Приведение силы к заданному центру
Дано:
приложена в точке А.
Приведем 
к произвольному центру О.
а) б) перенесём 
в в) получили:
точку О и силу и пару
добавим 
. 
- приведенная сила
-присоединенная пара
или 
,
Данная сила эквивалентна совокупному действию приведенной силы и присоединенной пары. Причем, приведённая сила геометрически равна заданной и приложена в произвольном центре, а момент присоединенной пары равен моменту данной силы относительно того же центра.
Приведение произвольной системы сил к заданному центру
Пусть дана некоторая произвольная система сил 
Приведем эту систему сил к произвольному центру О.
Сложим геометрически все приведенные силы 
;
- главный вектор системы сил.
Сложим геометрически все присоединенные пары 
;
Любая произвольная система сил в общем случае эквивалентна силе, называемой главным вектором системы, равным геометрически сумме сил заданных, и паре сил с моментом, называемым главным моментом системы сил, равной геометрически сумме моментов всех сил относительно центра приведения.
Замечание. Не следует отождествлять главный вектор 
с равнодействущей 
, т.к равнодействующая – это одна сила, эквивалентная данной системе сил, а главный вектор эквивалентен данной системе сил только в совокупности с парой сил, момент который равен главному моменту 
.
Главный вектор системы не зависит от центра приведения, а главный момент существенно зависит от центра приведения.
Главный вектор определим из выражений
Приведение системы сил к простейшему виду
В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие слечаи:
1. 
- общий случай,
2. 
- случай равновесия,
3. 
- система сил приводится к равнодействующей,
4. 
- система сил приводится к паре.
Условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме
Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия:
.
Но 
Таким образом при равновесии произвольной системы сил геометрическая сумма всех сил и моменты этих сил относительно любого центра равны О, т.е силовой и моментный многоугольники замкнуты.
Аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил
Для плоской системы сил (1) можно представить в виде:
(1’)
Т.к. вектора 
перпендикулярны плоскости дейтвия сил, то их сумму можно представить алгебраической суммой.
Проецируя выражение главного вектора (1’) на оси координат и оставляя неизменным выражение главного момента, получим так называемую основную форму условий равновесия произвольной плоской системы сил:
Читать. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и алгебраическая сумма их моментов относительно любой точки, лежащей в поскости действия сил, равнялись нулю.
Существуют еще две эквивалентные формы неоходимых и достаточных условий равновесия:
в виде теоремы о трех моментах и третьей формы условия равновесия:
(II)
Пример 1
Дано:
F=10H
M=8Hм
q=6Н/м
a=0.4м
b=0.6 
Найти:
Равномерно распределенную нагрузку заменим сосредоточенной силой
Для произвольной плоской системы сил составим 3 уравнения равновесия:
(1)
, (2)
(3) Из уравнений (1) - (3) находим искомые реакции
(1) 
(2) 
(3) 
Пример 2
| 
|
Пространственная система сил
Пространственной называется система сил расположенная в пространстве.
Момент силы относительно оси
Чтобы вычислить момент силы  относительно оси Z, следует спроецировать эту силу на плоскость Q, перпендикулярную оси, а затем вычислить момент этой проекции  относительно точки О пересечения оси с плоскостью.
Определение. Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью
 
Правило знаков.
Момент положен, если воображаемое вращение тела под действием проекции силы вокруг оси видно с ее положенного направления происходящим против часовой стрелки.
Момент силы относительно оси характеризует меру вращательного эффекта силы вокруг оси.
 
    т.е.ось и сила лежат в одной плоскости.
Зависимость между моментом силы относительно центра и оси
Установим зависимость между моментом силы относительно точки и моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.
Ранее установлено, что
Т.к.  , является проекцией  на плоскость Q, то
 (1)
Умножив обе части (1) на 2, получим:
  или  ,
Аналитические выражения моментов
силы относительно координатных осей
 Дано:  . Найти аналитические выражения моментов силы  относительно осей координат.
Изобразим декартову систему координат и покажем  ;
 -координаты точки приложения силы,
 - проекции силы на оси координат.
Если дана сила (известны ее проекции на оси координат) и даны координаты x,y,z точки приложения этой силы, то векторный момент относительно начала координат 
 после разложения по координатным осям можно представить определителем третьего порядка
   =  .
   Выражения в скобках определяют проекции вектора  на оси координат.
Используя зависимость между моментом силы относительно центра и оси, получим
-аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей.
Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил
В геометрической форме  и  . (1)
  Аналитическая форма условий равновесия получается, если спроецировать (1) на координатные оси:
Читать. Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические ∑ проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и ∑ моментов сил относительно этих осей равнялись нулю.
|