Аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил




Приведение силы к заданному центру

Дано:

приложена в точке А.

Приведем к произвольному центру О.

а) б) перенесём в в) получили:

точку О и силу и пару

добавим .

- приведенная сила

-присоединенная пара

или ,

Данная сила эквивалентна совокупному действию приведенной силы и присоединенной пары. Причем, приведённая сила геометрически равна заданной и приложена в произвольном центре, а момент присоединенной пары равен моменту данной силы относительно того же центра.

 

Приведение произвольной системы сил к заданному центру

Пусть дана некоторая произвольная система сил

Приведем эту систему сил к произвольному центру О.

Сложим геометрически все приведенные силы ;

- главный вектор системы сил.

 

Сложим геометрически все присоединенные пары ;

 

 

Любая произвольная система сил в общем случае эквивалентна силе, называемой главным вектором системы, равным геометрически сумме сил заданных, и паре сил с моментом, называемым главным моментом системы сил, равной геометрически сумме моментов всех сил относительно центра приведения.

Замечание. Не следует отождествлять главный вектор с равнодействущей , т.к равнодействующая – это одна сила, эквивалентная данной системе сил, а главный вектор эквивалентен данной системе сил только в совокупности с парой сил, момент который равен главному моменту .

Главный вектор системы не зависит от центра приведения, а главный момент существенно зависит от центра приведения.

 

Главный вектор определим из выражений

 

 

Приведение системы сил к простейшему виду

В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие слечаи:

1. - общий случай,

2. - случай равновесия,

3. - система сил приводится к равнодействующей,

4. - система сил приводится к паре.

 

Условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия:

.

Но

Таким образом при равновесии произвольной системы сил геометрическая сумма всех сил и моменты этих сил относительно любого центра равны О, т.е силовой и моментный многоугольники замкнуты.

 

 

Аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил

Для плоской системы сил (1) можно представить в виде:

(1)

 

Т.к. вектора перпендикулярны плоскости дейтвия сил, то их сумму можно представить алгебраической суммой.

 

Проецируя выражение главного вектора (1) на оси координат и оставляя неизменным выражение главного момента, получим так называемую основную форму условий равновесия произвольной плоской системы сил:

 

 

Читать. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и алгебраическая сумма их моментов относительно любой точки, лежащей в поскости действия сил, равнялись нулю.

Существуют еще две эквивалентные формы неоходимых и достаточных условий равновесия:

в виде теоремы о трех моментах и третьей формы условия равновесия:

(II)

Пример 1

Дано:

F=10H

M=8Hм

q=6Н/м

a=0.4м

b=0.6

Найти:

 

Равномерно распределенную нагрузку заменим сосредоточенной силой

Для произвольной плоской системы сил составим 3 уравнения равновесия:

(1)

 

, (2)

(3) Из уравнений (1) - (3) находим искомые реакции

(1)

(2)

 

(3)

Пример 2

 

 

Пространственная система сил   Пространственной называется система сил расположенная в пространстве.   Момент силы относительно оси Чтобы вычислить момент силы относительно оси Z, следует спроецировать эту силу на плоскость Q, перпендикулярную оси, а затем вычислить момент этой проекции относительно точки О пересечения оси с плоскостью. Определение. Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Правило знаков. Момент положен, если воображаемое вращение тела под действием проекции силы вокруг оси видно с ее положенного направления происходящим против часовой стрелки. Момент силы относительно оси характеризует меру вращательного эффекта силы вокруг оси. т.е.ось и сила лежат в одной плоскости.   Зависимость между моментом силы относительно центра и оси   Установим зависимость между моментом силы относительно точки и моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку. Ранее установлено, что   Т.к. , является проекцией на плоскость Q, то (1) Умножив обе части (1) на 2, получим: или ,   Аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей   Дано: . Найти аналитические выражения моментов силы относительно осей координат.   Изобразим декартову систему координат и покажем ; -координаты точки приложения силы, - проекции силы на оси координат. Если дана сила (известны ее проекции на оси координат) и даны координаты x,y,z точки приложения этой силы, то векторный момент относительно начала координат после разложения по координатным осям можно представить определителем третьего порядка   = . Выражения в скобках определяют проекции вектора на оси координат. Используя зависимость между моментом силы относительно центра и оси, получим -аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей.     Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил В геометрической форме и . (1) Аналитическая форма условий равновесия получается, если спроецировать (1) на координатные оси:   Читать. Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические ∑ проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и ∑ моментов сил относительно этих осей равнялись нулю.  

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-11-17 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: