

1.Линейные преобразованияграфиков функций.

Во многих случаях графики элементарных функций можно построить по графику заданной его части или по графику другой функции с помощью линейных преобразований: параллельного переноса, растяжения (сжатия), преобразования симметрии.

О. 1.1. Пусть f – некоторая числовая функция с областью определения D(f). Тогда множество Г_f точек ) координатной плоскости, где , называется графиком функции f.

:= .

Рассмотрим вопрос построения графика новой функции , при помощи различных преобразований графика функции f и ее аргумента. Пусть построен график функции . Прежде чем приступить к построению , следует сначала расчленить функцию φ на более простые функции, записав цепочку преобразований.

Выясним, какие преобразования следует осуществить над Г_f, чтобы получить график искомой функции φ, задаваемой следующими выражениями:

1) (х)=f(х - а); 2) (х)=f(х) + А;

3) (х)=kf(x); 4) (х)=f(kx);

5) (х)=f(- x); 6) (х)= - f(x);

7) ; 8) .

Удобно оформить преобразования графика функции в виде следующей таблицы:

Таблица 1.

№	Общий вид функции	Преобразования, которые следует осуществить над	Иллюстрация
		Параллельный перенос графика функции вдоль оси абсцисс на \| a \| единиц · вправо, если a > 0; · влево, если, a < 0.
	y = f (x) + А	Параллельный перенос графика функции вдоль оси ординат на \| А \| единиц вверх, если А > 0, вниз, если А < 0.
	y = kf (x)	При k > 1 — растяжение графика функции по оси в k раз, при 0 < k < 1 — cжатие графика по оси в 1/ k раз.
	y = f (kx)	· При сжатие к точке вдоль оси в раз. · При , растяжение от точки вдоль оси в раз.
	a) y = f (− x); b) y = − f (x)	а) Симметричное отражение Г_f относительно оси . b) Симметричное отражение Г_f относительно оси
	y = \| f (x) \|	При f (x) 0 график функции остаётся без изменений, при f (x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси .
	y = f (\| x \|)	При — график остаётся без изменений, при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси .

Пример 1. Построить графики функций а) б)

Δ а) Согласно случаю 6. таблицы 1 для построения графика функции нужно воспользоваться графиком линейной функции , оставив без изменения часть графика этой функции, которая лежит выше оси , а часть графика, которая находится ниже оси , симметрично отражается относительно оси (см. рис. 1).

б) Согласно случаю 7. таблицы 1 для построения графика функциинужно оставить без изменения часть графика линейной функции для , а другую часть графика (для x < 0) удалить, а затем симметрично отобразить относительно оси оставшуюся часть графика (см. рис. 2).

Рисунок 1 Рисунок 2

Пример 2. Построить график функции

Δ Запишем следующую цепочку преобразований:

Г_f Г₂Г₁

Рисунок 3

Из цепочки преобразований видим, что: Г₂ получается сдвигом Г₁ вниз на 1 единицу. Г_f получается при помощи растяжения Г₂ по оси в 2 раза.

Строим теперь эскиз Г_f (см. рис. 3).

Пример 3. Построить график функции

Δ По свойству модуля

Поэтому

Составим следующую цепочку преобразований:

Заметим, что график функции Г₁- есть парабола, которая пересекает ось , в точках вершина параболы находится в точке . объединение правой части с ее зеркальным отражением в оси (см. рис. 4); получается из графика сдвигом вверх на 5 единиц (см. рис. 5).

Рисунок 4 Рисунок 5

2.Некоторые примеры и схемы построения эскизов графиков функций

2.1. Пусть требуется построить эскиз графика функции , заданной равенством где .

Сначала нужно расчленить функцию на более простые функции, записав цепочку преобразований. Порядок построения , начиная от первичного графика , указывается стрелками.

Пользуясь таблицей и выписанной цепочкой, следует объяснить, каким преобразованием получается из , из и т.д., из . После чего приступить к последовательному построению графиков. Для рассматриваемого случая имеем следующие объяснения:

сдвиг влево вдоль оси на единиц.

зеркальное отражение в оси

растяжение от оси вдоль оси в раз.

зеркальное отражение в оси .

растяжение от оси вдоль оси в раз.

объединение правой части с его зеркальным отражением в оси .

сдвиг вдоль оси вверх на единиц.

Заметим, что расчленение функции в цепочку более простых, вообще говоря, неоднозначно. Однако следует помнить, что величина сдвига вдоль оси определяется той постоянной, которая прибавляется к , a не к « », и тем более не к « ». Поэтому для отыскания этой постоянной следует сначала освободить от знака модуля и коэффициента а.

Пример 4. Построить график функции Г_f, где f(х)=

Δ Запишем следующую цепочку преобразований:

f(х)

Г_f Г₄Г₃Г₂Г₁

Из которой ясно, что:

Г₂ – получается сдвигом Г₁ влево на 2 единицы.

Г₃- получается сдвигом Г₂ вниз на 3 единицы.

Г₄ – часть графика Г₃, находящаяся ниже оси , отразится зеркально в оси

Г_f – сжатие Г₄ к оси с коэффициентом равным 2.

Строим теперь эскиз Г_f (см. рис. 6):

Рисунок 6

Пример 5. Построить график функции где

Δ Запишем следующую цепочку преобразований:

При этом:

объединение правой части с его зеркальным отражением в оси .

результат сдвига влево на 2 единицы.

результат растяжения от оси с коэффициентом растяжения 2.

зеркальное отображение графика в оси .

Строим теперь эскиз графика функции (см. рис. 7).

Рисунок 7

2.2. Построение графика дробно-линейной функции

Выделив целую часть, представим функцию в виде: (1) Тогда нетрудно заметить, что искомый график представляет собой график функции (гиперболу), смещённый на вправо по оси Ох, если , влево - если ; и на вверх по оси Оу, если , вниз – если (см. рис. 8).