Вычисление определенных интегралов
a) Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
и 
– ее первообразная, тогда
. (1)
Пример 1. Вычислить интегралы
a) 
, b) 
, c) 
.
a) Для функции 
первообразная 
. По формуле Ньютона-Лейбница находим
= 
.
b) Для функции 
первообразная 
. По формуле (1):
.
Для функции 
первообразная 
. По формуле (1):
.
Пример 2. Вычислить интегралы
a) 
, b) 
, c) 
, 
.
a) Для вычисления первообразной применим стандартный прием понижения степени: 
.
b) Так как подынтегральная функция 
, то следует взять 
на промежутке интегрирования от 
до 
и 
на промежутке от до 
. В силу аддитивности определенного интеграла 
, поэтому
.
c) Вычисление первообразной сводится к табличному интегралу 
: 
= 
= 
= 
.
b) Интегрирование по частям. Пусть функции 
и 
непрерывны вместе со своими производными на отрезке , тогда
Или 
. (2)
Пример 3. Вычислить интегралы
a) 
, b) 
, c) 
.
a) Стандартный для такого интеграла выбор частей и формула (2) приводят к результату:
.
b) 
.
c) 
.
c) Замена переменной. Пусть выполняются условия:
a) функция непрерывна на ;
b) функция 
непрерывна вместе со своей производной 
на 
, причем 
и 
;
с) сложная функция 
определена и непрерывна на ,
тогда
. (3)
Пример 4. Вычислить интегралы
a) 
; b) 
; c) 
; d) 
.
а) Как и при вычислении неопределенного интеграла, здесь следует рационализировать подынтегральное выражение. Для этого выполним замену переменной 
, тогда 
. Но сейчас следует найти пределы изменения новой переменной 
:
если 
, то 
, если 
, то 
.
В соответствии с формулой (3) получаем
.
b) Не стоит возводить двучлен в 12-ую степень и затем интегрировать полином 25—го порядка. Замечая, что 
, выполним замену 
, тогда подынтегральное выражение преобразуется к виду 
. При изменении 
от до новая переменная изменяется от до .
По формуле (3) запишем:
.
Здесь учтено свойство определенного интеграла:
.
с) Выполним замену переменной 
, тогда 
. Найдем пределы изменения новой переменной :
если 
, то 
, если 
, то 
.
При этом подынтегральное выражение преобразуется к виду
.
Здесь учтено, что 
при 
, поэтому 
.
По формуле (3) найдем
= 
= 
= 
.
d) Выполним замену переменной 
, тогда
.
Найдем пределы изменения новой переменной :
если , то 
,
если 
, то 
. По формуле (3) получаем: 
.
Задание для самоcтоятельной работы
Вычислить интегралы и сравнить ответы с приведенными
1. 
; 2. 
; 3. 
;
4. 
; 5. 
;
6. 
= 
; 7. 
;
8. 
; 9. 
= 
;
10. 
; 11. 
;
12. 
; 13. 
.
Длина дуги
a) Декартовы координаты.
Если гладкая кривая задана уравнением 
и функция 
непрерывно дифференцируема на отрезке 
, тодлина дуги этой кривой вычисляется по формуле
. (1)
Пример 1. Найти длину окружности 
.
В силу симметрии кривой достаточно вычислить длину дуги, содержащейся в первой четверти, т.е. 
. Найдем сначала производную 
и 
. Теперь по формуле (1) получаем знакомый результат:
.
Пример 2. Найти длину дуги цепной линии 
от точки с абсциссой 
до точки с абсциссой 
.
Найдем сначала 
и 
.
Здесь учтено основное тождество для гиперболических функций 
и неравенство 
. Значит, по формуле (1) получаем
.
(Напоминаем, что 
и 
).
Пример 3. Найти длину дуги астроиды 
|
Астроиду описывает точка 
окружности радиуса 
, катящейся без скольжения внутри окружности радиуса 
. В силу симметрии астроиды относительно координатных осей достаточно рассмотреть дугу, соответствующую изменению аргумента 
от 
до 
.
Сначала вычислим 
.
Значит, подынтегральная функция в формуле (1) имеет вид
,
а длина дуги астроиды равна 
.