Комплексные числа.
Выполненные задания присылать на почту alla.kurbatova2014@yandex.ru
Понятие комплексного числа.
Комплексным числом z называется выражение вида z = x +iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i 2= –1.
Если х = 0, то число 0 +iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число x +i 0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. RÌС.
Число х – действительная часть комплексного числа z и обозначается х= Rе z, а у – мнимой частью z, у =Im z.
Два комплексных числа z 1= x 1 +iy 1 z 2= x 2 +iy 2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Понятия больше и меньше для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.
|
|

|
|
|





Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая. Комплексное число можно задать в виде радиус вектора =
. Длина вектора
называется модулем этого числа и обозначается
или r.
Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число – аргумент этого числа, обозначается Arg z или
. Аргумент комплексного числа z =0 не определён. Аргумент комплексного числа z
0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого
(k =0,–1,1,–2,2,…): Arg z= аrg z +
, где аrg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке
, т.е.
< аrg z £
(иногда в качестве главного аргумента берут величину из промежутка
).
Формы записи комплексных чисел.
Запись числа в виде называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент
можно рассматривать как полярные координаты вектора
=
, изображающего комплексное число
. Тогда получаем
,
. Следовательно, комплексное число можно записать в виде
или
. Такая запись называется тригонометрической формой.
Модуль однозначно определяется по формуле
. Например,
. Аргумент
определяется из формул
,
,
Так как , то
,
.
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z, т.е. считать .
Так как < аrg z £
, то из формулы
получаем, что
Используя формулу Эйлера , комплексное число
можно записать в показательной (или экспотенциальной) форме
, где
– модуль комплексного числа, а угол
.
В силу формулы Эйлера функция – периодическая с основным периодом 2p. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать
.
Пример 1: Записать комплексные числа z 1 = –1+ i и z 2 = –1в тригонометрической и показательной формах.
Решение: Для числа z 1 имеем:
, т.е.
.
Поэтому
Для z 2 имеем
т.е.
.
Поэтому .
Действия над комплексными числами.
Суммой двух комплексных чисел z 1 и z 2 у z1+z2
называется комплексное число, определяемое z 2
равенством
. z 1
O x
|

|
|
|






.
Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. Из рисунка видно, что .
Отметим, что , т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки
, т.е. окружность с центром в
и радиусом 1.
Произведением комплексных чисел z 1= x 1 +iy 1 и z 2= x 2 +iy 2 называется комплексное число, определяемое равенством:
Произведение комплексных чисел можно находить путём формального перемножения двучленов x 1 +iy 1 и x 2 +iy 2, учитывая, что i 2= –1.
Например, (2–3 i)(–5+4 i)= –10+8 i +15 i –12 i 2 = –10+23 i +12=2+23 i.
Заметим, что – действительное число.
Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.
Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме:
Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности
– формула Муавра.
Пример 2: Найти
Решение: Запишем сначала число в тригонометрической форме:
;
По формуле Муавра имеем
Частным двух комплексных чисел z 1и z 2≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z 2, даёт число z 1, т.е. , если
.
Если положить ,
,
, то из равенства
следует
Решая систему, найдём значения х и у:
.
На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю.
Пример 3: Выполнить деление
Решение:
Для тригонометрической формы комплексного числа деление имеет вид: ,
т.е.
.
Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , удовлетворяющее равенству
.
Если положить , а
, то по определению корня и формуле Муавра, получаем
.
Отсюда имеем
Т.е. (арифметический корень).
Поэтому корень п -ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле:
,
Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного п -угольника, вписанного в окружность радиуса
с центром в начале координат.
Пример 4: Найти все значения .
Решение: Запишем комплексное число в тригонометрической форме.
.
.
Пример 5: Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием ?
|







|
|





