Занятие 10
Построение графиков функций
1.Линейные преобразованияграфиков функций.
Во многих случаях графики элементарных функций можно построить по графику заданной его части или по графику другой функции с помощью линейных преобразований: параллельного переноса, растяжения (сжатия), преобразования симметрии.
О. 1.1. Пусть f – некоторая числовая функция с областью определения D(f). Тогда множество Гf точек
) координатной плоскости, где
, называется графиком функции f.
:=
.
Рассмотрим вопрос построения графика новой функции , при помощи различных преобразований графика функции f и ее аргумента. Пусть построен график функции
. Прежде чем приступить к построению
, следует сначала расчленить функцию φ на более простые функции, записав цепочку преобразований.
Выясним, какие преобразования следует осуществить над Гf, чтобы получить график искомой функции φ, задаваемой следующими выражениями:
1) (х)=f(х - а); 2)
(х)=f(х) + А;
3) (х)=kf(x); 4)
(х)=f(kx);
5) (х)=f(- x); 6)
(х)= - f(x);
7) ; 8)
.
Удобно оформить преобразования графика функции в виде следующей таблицы:
Таблица 1.
№ | Общий вид функции | Преобразования, которые следует осуществить над ![]() | Иллюстрация |
![]() ![]() | Параллельный перенос графика функции ![]() | ![]() ![]() | |
y = f (x) + А | Параллельный перенос графика функции ![]()
| ![]() ![]() | |
y = kf (x) |
| ![]() | |
y = f (kx) |
· При ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() | |
a) y = f (− x); b) y = − f (x) | а) Симметричное отражение Гf относительно оси ![]() ![]() ![]() | ![]() | |
y = | f (x) | |
При f (x) ![]() ![]() ![]() | ![]() | |
y = f (| x |) |
При ![]() ![]() | ![]() |
|
Пример 1. Построить графики функций а) б)
Δ а) Согласно случаю 6. таблицы 1 для построения графика функции нужно воспользоваться графиком линейной функции
, оставив без изменения часть графика этой функции, которая лежит выше оси
, а часть графика, которая находится ниже оси
, симметрично отражается относительно оси
(см. рис. 1).
б) Согласно случаю 7. таблицы 1 для построения графика функциинужно оставить без изменения часть графика линейной функции для
, а другую часть графика (для x < 0) удалить, а затем симметрично отобразить относительно оси
оставшуюся часть графика (см. рис. 2).
Рисунок 1 Рисунок 2
Пример 2. Построить график функции
Δ Запишем следующую цепочку преобразований:
Гf Г2 Г1
Рисунок 3
Из цепочки преобразований видим, что: Г2 получается сдвигом Г1 вниз на 1 единицу. Гf получается при помощи растяжения Г2 по оси в 2 раза.
Строим теперь эскиз Гf (см. рис. 3).
Пример 3. Построить график функции
Δ По свойству модуля
Поэтому
Составим следующую цепочку преобразований:
Заметим, что график функции Г1- есть парабола, которая пересекает ось , в точках
вершина параболы находится в точке
.
объединение правой части
с ее зеркальным отражением в оси
(см. рис. 4);
получается из графика
сдвигом вверх на 5 единиц (см. рис. 5).
|
Рисунок 4 Рисунок 5
2.Некоторые примеры и схемы построения эскизов графиков функций
2.1. Пусть требуется построить эскиз графика функции
, заданной равенством
где
.
Сначала нужно расчленить функцию на более простые функции, записав цепочку преобразований. Порядок построения
, начиная от первичного графика
, указывается стрелками.
Пользуясь таблицей и выписанной цепочкой, следует объяснить, каким преобразованием получается из
,
из
и т.д.,
из
. После чего приступить к последовательному построению графиков. Для рассматриваемого случая имеем следующие объяснения:
сдвиг
влево вдоль оси
на
единиц.
зеркальное отражение
в оси
растяжение
от оси
вдоль оси
в
раз.
зеркальное отражение
в оси
.
растяжение
от оси
вдоль оси
в
раз.
объединение правой части
с его зеркальным отражением в оси
.
сдвиг
вдоль оси
вверх на
единиц.
Заметим, что расчленение функции в цепочку более простых, вообще говоря, неоднозначно. Однако следует помнить, что величина сдвига вдоль оси
определяется той постоянной, которая прибавляется к
, a не к
«
», и тем более не к «
». Поэтому для отыскания этой постоянной следует сначала освободить
от знака модуля и коэффициента а.
Пример 4. Построить график функции Гf, где f(х)=
Δ Запишем следующую цепочку преобразований:
f(х)
Гf Г4 Г3 Г2 Г1
Из которой ясно, что:
Г2 – получается сдвигом Г1 влево на 2 единицы.
|
Г3 - получается сдвигом Г2 вниз на 3 единицы.
Г4 – часть графика Г3, находящаяся ниже оси , отразится зеркально в оси
Гf – сжатие Г4 к оси с коэффициентом равным 2.
Строим теперь эскиз Гf (см. рис. 6):
Рисунок 6
Пример 5. Построить график функции где
Δ Запишем следующую цепочку преобразований:
При этом:
объединение правой части
с его зеркальным отражением в оси
.
результат сдвига
влево на 2 единицы.
результат растяжения
от оси
с коэффициентом растяжения 2.
результат растяжения
от оси
с коэффициентом растяжения 2.
зеркальное отображение графика
в оси
.
Строим теперь эскиз графика функции (см. рис. 7).
Рисунок 7
2.2. Построение графика дробно-линейной функции
Выделив целую часть, представим функцию в виде: (1) Тогда нетрудно заметить, что искомый график представляет собой график функции
(гиперболу), смещённый на
вправо по оси Ох, если
, влево - если
; и на
вверх по оси Оу, если
, вниз – если
(см. рис. 8).
Рисунок 8 Рисунок 9
Например, график дробно-линейной функции
построенный изложенным выше способом, изображён на рисунке 9.
Учебная карта к занятию 10.
Задания уровня А
1.1 Построить графики функций: а) б)
в) г)
д)
Задания уровня В
2.1 Построить графики функций: а) б)
в) г)
д)
Задания уровня С
3.1 Построить эскиз графика функции , где а)
б)
в)
Домашнее задание
1.2 Построить графики функций: а) б)
в) г)
2.2 Построить графики функций: а) б)
в) г)
д)